精品解析：广东江门市广东实验中学附属江门学校2026届高三五月热身考试（二）数学试题

省实江门学校2026届高三五月热身考试（二） 数学试题 本卷共4页，19题，全卷满分150分，用时120分钟， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合间的包含关系，判断端点大小关系即可. 【详解】集合，因为，所以. 2. 若，为实数，且，则（ ） A. 7 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件转化为，再利用复数相等求参数. 【详解】由条件可知，即， 得且，解得，， 所以. 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用投影向量公式及数量积坐标公式及模长公式计算求解. 【详解】因为向量， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 令，得到，所以. 5. 已知函数的图象如图所示，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像，结合函数的性质逐项判断即可求解. 【详解】对于A，的图像是一条直线，故A错误； 对于B， 的定义域为， 又时，，所以，故B错误； 对于C，对数函数在单调递增，满足题意，故C正确， 对于D ，的定义域为，又， 由，，所以，故D错误. 6. 在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（ ） A. 0.55 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】设该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为， 根据题意可得，，解得. 7. 已知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为，若圆台内接于球，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆台侧面积公式得到母线长和圆台的高，再由勾股定理求出球的半径. 【详解】设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和， 则圆台的侧面积为，即， 所以圆台的高为， 设球的半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，如图， 过作的垂线，与交于点，与交于点， 设，由，则球心在圆台内部， 所以，解得. 8. 已知抛物线的准线与对称轴的交点为，直线与抛物线交于A，B两点，则的外接圆在x轴上截得的弦长为（ ） A. B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，得到交点坐标，再求出三角形外接圆方程，得到弦长. 【详解】由题意得，解得， 联立直线与抛物线得， 故或8，当时，，当时，， 不妨设， 设的外接圆方程为， 将和代入得 ，解得， 故的外接圆方程为， 令得，解得或， 所以的外接圆在x轴上截得的弦长为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，且，平均数为，中位数为M，现对这组数据做如下变换：，得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A. 新数据的极差等于原数据的极差 B. 新数据的平均数等于 C. 新数据的方差大于原数据的方差 D. 新数据的中位数等于 【答案】BCD 【解析】 【详解】的极差为：.由题意知， 的极差为：，故A错误； 新数据的平均数等于： ，故B正确； 的方差为： ， 因为，故， 所以，故C 正确； 的中位数为，故D正确. 10. 已知函数的极大值点和极小值点分别记为和，过点，分别作x轴的平行线交的图象于点C，A，过点M，N构造矩形，如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点M为线段CD的三等分点 C. 当时，四边形ABCD为正方形 D. 当时，四边形为菱形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用求导推理得到，，可判断A；写出直线的方程，与曲线方程联立，求出的坐标，计算与的长可判断B；将的值代入利用平面几何知识即可判断C，D. 【详解】由求导得， 因，由，可得或，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值点为，极小值点为，则，故A正确； 由图知分别是函数图象在点处的切线.因， 将直线的方程与联立，消去，得， 即，解得； 再将直线的方程与联立，消去， 得，即，故得， 因四边形是矩形，则， 即点M为线段CD的四等分点，故B错误； 对于C，由上分析知，，当时，， 又四边形是矩形，故此时ABCD为正方形，故C正确； 对于D，因，且， 则四边形为平行四边形， 又，当时，，故D错误. 11. 记的内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由已知条件结合分析判断，对于B，利用余弦定理和正弦定理结合已知条件可得，然后利用正弦函数的性质分析判断，对于C，由选项B可知，则，从而可判断的范围，对于D，由正弦定理结合及二倍角公式得，再结合可求出其范围进行判断. 【详解】对于A，因为，，所以，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以由余弦定理得， 所以由正弦定理得，所以， 因为，所以或， 若，则，所以，此时， 所以，则，此时，所以B正确， 对于C，由选项B可知，所以，所以，所以C正确， 对于D，由正弦定理得 ， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的综合问题，解题的关键是利用这两个定理进行边角互化，再三角函数质求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为正项等比数列的公比，若，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式的基本量计算，得到关于公比的一元二次方程，解方程求解即可. 【详解】由题意，，则，因为，所以 ， 由可知，则有，即，解得或. 因为数列是正项等比数列，则，所以. 故答案为：5. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线上一点，且为等腰直角三角形，则C的离心率为_____________． 【答案】## 【解析】 【详解】当时，为等腰直角三角形，，这与双曲线定义矛盾； 当时，为等腰直角三角形，， 根据勾股定理，得， 再根据双曲线定义得，即， 化简得. 当时，为等腰直角三角形，， 根据勾股定理，得， 再根据双曲线定义得，即， 化简得. 综上，C的离心率为. 14. 2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设事件“有且仅有一次经过（含到达）”，事件“水平方向移动3次”， 按移动到位置需要1步还是3步分类讨论，根据条件概率求解即可. 【详解】设事件“有且仅有一次经过（含到达）”，事件“水平方向移动3次”， 按移动到位置需要1步还是3步分类讨论. 记向左，向右，向上，向下， （1）若第1步到为事件，则移动3次满足要求的是或或或或，或或或或， 所以； （2）若3步到为事件，则移动3次满足要求的是， 所以. 因为，且互斥，所以. 满足的情况有：，，，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）函数的单调增区间； （2）当时，若，求的值. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数 ，根据复合函数即可求单调区间； （2）由可求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的解. 【小问1详解】 因为 所以要求函数的增区间，须有 ， 解之得，， 所以函数的单调增区间为， 【小问2详解】 因为，即， 所以或 解得或 又因为，所以或. 16. 已知函数，． （1）当时，若的值域为，求b的值； （2）若为的极小值点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导分析，判断导数得正负，并得到函数的最小值，从而得到方程进而求解. （2）根据题意将代入导数为0，得到参数之间的关系，并分析是否在处取得极小值. 【小问1详解】 因为，所以，求导得， 因为，所以令，解得， 当，，所以单调递减； 当，，所以单调递增； 所以，解得. 【小问2详解】 因为，求导得， 又因为为的极小值点，所以，得到， 代入导数得， 因为，所以， ①当时，，解得或，此时， 所以，，单调递减；，，单调递增；，，单调递减； 所以为的极小值点满足条件. ②当时, 恒成立， 所以在定义域内单调递减，无极值，不满足题意舍去. ③当时，，解得或，此时， 所以，，单调递减；，，单调递增；，，单调递减； 为的极大值点.不满足条件，舍去. 综上，. 17. 如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点. （1）求证:； （2）若二面角的大小为 且三棱锥M-DFG的体积为 设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 在原正方形中，分别是，的中点， ，，， 平面，平面， 平面， 平面， . 【小问2详解】 ，， 就是二面角的平面角，即， 如图，以为原点，为轴，为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， ， 原正方形边长为，，分别是，的中点， ，，，， ，， ，即， ，， ，即， 是的中点， ，即， 设，即，三棱锥的体积为， ，, ， 平面，， ， ， ，解得，即， 平面过直线且与直线平行， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，可得，，即， 平面在的平面上， 平面的法向量， 平面与平面所成角，. 18. 设椭圆的右焦点为，上顶点为．已知（O为坐标原点）的面积为． （1）求的离心率； （2）设B为椭圆上一动点，已知的最大值为2． （i）求的方程； （ii）若在第一象限内，连接，过作的平行线交于另一点，记与的面积分别为，求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）4 【解析】 【分析】（1）写出的面积表达式，可得出，即可求出离心率； （2）（i）设，利用两点间距离公式以及二次函数最值可求得当时，取得最大值为，求得，可得出的方程； （ii）对直线的斜率是否存在分类讨论，联立直线与椭圆方程，解得，再由三角形面积关系可求得，利用椭圆范围以及二次函数最值可求得的最大值为4. 【小问1详解】 易知， 所以的面积为，可得， 又因为，可知； 故的离心率为 【小问2详解】 （i）由（1）可知的方程可设为； 设，则，可得，又， 故 因为，所以时，取得最大值为， 即，解得. 故的方程为. （ii）设，则，所以； 当时，此时直线的斜率不存在，可得，， 故， 当时，此时直线的斜率为，可得直线的方程为，如下图： 联立可得， 解得， 因为，与共底边， 所以 又因为，所以， 可得， 令，因为，所以； 因此； 当时，取得最大值为4， 此时，解得， 因为点在第一象限内，故，即； 综上可知，的最大值为4. 19. 在数列中，，设的前n项和为．记表示不超过x的最大整数． （1）求； （2）是否存在常数A，，使得？若存在，求A和的值；若不存在，请说明理由； （3）求． 【答案】（1），， （2）存在，， （3） 【解析】 【分析】（1）由数列递推公式赋值求出，再根据取整函数的定义依次计算即得； （2）由（1）得结论，代入，求出，即得数列通项，验证即可； （3）先求导证明，利用其将数列的通项放缩，根据等比数列求和公式推得，结合可得，最后利用等差数列求和公式即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以，故； 又，故，，所以； 同理，故， 因，则,故, 所以，故. 【小问2详解】 假设存在常数A，使得， 则由（1）得，即. 因为，可得，解得（负值舍去）. 故.又，则得，即，故. 此时，. 所以存在，满足题意. 【小问3详解】 当时，，所以. 当时，因为，所以，故. 设函数，则. 所以在上单调递增，故，即. 所以. 则 ，因， 所以.故. 综上，当时，，故. 令，则当时， . 又因为满足，所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省实江门学校2026届高三五月热身考试（二） 数学试题 本卷共4页，19题，全卷满分150分，用时120分钟， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，为实数，且，则（ ） A. 7 B. 5 C. D. 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（ ） A. 0.55 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.7 7. 已知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为，若圆台内接于球，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的准线与对称轴的交点为，直线与抛物线交于A，B两点，则的外接圆在x轴上截得的弦长为（ ） A. B. 12 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，且，平均数为，中位数为M，现对这组数据做如下变换：，得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A. 新数据的极差等于原数据的极差 B. 新数据的平均数等于 C. 新数据的方差大于原数据的方差 D. 新数据的中位数等于 10. 已知函数的极大值点和极小值点分别记为和，过点，分别作x轴的平行线交的图象于点C，A，过点M，N构造矩形，如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点M为线段CD的三等分点 C. 当时，四边形ABCD为正方形 D. 当时，四边形为菱形 11. 记的内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为正项等比数列的公比，若，则__________. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线上一点，且为等腰直角三角形，则C的离心率为_____________． 14. 2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）函数的单调增区间； （2）当时，若，求的值. 16. 已知函数，． （1）当时，若的值域为，求b的值； （2）若为的极小值点，求实数a的取值范围． 17. 如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点. （1）求证:； （2）若二面角的大小为 且三棱锥M-DFG的体积为 设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 设椭圆的右焦点为，上顶点为．已知（O为坐标原点）的面积为． （1）求的离心率； （2）设B为椭圆上一动点，已知的最大值为2． （i）求的方程； （ii）若在第一象限内，连接，过作的平行线交于另一点，记与的面积分别为，求的最大值． 19. 在数列中，，设的前n项和为．记表示不超过x的最大整数． （1）求； （2）是否存在常数A，，使得？若存在，求A和的值；若不存在，请说明理由； （3）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $