福建厦门外国语学校集美分校2025-2026学年高二下学期数学限时训练08

**基本信息** 融合《周易》重卦文化与马尔科夫链科技情境，梯度覆盖数列、立体几何、解析几何等高二下核心知识，适配单元复习的限时训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等比数列、线面平行、双曲线离心率|第8题以马尔科夫链模型考查概率递推，体现学科前沿| |多选题|3/18|空间线面关系、互斥独立事件|第11题结合心形曲线考查最值与方程，渗透直观想象| |填空题|3/15|二项式系数、杨辉三角数列|第13题将杨辉三角转化为数列求和，强化数学抽象| |解答题|5/60|独立性检验、数列证明、立体几何二面角、抛物线、导数单调性|第19题导数证明题需构造函数，培养逻辑推理与创新思维|

厦外（集美）2024级高二下数学限时训练08 副标题 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数列中，，，若，则(    ) A. B. C. D. 2.如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是(    ) A. B. C. D. 3.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 4.已知是椭圆上的动点，则点到直线：的距离的最小值为(    ) A.   B. C. D. 5.函数在点处的切线斜率为，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是(    ) A. B. C. D. 7.已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为(    ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 8.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．马尔科夫链因俄国数学家安德烈马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，次状态无关．现有，两个盒子，各装有个黑球和个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有个红球的概率为则的值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是(    ) A. 若，，则直线平行于平面内的无数条直线 B. 若，，则 C. 若，，，则与是异面直线 D. 若，，则，一定相交 10.已知事件，，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 11.如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则 A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在的展开式中，的系数为          ． 13.将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：，，，，，，，，，，，，，，、记作数列，若数列的前项和为，则          ． 14.若对恒成立，则正实数的最小值是          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 俗称“龙虾”是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具某单位为了解员工是否喜欢使用，对不同年龄段的名员工进行了调查统计，得到如下列联表： 年龄 是否喜欢使用 合计 是 否 不超过岁 超过岁 合计 完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用”与年龄有关联 若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过岁和不超过岁的员工中各随机抽取人，求这两人中至少有人喜欢使用的概率． 参考公式：，其中． 16.本小题分 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． 求的通项公式 证明：． 17.本小题分 如图，在三棱锥中，，，为的中点． 证明：平面； 若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 18.本小题分 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且 求抛物线的方程； 设点其中是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点． 求证：点在定直线上； 若的面积为，求点的坐标． 19.本小题分 已知函数． 讨论的单调性； 当时，设，为两个不相等的正数，且满足，证明：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等比数列的判定及等比数列的求和公式，属基础题． 取，知数列是等比数列，再由等比数列的求和公式可求出的值． 【解答】 解：取，则， 又，所以， 所以是首项和公比均为的等比数列， 则， 所以 ， 得 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查线面平行的判定定理的应用，属于基础题． 结合正方体的结构特征和线面平行的判定定理可得结果． 【解答】 解：由线面平行判定定理知，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与该平面平行．选项A中，如图，连接，取的中点，连接因为，分别为和的中点，所以，平面，平面，所以与平面不平行． 选项B中，如图，连接，在正方体中，，，所以， 平面，因此平面． 选项C中，如图，连接在正方体中，知又因为，分别为所在棱的中点，所以，所以，平面，所以平面． 选项D中，如图，连接在正方体中，知又因为，分别为其所在棱的中点，所以，所以，平面，所以平面． 故本题选A． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 由已知求得，化为弦函数，然后两边平方即可求得的离心率． 【解答】 解：双曲线：的渐近线方程为， 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得， 则， ， 得， ， 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与椭圆的位置关系、两平行直线间的距离等知识点，属于中档题． 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程是，与椭圆方程联立并消元，由可得的值，求出两条平行线的距离，即可求得椭圆上的动点到直线距离的最小值． 【解答】 解：设与直线平行且与椭圆相切的直线方程是， 与椭圆方程联立 消元可得， 则，可得， 故与直线平行且与椭圆相切的直线方程是， 与之间的距离为， 与之间的距离为， 椭圆上的动点到直线距离的最小值是． 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了导数的几何意义及利用基本不等式求最值，属于中档题． 由，得，把变形为后整体乘以，展开后利用基本不等式求最小值． 【解答】 解：由，得， 又在点处的切线斜率为， 所以，即， 则 ， 当且仅当 即时等号成立， 所以的最小值是． 故选B． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查古典概型的计算与应用，考查运算求解能力，属于基础题． 基本事件总数，该重卦恰有个阳爻包含的基本个数，由此能求出该重卦恰有个阳爻的概率． 【解答】 解：在所有重卦中随机取一重卦， 基本事件总数， 该重卦恰有个阳爻包含的基本个数， 则该重卦恰有个阳爻的概率． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：由题意得，圆的圆心为，半径， 因为点在圆外，所以， 直线可化为， 则圆心到该直线的距离， 由于，则，所以，即， 故直线与圆相交． 8.【答案】  【解析】解：设第次操作后盒子中恰有个红球的概率为，则没有红球的概率为． 由题意知，，， 因为， 所以，又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，． 故选A． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了空间直线与直线的位置关系和面面平行的性质，属于基础题． 根据相关知识，对各个选项逐一验证即可得出答案． 【解答】 解：对于，由已知在内有无数条直线和平行，根据平行公理直线平行于平面内的无数条直线，故正确； 对于，若，，根据面面平行的性质可以得出，故正确； 对于，若，，，则与是异面直线或是平行，故错误； 对于，若，，则，，可能相交或平行，故错误． 故选AB． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念，属于中档题． 根据互斥事件的概率计算公式以及相互独立事件的概念，结合概率的基本性质，即可逐项判断出结果． 【解答】 解：因为，． 选项A：如果，那么，，故A错误； 选项B：如果与互斥，说明事件与不可能同时发生，那么，，故B正确； 选项C：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响，那么， ，故C错误； 选项D：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响， 那么，，故D正确． 故选BD． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了曲线与方程以及圆锥曲线中的范围与最值问题，是中档题． 根据曲线与方程、三角函数性质逐一判定即可． 【解答】 解：易知心形曲线关于轴对称，故不妨设 对于，将两点坐标代入方程均成立，故A正确 对于，设，， 则， 当且仅当时取“”，此时，，故B正确 对于， ，， 结合已知条件可得的最大值，最小值， 因而有，， 所以， 因此，故C错误 对于因为，，，所以“”等价于“点在椭圆上及其内部”， 即满足，即， 整理得，即，其中，该式恒成立，故D正确． 综上，正确选项为． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 写出二项展开式的通项，由的幂为求得值，则答案可求． 【解答】 解：的二项展开式的通项为 ． 由，得． 的系数为． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了杨辉三角，属于中档题． 先求得第行最后项在数列中的项数为：，再求得位于杨辉三角数阵的第行第个，判断求得第行各项的和为，故可得． 【解答】 解：依题意有每行的序数与该行的项数相等， 则第行最后项在数列中的项数为：． 设位于第行， 则：，解得：． 且第行最后一项在数列中的项数为：． 位于杨辉三角数阵的第行第个． 而第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为． 依此类推，第行各项的和为． ， 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】整理可得，结合函数的单调性可得，参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果． 【详解】因为，则等价于， 可得，且， 令，，可得， 因为在定义域内单调递增，则，可得， 令，，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以正实数的最小值是． 15.【答案】解：列联表如下： 零假设为“是否喜欢使用”与年龄无关联． 根据列联表中的数据，得． 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即“是否喜欢使用”与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于． 由题意知：年龄超过岁的员工中喜欢使用的频率为， 不超过岁的员工中喜欢使用的频率为， 故这两人中至少有人喜欢使用的概率．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：依题意得， 由得： 当且时，， 又也符合上式，因此 ， ．  【解析】本题考查由数列的递推关系求通项，等差数列的通项公式，利用裂项相消法求和，属于中档题． 根据等差数列的通项公式得，由与的关系得，再由累乘法求解即可． 由裂项相消法求和即可． 17.【答案】解：证明：连接， ，是的中点， ，且， 又， ，， 则， 则， ，平面，平面， 平面； 解：建立以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系如图： ，，，， ， 设，， 则， 则平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 则 令，则，， 即， 二面角为， ， 即， 解得：或舍， 则平面的法向量， ， 与平面所成角的正弦值，．  【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键，属于较难题． 由已知条件可证明，，再利用线面垂直的判定定理即可； 根据可建立空间直角坐标系，标出点的坐标，根据二面角的大小求出平面的法向量，利用向量法求线面角即可． 18.【答案】答案： 证明见解析；   【解析】无 19.【答案】解：，， 令，得， 当时，；； 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，；； 所以在上单调递减，在上单调递增． 证明：当时，由知在上单调递增，在上单调递减， 当时，，，，当时，． 不妨设，则． 令，， 则， 令，，则， 所以在上单调递增． 因为，， 所以存在，使得， 且，，，， 所以，；，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，， 所以对任意，， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，，且在上单调递减， 所以，所以，得证．  【解析】利用导数的正负判断函数单调性，求出的根，当时，单调减；当时，单调增；分别求出与的解即可； 构造函数，，利用导数研究单调性进一步得到，，故，由得到，再由在上单调递减得证． 本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值点偏移，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $