福建福州格致中学2025-2026学年高二第二学期6月数学限时训练

**基本信息** 福州格致中学高二数学6月限时训练，以函数、数列、概率统计、导数等核心知识为载体，通过国防知识竞赛、共享单车投放等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，体现“用数学思维解决实际问题”的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、函数奇偶性、正态分布、高尔顿板概率模型|第10题以高尔顿板为背景，融合二项分布与期望计算，考查数学建模| |填空题|3题/15分|二项式系数、超几何分布期望、独立性检验|第14题结合中学生追星调查，考查统计推断的实际应用| |解答题|5题/77分|函数最值、概率分布列、数列求和、回归分析、导数证明|第18题以共享单车投放为情境，构建对数回归模型解决盈利问题，体现数学与现实的关联；第19题导数综合题，通过构造函数证明不等式，考查逻辑推理能力|

2025-2026学年度第二学期福州格致中学6月限时训练 高 二 数 学 本试卷共6页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若命题“，”为假命题，则的取值范围是 A． B． C． D． 3．已知，为的导函数，则的图象大致是 A． B． C． D． 4．已知是等差数列的前项和，．若，则正整数的最大值为 A．2026 B．2027 C．4052 D．4053 5．为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为 A．4 B．5 C．-4 D．-5 6．甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是 A． B． C． D． 7．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为 A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 8．已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（    ） A．d＝1 B． C． D． 10．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为2，3，…，7，用表示小球落入格子的号码，则 A． B． C．当Р最大时，或5 D． 11．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的单调递增区间是， B．的值域为 C． D．若，，，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，的系数为________． 13．在的二项展开式中任取2项，若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数，则随机变量的均值________． 14．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）若函数，记函数的最小值，求的解析式； 16． （13分） 为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． （1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 17．（15分）已知数列的前项和为，且. （1）设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18.（17分） 近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示. （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？ 参考数据：其中，. 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 19.（17分） 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年度第二学期福州格致中学6月数学限时训练答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C C B B A ACD CD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】由或，， 所以. 2．D 【分析】条件可转化为“，”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得，即的取值范围是． 3．A 【分析】求导得到 ，根据奇偶性排除B，D，由特殊值计算排除C选项得到答案. 【详解】对 求导可得 ， 又， 则为奇函数，排除B，D， 当时， ，故排除C，因此A符合题意. 4．C 【详解】因为，所以， 则等差数列为递增数列， ，， 故使得的最大正整数为. 5．C 【详解】依题意，，， 由回归方程必过样本中心，得，解得， 所以在样本点处的残差为. 6．B 【分析】根据条件概率及全概率知识点求解即可． 【详解】由题可知，， ，，， 则， 综上，选项B错误． 7．B 【分析】由题意可得有变号的根，从而可得，由正态分布的特征求解即可. 【详解】因为函数有极值点， 所以有变号的根， 所以，解得， 又因为随机变量服从正态分布，且， 由正态分布的特征可知， 所以. 8．A 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，并结合函数的奇偶性，求得不等式的解集. 【详解】令，则. 因为对任意，都有恒成立，所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因为为偶函数，所以为偶函数， 由，得， 所以不等式等价于，即，解得或. 所以其解集为． 9．ACD 【分析】根据，得到，，再逐项判断. 【详解】因为，所以. 因为，所以，即，， ，A正确，B错误，C正确. 因为， 所以，D正确. 10．CD 【分析】记事件 “向右下落”，则事件 “向左下落”， 根据小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，可得，分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AC选项；利用二项分布的期望公式和期望的性质可判断B选项；利用二项分布的方差公式以及方差的性质可判断D选项． 【详解】记事件 “向右下落”，则事件 “向左下落”，则， 设表示事件发生的次数， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，则， 而小球在下落过程中共碰撞小木钉5次，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，用作商法计算出当或时，概率最大，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：根据小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上，可得，将问题转化为二项分布的相关问题是解决本题的关键. 11．ABD 【详解】由导函数在定义域上恒成立即可判断A；由函数单调性和函数值情况即可判断B；由即可分析判断C；将转化变形为得到即可分析判断D. 【分析】A选项，的定义域为，在定义域上恒成立， 故的单调递增区间是，，A正确； B选项，当时，，当时，； 当时，，当时，趋向于， 故的值域为，B正确； C选项，时，， 又，所以，C错误； D选项， ， 又，故，故， 因为，所以，又，在上单调递增， 故，即，D正确. 12．-30 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可. 【详解】， 其展开式的通项公式为，令，则， 而的展开式的通项公式为：， 令，则的展开式中的系数为:, 答案：-30. 13．/ 【分析】求出的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项共4项，分别求出，，，从而求出． 【详解】的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项有第一项：， 第二项：，第九项：，第十项：，共4项， 所以，，， 所以．（或用超几何分布的期望公式） 答案：. 14．48 【分析】设男生人数为，由题可得列联表，然后由题设可得关于不等式，据此可得答案. 【详解】设男生人数为，则女生人数为，男生追星人数为，不追星人数为， 女生追星人数为，不追星人数为，据此可得列联表如下： 追星 不追星 总计 男生 女生 总计 则由独立性检验相关计算公式结合题设，可得： . 又为保证所有人数为正整数，需为的倍数，则. 15．（1） （2） 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式； 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又为奇函数，则， 综合可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 函数的最小值． 16．（1）（i）分布列见解析，2；（ii） （2）244.8元 【分析】（1）（i）分析可知的可能取值有1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）根据题意结合条件概率公式运算求解； （2）的可能取值为0，100，200，600，结合二项分布求对应概率和期望. 【详解】（1）（i）由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则；；； 所以的分布列为 X 1 2 3 P 且的期望； （ii）由条件概率公式得. （2）设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y，则的可能取值为0，100，200，600， 则； ； ； ； 所以， 所以乙获得的奖金的数学期望为244.8元. 17．（1）证明见解析， （2） 【分析】（1）先根据时，及已知等式求出. （2）利用错位相减法求和方法进行求解. 【详解】（1）由题意，当时，，解得， 当时，由①，可得②， ①-②，可得，即， 两边同时加6，可得， ，，即. 数列是以2为首项，为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为， （2）由（1）知，，则， ， ， 两式相减，得， . 18．（1）适宜，；（2）年. 【分析】（1）根据散点图判断，适宜；由两边同时取对数得，设，则，根据参考数据以及参考公式首先求出的回归直线方程进而求出结果； （2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果. 【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型. 由，两边同时取常用对数得. 设，则. 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. （2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次， 每年的收益为（千元）， 总投资千元， 假设需要年开始盈利，则，即， 故需要年才能开始盈利. 19．（1） （2） （3）证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则，即有恒成立，即得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $