北京市十一学校顺义学校2025-2026学年下学期期中教与学质量监测高二数学试卷

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦数列、导数、概率等核心知识，以投壶文化、函数极值等情境设计，融合数学眼光与应用意识，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|数列（2、5）、导数（3、9）、概率（4、6）|基础概念辨析，如等比数列性质（5）| |填空题|5/25|等比数列（12）、函数零点（14）、导数应用（15）|开放题型（13）考查创新思维| |解答题|6/85|数列求和（16）、导数应用（17）、概率统计（18）、椭圆（19）、函数极值（20）、创新定义（21）|投壶文化情境（18）体现文化传承，函数极值（20）考查逻辑推理，相邻数列（21）培养创新意识|

十一顺义学校下学期期中教与学质量监测 高二数学试卷 2026.05 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)在 的展开式中，x⁴的系数为 (A) 5 (B) - 5 (C) 10 (D) - 10 (2)在数列{}中, 且 则等于 (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 (3)下列求导运算中错误的是 (4)将一枚均匀硬币随机掷3次，恰好出现2次正面向上的概率为 (A) (B) (C) (D) (5)等差数列{}的首项=1,公差d≠0,如果、、 成等比数列,那么d等于 (A) 3 (B)2 (C) - 2 (D) ±2 (6)在中国农历中，一年有 24个节气，“立春”居首。北京 2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧。墩墩同学要从 24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为 (B) (7)若数列{}的通项公式是 则 (A) 15 (B) 12 (C) - 12 (D) - 15 第 1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 (8) 设{}为等比数列, 则为递增数列”是“存在i<j<k，使得 的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9) 函数 的图象如图所示，且f(x)在x=x₀与x=1处取得极值，给出下列判断；①c>0; ②f(1)+f'(-1)>0; ③函数y=f'(x)在区间(0, +∞) 上是增函数. 其中正确的判断是 (A) ② (B) ①② (C) ②③ (D) ①③ (10)已知函数 无最小值，则的取值范围是 (A) (-∞,-1] (B) (-∞,-1) (C) [1,+∞) (D) (1,+∞) 第二部分 (非选择题 共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 (11) 若 则 (12)设数列{}是等比数列,其前n项和为 ,且, 则公比q的值为 . (13)已知3 个等差数列{},{bₙ},{cₙ}, 其中数列{cₙ}的前n项和记为, 已知bₙ ≠Sₙ, 写出一组符合条件的{}与{bₙ}的通项公式: (14)已知函数若k=0,则不等式f(x)<3的解集为 若f(x)恰有两个零点，则k的取值范围为 (15) 已知f(x)= x-eˣ, ∈R,则下列说法正确的有 . ①f(x)的值域为R; ②≠0时, f(x)恒有极值点; 恒有零点； ④对于x∈R,f(x)≤(1-e) x恒成立. 第 2页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16) (本小题12分) 在等差数列{}中， (1)求数列{}的通项公式； (Ⅱ)若数列 是首项为1，公比2的等比数列，求数列{bₙ}的前n项和。 (17) (本小题13分) 已知函数 (Ⅰ)求f(x)在x=0处的切线方程; (Ⅱ)求f(x)的单调区间,并求f(x)在[-3,0]上的最大值. (18) (本小题15分) 投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛.老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.活动中，高三年级 500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (Ⅰ)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (Ⅱ)投壶活动结束后，高三学生自发编织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶 3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽.当学生投完三支箭，挑战结束.某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，设这位学生在“过关比赛”中投中的次数为X，求X 分布列和X 的数学的期望E(X). (Ⅲ)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投 20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶 2的概率，那么在投完 20次之后，这位同学投中壶 2多少次的概率最大?(只需写出结论) 第 3页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 12 (19) (本小题15分) 已知椭圆C: 点B₁，B₂分别是椭圆C短轴的端点，椭圆C的右焦点 F(2，0)，且 (1)求椭圆C的方程： (2)设过点 F且斜率不为0的直线交椭圆 C于A，B两点，问x轴上是否存在定点 P，使点 F到直线 BP的距离与点 F到直线AP的距离相等?若存在 求出点 P的坐标；若不存在，说明理由. (20) (本小题15分) 已知函数 (Ⅰ)当=0时,求证: f(x)≤-1; (Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极大值，求实数的取值范围； (Ⅲ)若关于x的方程 有两个不同实根x₁，x₂，写出实数的取值范围 (21) (本小题15分) 已知数列{}:,,…, 是递增的整数数列, n≥4.定义数列{}的“相邻数列”为其中 或 (Ⅰ)若n=4,数列{}:2,4,6,8,写出{}的所有“相邻数列”; (Ⅱ)若n=10,数列{}满足 且{}所有“相邻数列”均为递增数列.求满足条件的数列{}的个数; (Ⅲ)若n=20,数列{}满足 且存在{}的一个“相邻数列”{}，使得对任意 求的最小值. 第 4页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $