北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

牛栏山一中2024-2025学年度高二第二学期期中考试 数学试卷 2025.05 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)A (2)C (3)A (4)B (5)D (6)A (7)C (8)C (9)B (10)D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)-80 (12)y=2x-3 (13)号 (14)①②③ (15)(-m,0) 注：(14)题选对一个给2分，选对两个给3分，全选对给5分，错选不给分。 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(共13分) 解：(I)由于数列a}为等差数列 所以ag-a4=4d=-4,解得d=-1,… …1分 所以an=a4十(n一4)d=6-n.…3分 由于数列b}为等比数列 所以==27，解得q=3…4分 所以bn=b1q-1=2…3n-1.…6分 (I)Tn=b1-a1+b2-a2+…+bn-an… …7分 =(b1+b2+…+bn)-(a1+a2+an) …8分 =b1(1-q")(a1+an)n 小…12分 1-q 2 3n+2。-11n-1..,13分 22 (17)(共13分) 解：(T)f(x)=[ax3-(a+2)x2-(8a-10)x]e*…2分 因为函数f(x)在x=2处取得极值，所以f(2)=0…3分 北京市牛栏山一中2024一2025学年度第二学期期中考试高二数学答案及评分参考第1页（共4页） 所以(12-12a)e2=0,解得a=1.…4分 经检验，a=1时符合题意. (Π)f(x)=(x3-3x2+2x)e=x(x-1)(x-2)e: 令f(x)=0,解得x=0,1,2…6分 所以，x,f(x),f(x)的关系如下表： （-∞，0) 0 (0,1) 1 (1,2) (2,+∞) f(x) 0 0 0 f(x) 极大值 极小值 极大值 1 …9分 所以f(x)的单调递增区间为(-60,0)，(1,2)；……11分 单调递减区间为(0,1)，(2，+可)：…13分 (18)(共14分) 解：(I)设事件A为“从学生甲高一年级6次考试中随机选取一次，其成绩为“良好” …1分 所以P(A=2= …3分 (Ⅱ)学生甲在高一年级6次考试中成绩为“优秀”的次数为2次，在高一年级6次考 试中成绩为“优秀”的次数为2次……4分 由题意得X的可能取值为0,1,2,3………………5分 且PK=0-要等=岩=号 P0x=)-警+是=岩=号 P0x=2)-譬得+得-器-号 P0=-嘉= (每个0.5分)7分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 12 29 1 45 45 …9分 北京市牛栏山一中2024一2025学年度第二学期期中考试高二数学答案及评分参考第2页（共4页） 所以E09=0×号+1×号+2×号+3× 45 =1.…11分 (m)S12>S32>S22…14分 (19)(共15分) 解：（①由椭圆方程号+片=1得，a=3,b=2: ……1分 所以c=√a2-b2=V5,…2分 所以2a=6,三=5 a 3 所以椭圆长轴长为6，离心率为导 4分 (Ⅱ)设点B(x1,y),C(x2y2),M(m,0),N(n,0),设直线BC:y-2=k(x-3).…5分 联立方程号+苦 =1 4 y=kx +3k+2 消去y可得：(9k2+4)x2+18k(3k+2)x+9(3k+2)2-36=0 则x1+x2=-18a42；X1x2-98k+22-36=81+10ek 9k2+4 :…7分 9k2+4 9k2+4 椭圆上项点A坐标为(0,2)，……8分 所以直线AB:y=2x十2；直线AC:y=2x十2：-9分 将M(m,0),N(n,0)分别代入直线AB、AC 解得m=- 2x1 …11分 所以m+n=-2-22= 2x1 22=- (+） …12分 h-22-2 kx1+3kk红2+3k 所以m+n=-2.2+3)t26+3--2.212+3+2 …小……13分 k(x1+3)(2+3) k12+3(x1十x2)+9 将x1+x2=一 18k(3k+2) X1X2= 93k+2)2-36-81k2+108k代入 9k2+4 9k2+4 9k2+4 解得m十n=-6,得证…15分 北京市牛栏山一中2024一2025学年度第二学期期中考试高二数学答案及评分参考第3页（共4页） (20)(共15分) 解：Df)=+2x-3 …1分 f(0)=-1,f(0)=0: …3分 所以切线方程为y=一x.一 …4分 (m)f)=n(2x+1)+x2-3x(xe(+o)月 …5分 f)=品+2x-3,令f)=0,解得x= 2 所以，x,f(x),f(x)的关系如下表： ( 1-2 1-v21+回 1+v2 2 、22 2 “+ f(x) 0 0 + f(x) 极大值 y 极小值 1 ………7分 所以f()的单调递增区间为(，，(，+) 单调递减区间为(：，9月 小…8分 因为f0)=0,所以r(9>0,f(（ <0 …10分 因为f()=mg+若+=136-m5<0. …11分 f(3)=ln7>0…12分 根据零点存在定理，所以f)在（冯，(，吗，(“3）上各自存在一 个零点，得证 ()2条；1条；3条；… (每个1分)15分 (21)(共15分) 解：(I)0=1,2…4分 北京市牛栏山一中2024一2025学年度第二学期期中考试高二数学答案及评分参考第4页（共4页） 牛栏山一中2024-2025 学年度高二第二学期期中考试 数 学 试 卷 2025.05 第一部分(选择题，共40分) 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列山的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.函数, 则 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知{an}为等差数列，记 Sn为其前n项和，若 则 A.3 B.7 C.13 D.21 3.函数部分图像如右图所示，则下列说法正确的是( ) 4.学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为( ) A. B. C. D. 5.下列函数中，在x=0处的导数值为1的是( ) 6.已知等比数列{an},首项a₁>0.则“数列{an}单调递增”是“数列 单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知数列{an}满足：对于,均有 且 则 A.16 B.32 C.64 D.128 8.数列{an}是递增的整数数列，且 则n的最大值为( ) A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 9.对于函数，定义集合) 若 , 则下列结论中正确的是( ) A.-1可能为函数极大值点； B.1可能为函数极大值点； C.函数在(-∞,1)上单调递增; D.函数可能为偶函数； 10.数列{an},{bn}的通项公式分别为 数列{cn}满足 记 Tn为数列{cn}前n项和,则? A.124 B.128 C.132 D.136 第二部分(非选择题，共110分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上. 的展开式中的常数项为 . 12.函数的图像关于原点对称，且在其点A(1，m)处的切线方程为，则点A关于原点的对称点处的切线方程为 . 13.已知数列{an}是公差不为零的等差数列。 则 14.已知函数 下列结论中正确的是 . ①函数仅有1个零点； ②函数有极大值，也有极小值； ③函数有最小值，无最大值； ④函数的图象与直线y=1有2个交点. 15.已知函数 , 若函数无最小值，则a的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.(13分) 已知数列{an}为等差数列，且 数列{bₙ}为等比数列，且 ( Ⅰ) 求数列{an}和的通项公式; (Ⅱ) 求 的前n项和 . 17. (13分) 函数 在x=2处取得极值. (Ⅰ) 求a; (Ⅱ) 求的单调区间; 18.(14分) 为了解学生甲在高中阶段数学学习的具体情况，现对其在高一年级和高二年级所参加的6次数学考试分数进行统计，结果如下表所示.若分数 分则记为“优秀”，成绩在[80，89]之间记为“良好”，分数<80分则记为“合格”. 考试1 考试2 考试3 考试4 考试5 考试6 高一年级 84 82 90 78 88 93 高二年级 80 86 89 91 87 83 (Ⅰ)从学生甲高一年级6次考试中随机选取一次，求其成绩为“良好”的概率； (Ⅱ)从表格中学生甲高一年级和高二年级的考试成绩中分别随机抽取2次，记其中成绩为“优秀”的次数为X，求X的分布列及期望； (Ⅲ)将表格中学生甲高一年级6次考试成绩的方差记作S₁²；高二年级6次考试成绩的方差记作S₂²；所有12次成绩的方差记作S₃²，写出： 的大小关系.(结论不要求证明) 19.(15分) 在椭圆E： 中，过点 P(-3，2)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点 B，C.椭圆的上顶点为 A，直线AB和直线AC分别交x轴于点 M，N. (1)求椭圆E的长轴长及离心率. (Ⅱ)证明： M，N两点横坐标之和为-6. 20.(15分) 设函数 (I) 求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 函数在定义域内有三个零点; (参考数据: 1.60<ln5<1.61) (III)请分别写出过点(-1,0), (1,0), (3,0)且与曲线相切的直线个数.(直接写出答案) 21.(15分) 若m行n列的数表 满足: 记这样的数表为. 对于数表 ,定义为数表中第i行和第j行的积, 其中. (Ⅰ) 数表直接写出 的所有取值； (Ⅱ) 是否存在数表A(4,4)满足 若存在，写出一个这样的A(4，4)，若不存在，请说明理由； (Ⅲ) 若数表满足当时,,求m的最大值； 学科网（北京）股份有限公司 $$