专题01平方根.立方根易错必刷题型专项训练(17大题型共计60道题)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦平方根、立方根高频易错点，通过17类题型系统梳理概念辨析、计算应用及规律探索，提炼典题特征与避错策略，培养抽象能力与运算能力，构建从基础到综合的解题方法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |算术平方根|5类/20题|非负性应用、估算技巧、规律归纳|从定义辨析到实际应用，形成"概念-计算-应用"认知链| |平方根|5类/20题|符号规则、方程求解、代数式化简|以互为相反数性质为核心，衔接方程与代数式运算| |立方根|5类/20题|符号规律、体积应用、小数点移动|对比平方根性质，强化正负数立方根特性| |综合应用|2类/10题|跨概念整合、计算器操作|融合平方根与立方根，提升推理意识与应用能力|

专题01平方根.立方根易错必刷题型专项训练 本专题汇总平方根.立方根全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.求一个数的算术平方根 题型02.利用算术平方根的非负性解题 题型03.估计算术平方根的取值范围 题型04.与算术平方根有关的规律探索题 题型05.算术平方根的实际应用 题型06.平方根概念理解 题型07.求一个数的平方根 题型08.求代数式的平方根 题型09.已知一个数的平方根,求这个数 题型10.利用平方根解方程 题型11.立方根概念理解 题型12.求一个数的立方根 题型13.已知一个数的立方根,求这个数 题型14.与立方根有关的规律探索 题型15.立方根的实际应用 题型16.算术平方根和立方根综合应用 题型17.计算器--平方根和立方根 易错必刷题型01.求一个数的算术平方根 典题特征：给出非负整数、小数、平方数，直接求解算术平方根，常含平方形式化简计算 易错点：混淆算术平方根与平方根符号，擅自添加正负号；对负数开算术平方根判断失误；化简平方数时忽略结果非负要求 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根与算术平方根的定义与计算，根据对应定义计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：∵，∴，A计算正确； 选项B：∵表示4的算术平方根，结果为非负数，，∴，B计算错误； 选项C：∵，，∴C计算错误； 选项D：∵，∴，D计算错误． 2．计算：________． 【答案】3 【分析】本题可先计算根号内有理数的乘方，再计算算术平方根即可得到结果． 【详解】解：． 3．小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：输入的值是27时，取立方根为，为有理数， 则取算术平方根为，为无理数， 则输出的值是． 4．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 易错必刷题型02.利用算术平方根的非负性解题 典题特征：多个算术根式相加和为0，求解字母数值或代数式整体值 易错点：遗忘算术平方根恒大于等于0的性质；不会套用非负数和为零则各项均为零的解题规则；字母代入计算符号出错 5．若a，b为实数，且满足，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D．以上不对 【答案】A 【分析】利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”求出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， 代入得． 6．若，则的值为______． 【答案】 【分析】首先根据绝对值和算术平方根的非负性得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 得，， ∴， ∴． 7．关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最大 C．时最小 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，得到的取值范围，代数式被减数是定值，减数越小，结果越大，结合选项判断即可． 【详解】解：∵算术平方根有非负性，可得，当且仅当，即时，取最小值． 又∵代数式中，被减数是定值， ∴越小时，越大． ∴时，代数式取得最大值． ∵不存在最大值，因此代数式不存在最小值，故A C D错误， B正确． 8．化简求值： 其中实数满足 【答案】； 【详解】解： ， ，， . . 把 代入 可得： . 易错必刷题型03.估计算术平方根的取值范围 典题特征：确定带根号无理数介于哪两个相邻整数之间，用于数值大小判断 易错点：查找邻近完全平方数出现偏差；大小比较逻辑颠倒；无法精准锁定整数区间 9．与最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】确定的取值范围，再比较距离得到最接近的整数，运用算术平方根的大小比较性质求解． 【详解】解：∵ ， ，， ∵ ， ∴ 更接近． 10．若为正整数，且满足，则________． 【答案】6 【分析】找出与38相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而得到符合条件的正整数． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴． 11．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 12．小兴同学探索的近似值的过程如下： 面积为52的正方形的边长是，且， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小兴用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：   ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】 (1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”； 【比较分析】 (2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由． 【答案】(1)示意图见解析， (2)①得出近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】（1）根据，其中忽略不计，可得答案； （2）两种方法的近似值进行平方，与52比较即可判断． 【详解】（1）解：如图， ， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以， 即， 所以； （2）解：因为，， 且，， 所以①得出近似值的精确度更高． 易错必刷题型04.与算术平方根有关的规律探索题 典题特征：给出一组根式等式，观察结构变化，推导通用式子或续写算式 易错点：无法精准观察被开方数、系数的变化规律；归纳通用表达式格式书写不规范 13．已知，则a的值是（   ） A．130 B．1300 C．169 D．1690 【答案】B 【分析】本题考查了当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，熟练掌握此知识点是解题的关键．根据当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为． 故选B． 14．已知，，则______． 【答案】453.9 【分析】根据被开方数扩大10000倍，结果扩大100倍解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 15．将按如下方式排列，若规定第排从左向右的第个数表示为表示，则与表示的两数之积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先找到排列的数的规律：第n排有n个数，四个数一循环，再求解与表示的数即可解答． 【详解】解：根据数的排列方法可知， 第一排：1个数， 第二排：2个数， 第三排：3个数， 第四排：4个数， …， 第排：个数， 规律：从第一排到排共有个数， ， 根据数的排列方法，每四个数一个循环， 由可知是第5排第4个数是， 表示第9排第9个数，而 ， 即前8排共有36个数，因此第9排第9个数是整个序列中的第个数． ， 表示的数为循环中的第1个数：， 与表示的两数之积为 ∴两数之积为． 16．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 易错必刷题型05.算术平方根的实际应用 典题特征：结合正方形面积、平面图形边长计算等生活几何场景出题 易错点：实际场景忽略边长为正数的要求；单位书写遗漏或换算错误；题意理解偏差列式错误 17．面积为的教室恰好被225块相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用未知数表示出每块正方形地砖的面积，再根据总面积列出方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设每块地砖的边长为， ∵教室总面积为，恰好被225块相同的正方形地砖铺满， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 因此每块地砖的边长为． 18．如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________． 【答案】 【分析】先求出大正方形的面积，再求边长即可． 【详解】解：由题意可知，正方形的面积为， 因此边长为． 19．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，则图中两块阴影部分面积的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，用右边长方形面积减去正方形面积即可． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴右边长方形面积为， ∴阴影部分的面积和为． 20．某学校计划建造一个面积为长方形生态园．如图所示，该生态园有如下具体要求： （1）生态园仅有一面靠墙（墙的长度为10m），其余三边均由篱笆围成； （2）平行于墙的篱笆长度必须小于墙的长度； （3）平行于墙的篱笆的长度要大于垂直于墙的篱笆的长度． 数学兴趣小组给出的设计方案是：长与宽之比为3∶2．请通过计算判断该设计方案是否符合要求，并求出所需篱笆的总长度． 【答案】符合要求，所需篱笆的总长度为 【分析】分别设出长方形的长和宽，利用面积公式列出方程，再利用算术平方根求解，然后比较大小作出判断即可． 【详解】解：设兴趣小组的长与宽分别为和， 由题意得， ， ， ， 长与宽分别为和， ， 符合要求， 所需篱笆的总长度为． 易错必刷题型06.平方根概念理解 典题特征：判断平方根相关正误语句，区分平方根、算术平方根定义概念 易错点：误认为正数只有一个平方根；混淆0的平方根与算术平方根定义；概念表述判断失误 21．“25的平方根是”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数，正数的平方根记作，据此求解即可． 【详解】解：“25的平方根是”用数学式子表示正确的是． 22．一个正数的两个不同的平方根是与，则的值为______． 【答案】 【分析】如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，负数没有平方根． 【详解】解：根据题意，得． 解方程，得． 所以． 所以． 23．下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根的定义，根据平方根与算术平方根的定义逐一判断每个结论即可得到答案． 【详解】①因为，所以是的平方根，该结论正确； ②负数没有算术平方根，所以没有算术平方根，该结论错误； ③ 表示的算术平方根，不是的平方根，该结论错误； ④因为，所以的平方根是，该结论正确； ⑤因为，所以的算术平方根是4，该结论正确． 综上所述，正确的结论是①④⑤． 故选：B 24．一个正数的平方根分别是和，则的值是________． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 整理得：， 解得：， 当 时， ，， ∴ ， 故答案为：． 易错必刷题型07.求一个数的平方根 典题特征：给定非负数，完整求解全部平方根结果 易错点：计算结果只写正根遗漏负根；零与正数的平方根规则混用 25．已知，若，则x的值为（    ） A．31.4 B．0.314 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的性质与小数点移动规律，正数的平方根有两个，当平方数的小数点向左(或向右)移动2位时，对应平方根的小数点相应向左(或向右)移动1位，据此推导即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ 是的小数点向左移动2位得到的， ∴ 又∵ ∴ 故选 D． 26．7的算术平方根________；的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出7的算术平方根，化简后，再根据平方根的定义求出的平方根即可． 【详解】解： 7的算术平方根为． ．故的平方根为． 27．下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义，表示的算术平方根，结果为非负数，立方根的符号与被开方数一致，逐一判断． 【详解】解：A选项：，故A选项计算正确； B选项：是的算术平方根，结果只能为非负数，得，故 B选项计算错误； C选项：，故C选项计算正确； D选项：，，，故D选项计算正确． 28．若是的平方根，的立方根是，求的值． 【答案】或 【分析】利用平方根、立方根定义求出，的值，进而求出的值， 【详解】解：的平方根是，的立方根是， ，， 或，， 或， 即的值为或． 易错必刷题型08.求代数式的平方根 典题特征：先化简整式、分式代数式，再整体求解其平方根 易错点：代数式化简计算出错；未先判断代数式正负直接开平方 29．若，求的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 30．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 31．已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根与平方根、算术平方根，熟练掌握立方根与平方根的性质是解题关键． （1）先根据立方根和算术平方根可得，，再解方程即可得； （2）先根据（1）的结果求出的值，再根据平方根的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴，， ∴， 将代入得：， ∴． （2）解：由（1）已得：，， ∴， ∵， ∴的平方根为． 易错必刷题型09.已知一个数的平方根,求这个数 典题特征：给出某数两个互为相反数的平方根，反向计算原数值 易错点：忽略平方根互为相反数的隐含条件；解方程计算步骤出错 32．若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的定义，已知一个数的平方根，通过平方运算可求出原数. 【详解】解：∵一个数的平方根是， ∴这个数为， 故选：B． 33．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是___． 【答案】 【分析】由题意可得与互为相反数，求出，即可得到答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不相等的平方根， 故与互为相反数， ， ， 故， 则这个数是． 34．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵实数的立方根是， ∴， ∴． 35．按要求解答下列各题： (1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． (2)与都是的平方根，求的值． 【答案】(1)9 (2)9或1 【分析】（1）根据平方根的定义得到，然后解方程即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴这个正数是； （2）解：∵与都是的平方根， ∴当与不相等时， 解得， ∴； 当与相等时， 解得， ∴； 综上，的值为9或1． 易错必刷题型10.利用平方根解方程 典题特征：可化为平方形式的一元二次基础方程，直接开方求解 易错点：开方遗漏负根；移项变号错误；最终解书写格式不规范 36．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 37．已知，则____________． 【答案】9 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，平方差公式，解题的关键是学会用整体思想解决问题．注意． 利用整体思想，令，则有，从而得到，再利用求平方根解方程即可． 【详解】解：令， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 38．解下列方程和方程组： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) 【详解】（1）解：， 方程两边同除以2得， 解得； （2）解：， 移项得， 两边同除以2得， 开平方得， 或， 解得或； （3）解：， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 因此方程组的解为； （4）解：， 得， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 因此方程组的解为． 易错必刷题型11.立方根概念理解 典题特征：辨析立方根基础定义，区分立方根与平方根性质差异 易错点：照搬平方根性质判定立方根；混淆正数、负数、0的立方根特点 39．下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】根据立方根的定义与性质，逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，∴ 选项A错误； ∵，4的立方根是，不是4，∴选项B错误； ∵立方根等于它本身的数有，，，∴选项C错误； ∵对任意实数，都有，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，∴D正确． 40．化简：______，______，______． 【答案】 /0.5 / 【分析】本题考查了求一个数的立方根，正确掌握相关性质是解题的关键．根据立方根的定义进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：，，． 41．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 易错必刷题型12.求一个数的立方根 典题特征：对正数、负数、零直接求解对应立方根 易错点：负数立方根符号判断错误；常见整数立方数记忆不牢固 42．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义． 根据相关定义分别计算各选项，即可得出正确结果． 【详解】解：∵，表示9的算术平方根，∴，A计算正确； ∵，∴，B计算错误； ∵表示4的算术平方根，结果为非负数，∴，C计算错误； ∵表示16的平方根，∴，D计算错误． 43．若，则的立方根是________． 【答案】 【分析】利用算术平方根与完全平方的非负性，列出方程求出和的值，代入计算得到的结果，再求其立方根即可． 【详解】解：，，且， ， ， ， ， 的立方根是，即的立方根是． 44．求式中x的值：． 【答案】． 【详解】解：整理得， 开方得， 解得． 易错必刷题型13.已知一个数的立方根,求这个数 典题特征：给出立方根数值，反向乘三次方计算原数 易错点：三次方运算计算失误；正负符号跟随错误 45．若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】利用立方根的性质，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：根据立方根的性质可得：， 又∵， ∴． 46．已知的算术平方根是，的立方根是，则___________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出m、n的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴， ∴， ∴． 47．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 【答案】C 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，进而可求的值． 【详解】∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵y的立方根是2， ∴， ∴． 故选：C． 48．已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的值． 【答案】9 【分析】根据立方根、算术平方根的定义先求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是， ∴， 解得：， ∴． 易错必刷题型14.与立方根有关的规律探索 典题特征：依据一组立方根算式，总结数值变化规律并作答 易错点：无法观察被开方数与立方根的小数点移动规律；规律套用混乱 49．利用计算器求得，，，则___________． 【答案】 【分析】根据被开方数的小数点，每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，据此进行判断即可． 【详解】∵， ∴． 50．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 51．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 易错必刷题型15.立方根的实际应用 典题特征：结合正方体体积、立体容器棱长计算类实际题型 易错点：体积与棱长公式对应错误；实际取值忽略题意限制 52．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃容器的水中，水位升高了，已知玻璃容器的底面积是，那么正方体铁块的棱长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】水位上升部分的体积等于正方体铁块的体积，据此求出正方体铁块的体积，再根据正方体体积公式计算棱长即可． 【详解】解：∵ 正方体铁块完全浸入水中， ∴上升部分水的体积等于正方体铁块的体积． ， ∴正方体铁块的棱长是． 53．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 【答案】 【分析】先求出每个小正方体的边长，再求出魔方侧面的面积，则可得正方形的面积，由此即可得． 【详解】解：∵8个同样大小的正方体组成的魔方的体积为8， ∴每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的边长为， ∴魔方侧面正方形的边长为， ∴魔方侧面的面积为， 又∵正方形的面积是魔方侧面面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． 54．小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 易错必刷题型16.算术平方根和立方根综合应用 典题特征：同一题干内同时考查平方根、立方根定义，联立求解参数 易错点：两类根式性质混用；多条件联立推理逻辑混乱 55．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 56．已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________． 【答案】 【分析】根据的算术平方根是6，的立方根是5，可得方程组，①+②再化简得到的值，然后求平方根即可得到答案． 【详解】解：∵的算术平方根是6，的立方根是5 ∴ ∴①+②： ∴=16 ∴的平方根为 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，平方根和立方根是解题关键．易错点：正数有两个平方根，不能只写一个平方根． 57．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 易错必刷题型17.计算器--平方根和立方根 典题特征：使用计算器进行大数、小数开平方、开立方求值 易错点：计算器按键顺序错误；结果保留小数位数不符合答题要求 58．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求立方根．根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】 解：依次按键，对应的计算是． 故选：A． 59．某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 【答案】 【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【详解】解：由题意知第1步结果为x2， 第2步结果为， 第3步结果为=， 第4步结果为， 第5步结果为x2， 第6步计算结果为x， 第7步计算结果为x2， …… ∴运算的结果以x2，，，，x2，x六个数为周期循环， ∵2021÷6=336……5， ∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4， ∴输入的数x是±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2，，，，x2，x六个数循环，这是解题的关键． 60．任意找一个数，比如1234，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，你有什么发现？ 【答案】，0，1不断开立方的结果仍为它们本身；小于的数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于；大于的负数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于；小于1的正数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于1；大于1的正数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于1 【分析】利用计算器对大于1的数（如1234），小于1的正数（如0.7），小于－1的数（如－1234），大于－1的负数（如－0.7）以及1、－1、0这三个数进行求若干次立方根，根据所得结果即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 大于1的数，如：1234， ， ， ， ， ， 小于1的正数，如：0.7， ， ， ， ， 小于－1的数，如：－1234， ， ， ， ， ， 大于－1的负数，如：－0.7， ， ， ， ， 对于1、－1、0这三个数而言，，，， 由此可得：，0，1不断开立方的结果仍为它们本身；小于的数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于；大于的负数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于；小于1的正数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于1；大于1的正数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于1． 【点睛】本题主要考查了利用计算器求立方根以及对规律性的总结，熟练掌握立方根的意义是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01平方根.立方根易错必刷题型专项训练 本专题汇总平方根.立方根全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.求一个数的算术平方根 题型02.利用算术平方根的非负性解题 题型03.估计算术平方根的取值范围 题型04.与算术平方根有关的规律探索题 题型05.算术平方根的实际应用 题型06.平方根概念理解 题型07.求一个数的平方根 题型08.求代数式的平方根 题型09.已知一个数的平方根,求这个数 题型10.利用平方根解方程 题型11.立方根概念理解 题型12.求一个数的立方根 题型13.已知一个数的立方根,求这个数 题型14.与立方根有关的规律探索 题型15.立方根的实际应用 题型16.算术平方根和立方根综合应用 题型17.计算器--平方根和立方根 易错必刷题型01.求一个数的算术平方根 典题特征：给出非负整数、小数、平方数，直接求解算术平方根，常含平方形式化简计算 易错点：混淆算术平方根与平方根符号，擅自添加正负号；对负数开算术平方根判断失误；化简平方数时忽略结果非负要求 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 4．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 易错必刷题型02.利用算术平方根的非负性解题 典题特征：多个算术根式相加和为0，求解字母数值或代数式整体值 易错点：遗忘算术平方根恒大于等于0的性质；不会套用非负数和为零则各项均为零的解题规则；字母代入计算符号出错 5．若a，b为实数，且满足，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D．以上不对 6．若，则的值为______． 7．关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最大 C．时最小 D．时最小 8．化简求值： 其中实数满足 易错必刷题型03.估计算术平方根的取值范围 典题特征：确定带根号无理数介于哪两个相邻整数之间，用于数值大小判断 易错点：查找邻近完全平方数出现偏差；大小比较逻辑颠倒；无法精准锁定整数区间 9．与最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．若为正整数，且满足，则________． 11．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 12．小兴同学探索的近似值的过程如下： 面积为52的正方形的边长是，且， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小兴用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：   ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】 (1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”； 【比较分析】 (2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由． 易错必刷题型04.与算术平方根有关的规律探索题 典题特征：给出一组根式等式，观察结构变化，推导通用式子或续写算式 易错点：无法精准观察被开方数、系数的变化规律；归纳通用表达式格式书写不规范 13．已知，则a的值是（   ） A．130 B．1300 C．169 D．1690 14．已知，，则______． 15．将按如下方式排列，若规定第排从左向右的第个数表示为表示，则与表示的两数之积是（   ） A． B． C． D． 16．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 易错必刷题型05.算术平方根的实际应用 典题特征：结合正方形面积、平面图形边长计算等生活几何场景出题 易错点：实际场景忽略边长为正数的要求；单位书写遗漏或换算错误；题意理解偏差列式错误 17．面积为的教室恰好被225块相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长为（   ） A． B． C． D． 18．如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________． 19．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，则图中两块阴影部分面积的和是（    ） A． B． C． D． 20．某学校计划建造一个面积为长方形生态园．如图所示，该生态园有如下具体要求： （1）生态园仅有一面靠墙（墙的长度为10m），其余三边均由篱笆围成； （2）平行于墙的篱笆长度必须小于墙的长度； （3）平行于墙的篱笆的长度要大于垂直于墙的篱笆的长度． 数学兴趣小组给出的设计方案是：长与宽之比为3∶2．请通过计算判断该设计方案是否符合要求，并求出所需篱笆的总长度． 易错必刷题型06.平方根概念理解 典题特征：判断平方根相关正误语句，区分平方根、算术平方根定义概念 易错点：误认为正数只有一个平方根；混淆0的平方根与算术平方根定义；概念表述判断失误 21．“25的平方根是”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 22．一个正数的两个不同的平方根是与，则的值为______． 23．下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 24．一个正数的平方根分别是和，则的值是________． 易错必刷题型07.求一个数的平方根 典题特征：给定非负数，完整求解全部平方根结果 易错点：计算结果只写正根遗漏负根；零与正数的平方根规则混用 25．已知，若，则x的值为（    ） A．31.4 B．0.314 C． D． 26．7的算术平方根________；的平方根是________． 27．下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 28．若是的平方根，的立方根是，求的值． 易错必刷题型08.求代数式的平方根 典题特征：先化简整式、分式代数式，再整体求解其平方根 易错点：代数式化简计算出错；未先判断代数式正负直接开平方 29．若，求的平方根是___________． 30．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 31．已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 易错必刷题型09.已知一个数的平方根,求这个数 典题特征：给出某数两个互为相反数的平方根，反向计算原数值 易错点：忽略平方根互为相反数的隐含条件；解方程计算步骤出错 32．若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 33．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是___． 34．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 35．按要求解答下列各题： (1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． (2)与都是的平方根，求的值． 易错必刷题型10.利用平方根解方程 典题特征：可化为平方形式的一元二次基础方程，直接开方求解 易错点：开方遗漏负根；移项变号错误；最终解书写格式不规范 36．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 37．已知，则____________． 38．解下列方程和方程组： (1)； (2) (3) (4) 易错必刷题型11.立方根概念理解 典题特征：辨析立方根基础定义，区分立方根与平方根性质差异 易错点：照搬平方根性质判定立方根；混淆正数、负数、0的立方根特点 39．下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 40．化简：______，______，______． 41．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 易错必刷题型12.求一个数的立方根 典题特征：对正数、负数、零直接求解对应立方根 易错点：负数立方根符号判断错误；常见整数立方数记忆不牢固 42．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 43．若，则的立方根是________． 44．求式中x的值：． 易错必刷题型13.已知一个数的立方根,求这个数 典题特征：给出立方根数值，反向乘三次方计算原数 易错点：三次方运算计算失误；正负符号跟随错误 45．若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 46．已知的算术平方根是，的立方根是，则___________． 47．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 48．已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的值． 易错必刷题型14.与立方根有关的规律探索 典题特征：依据一组立方根算式，总结数值变化规律并作答 易错点：无法观察被开方数与立方根的小数点移动规律；规律套用混乱 49．利用计算器求得，，，则___________． 50．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 51．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 易错必刷题型15.立方根的实际应用 典题特征：结合正方体体积、立体容器棱长计算类实际题型 易错点：体积与棱长公式对应错误；实际取值忽略题意限制 52．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃容器的水中，水位升高了，已知玻璃容器的底面积是，那么正方体铁块的棱长是（   ） A． B． C． D． 53．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 54．小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 易错必刷题型16.算术平方根和立方根综合应用 典题特征：同一题干内同时考查平方根、立方根定义，联立求解参数 易错点：两类根式性质混用；多条件联立推理逻辑混乱 55．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 56．已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________． 57．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 易错必刷题型17.计算器--平方根和立方根 典题特征：使用计算器进行大数、小数开平方、开立方求值 易错点：计算器按键顺序错误；结果保留小数位数不符合答题要求 58．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 59．某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 60．任意找一个数，比如1234，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，你有什么发现？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $