2025-2026学年苏科版数学七年级下册期末重难点题型专项练习二--几何图形的周长与面积

**基本信息** 聚焦几何图形周长与面积，以数形结合为主线，系统整合公式应用、代数变形与图形割补，梯度覆盖基础到综合题，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|较易题（1-4,9,11等）|公式直接应用、面积比较|从具体图形周长面积公式到代数式表示| |代数几何综合|中档题（5-8,12,16等）|代数式变形、阴影面积差计算|结合完全平方公式等代数知识解决图形问题| |方法迁移应用|较难题（14,15,19等）|割补法、换元法、最值探究|通过图形割补验证代数恒等式，培养推理意识|

2026年七年级下数学期末重难点题型专项练习二--几何图形的周长与面积 1. （2025春•江阴市期末）·【较易】计算图中梯形的面积等于（　　） A．6x2﹣2x B．12x2﹣4x C．6x3﹣2x2 D．24x2﹣8x 2. （2025春•盐都区期末）·【较易】如图所示，长方形ABCD的长为2m+5，宽为2m+3，面积为S1，正方形EFGH的边长为2m+4，面积为S2，则S1，S2的大小关系是（　　） A．S1＜S2 B．S1＞S2 C．S1＝S2 D．S1≥S2 3. （2025春•江都区期末）·【较易】如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．16 4. （2025春•滨湖区期末）·【较易】如图，大正方形与小正方形的面积差为12，则阴影部分的面积为 　 　 ． 5. （2025春•海陵区期末）·【中档】如图1，Ⅰ是边长为b的正方形纸片，Ⅱ是边长为（a+b）的正方形纸片，Ⅲ是长为b，宽为a的长方形纸片（b＞a），将Ⅰ，Ⅲ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中两块阴影部分的面积分别为S1和S2，若要求S1﹣2S2的值，只需要知道（　　）的值． A．a B．b C．a2+b2 D．a2﹣b2 6. （2025春•南京期末）·【中档】将边长分别为x，y的小正方形和大正方形按如图所示摆放．若y2＝x2+20，则图中阴影部分的总面积为　 　 ． 7. （2025春•惠山区校级期末）·【中档】如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为21的正方形，点M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AH、BF、CF，若正方形EFGH的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 8. （2025春•秦淮区校级期末）·【中档】在矩形ABCD中将边长分别为a和b的两张正方形纸片（a＞b）按图1和图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为S1，S2．当时，的值为（　　） A. B． C． D． 9. （2025春•溧阳市期末）·【较易】现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片（大长方形的宽与小长方形的长相等），按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是 　 　 （用含m，n的代数式表示）． 10. （2025春•沛县期末）·【中档】如图，正方形中的阴影部分为一些长方形拼成的轴对称图形，若正方形的边长是80cm，则阴影图形的周长是 　 　 cm． 11. （2025春•惠山区期末）·【较易】如图1，已知纸片A是边长为am的正方形，纸片B是相邻两边长分别为xm、ym的长方形，且纸片A、B的周长相等． （1）当a＝5时． ①若x＞6，求y的取值范围； ②如图2，以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C、D，若纸片B的面积比纸片A的面积小10m2，求C、D的面积之和； （2）如图3，将纸片A、B叠合在一起，记阴影部分的周长为M． ①M＝　 　 （用含x、a的代数式表示）； ②若关于x的不等式M＜12恰有3个正整数解，则a的取值范围是 　 　 ． 12. （2025春•高新区期末）·【较易】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3． （1）如果关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x的值与x的取值无关，那么m的值为　 　 ； （2）已知A＝3x2+nx+2n，B＝x2﹣2nx+x，且A﹣3B的值与x的取值无关，求n的值； （3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当x变化时，5S1﹣3S2的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 13. （2025春•江阴市期末）·【中档】【阅读材料】对于两个正数a，b，其中a≠1，如果ac＝b，那么可将指数c记作L（a，b），即L（a，b）＝c．例如：34＝81，则L（3，81）＝4． 【问题解决】 （1）填空：L（2，64）＝　 　 ；L（5，5）＝　 　 ． （2）小茗同学在研究这种运算时发现一个规律：L（a，m）+L（a，n）＝L（a，mn），并给出了如下证明：设L（a，m）＝x，L（a，n）＝y，则ax＝m，ay＝n， ∴ax+y＝ax•ay＝mn， ∴L（a，mn）＝x+y， ∴L（a，m）+L（a，n）＝L（a，mn）． 请利用小茗探究的结论，解决下列问题： ①已知两个正方形的边长分别为m，n，若L（2，m）+L（2，n）＝5，L（2，m+n）＝4，求这两个正方形的面积之和． ②如图，把长方形ABCD分成4个小长方形．其中，长方形AEOG的面积是a，长方形EBHO、GOFD的面积都是b，长方形OHCF的面积是c．若L（a，b）＝4，求L（a，c）的值． 14. （2024春•常州期末）·【较难】通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是（6﹣x）． ①当0＜x＜3时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是 　 　 .如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为 　 　 的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x（6﹣x）、9、（3﹣x）2满足的等量关系是 　 　 ； ②当3＜x＜6时，类似上述过程进行割补； ③当x＝3时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 　 　 ； （2）【方法迁移】 当﹣2＜x＜6时，仿照上述割补过程，求代数式（6﹣x）（4+2x）的最大值． 15. （2025春•淮安期末）·【较难】在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式（a+b）2＝a2+2ab+b2变形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． （1）根据上面的信息回答：若a+b＝10，ab＝19，则a2+b2的值为　 　 ； （2）如图2，长方形ABCD周长为20，以长方形ABCD的相邻两边AD、CD为边长分别向外作正方形ADGH、正方形CEFD．若正方形ADGH、正方形CEFD的面积和为80，直线HG与直线EF交于点I，求长方形DFIG的面积； （3）如图3，长方形ABCD面积为32，将正方形MNPD叠放在长方形ABCD上，A在线段MD上，C在线段DP上，直线HG与直线EF交于点I，若四边形ADGH和四边形CEFD都是正方形，AM＝2，CP＝6，求正方形HBEI的边长； （4）如图4，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形DFGH．若长方形EMFD的面积为24，则阴影部分的面积为　 　 ． 【完全平方公式的几何背景】 16. （2025春•扬州期末）·【中档】已知两块边长都为a（cm）的大正方形，两块边长都为b（cm）的小正方形和五块长、宽分别是a（cm），b（cm）的小长方形（a＞b），按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为72cm，图中阴影部分四个正方形的面积之和为240cm2，则图中每个小长方形的面积为（　　） A．11cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．36cm2 17. （2025春•丹徒区期末）·【中档】如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，△CDB的面积为3.5，则AB的长为 　　 ． 18. （2025春•锡山区期末）·【较易】如图，现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为10；将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为8，则图1的阴影部分面积为　 　 ． 19. （2025春•新吴区期末）·【较易】对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．． （1）　 　 ； （2）对于有理数x、y，若x+y＝10，xy＝22． ①求的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD＝x，AB＝nx，FG＝y，EF＝ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 20. （2025春•涟水县期末）·【较易】现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：　 　 ：图2表示：　 　 ． （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若x+y＝4，x2+y2＝13，求xy的值； ②如果2m+3n＝5，mn＝1，求4m2﹣9n2的值． 21. （2025春•苏州期末）·【较易】阅读下列材料并解答问题： 已知a2+b2＝13，（a+b）2＝25，求ab的值，可直接代入（a+b）2＝a2+b2+2ab得：ab＝6；若（12﹣c）2+（c﹣4）2＝6，求（12﹣c）（c﹣4）的值．如何解答？可令12﹣c＝a，c﹣4＝b，则a+b＝8，a2+b2＝6，代入（a+b）2＝a2+b2+2ab得：ab＝29．像这样把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化的方法叫做换元法． （1）已知（m﹣n）2＝7，令a＝（n﹣m）2，则a的值为　 　 ； （2）若c满足（c﹣2026）2+（c﹣2025）2＝2024，求（2026﹣c）（c﹣2025）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝15，AD＝10，点E，K分别是BC，CD上的点，且BE＝DK，分别以EC，CK为边在长方形ABCD外侧作正方形EFGC和正方形CMNK，连接EK．若△CEK的面积为50，设正方形EFGC的面积为S1，正方形CMNK的面积为S2，求S1+S2的值． 22. （2025春•邗江区期末）·【中档】通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将4块小长方形拼成一个如图2的“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可以验证恒等式　 　 ． （2）利用（1）中的恒等式解决问题： 【直接应用】①若xy＝4，x+y＝6，则（x﹣y）2＝　 　 ； 【类比应用】②若x满足（x﹣2）（5﹣x）＝2，求（2x﹣7）2的值． 【知识迁移】 （3）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，E，D分别是AB，AC上的点，其中∠ABC＝90°，∠AED＝90°，EB＝2，△ADB的面积是，求梯形EBCD的面积． 23. （2025春•姑苏区期末）·【较易】我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，利用图①可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【知识生成】：如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为a，宽为b）围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：　 　 ； 【类比应用】：已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为a，宽为b（a＞b），求a﹣b的值； 【知识迁移】：如图③所示，某校计划在一块面积为192m2的长方形空地ABCD（AB＜AD）中划出长方形BEFG和长方形DMNO2，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池HNRF（其中HF＝NR＝3m，HN＝FR＝2m），并将长方形AEHQ和长方形RGCM两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为46m，求AD和AB的长． 24. （2025春•淮安期末）·【中档】【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 公式②：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 图1对应公式　 　 ；图2对应公式　 　 ． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①，求的值； ②（16﹣x）（x﹣3）＝20，求（16﹣x）2+（x﹣3）2． 【迁移运用】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线BE⊥CF时，若BE＝10，阴影部分的面积和为35，请求出正方形ABGF和正方形GCDE的面积和．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°） 【拓展提升】 （4）如图4，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记△ABC与△CDE的面积之和为S1，△AHF与△DGF的面积之和为S2． ①当D是边EF的中点时，则的值为　 　 ； ②当D不是边EF的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年七年级下数学期末重难点题型专项练习二--几何图形的周长与面积 1. （2025春•江阴市期末）·【较易】计算图中梯形的面积等于（　　） A．6x2﹣2x B．12x2﹣4x C．6x3﹣2x2 D．24x2﹣8x 【分析】根据梯形面积公式、单项式乘多项式的运算法则计算． 【解答】解：梯形的面积为：（x+5x﹣2）•2x＝6x2﹣2x， 故选：A． 2. （2025春•盐都区期末）·【较易】如图所示，长方形ABCD的长为2m+5，宽为2m+3，面积为S1，正方形EFGH的边长为2m+4，面积为S2，则S1，S2的大小关系是（　　） A．S1＜S2 B．S1＞S2 C．S1＝S2 D．S1≥S2 【分析】根据题意可得S1＝（2m+5）（2m+3），S2＝（2m+4）2，将它们作差后计算，把结果与0比较大小即可． 【解答】解：由题意得S1＝（2m+5）（2m+3），S2＝（2m+4）2， S1﹣S2 ＝（2m+5）（2m+3）﹣（2m+4）2 ＝4m2+16m+15﹣（4m2+16m+16） ＝4m2+16m+15﹣4m2﹣16m﹣16 ＝﹣1＜0， 那么S1＜S2， 故选：A． 3. （2025春•江都区期末）·【较易】如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．16 【分析】所有直角三角形的形状及大小都相同，不妨设所有直角三角形的面积之和为S，小正方形的面积为9，S1﹣S2＝（S1+S）﹣（S2+S）＝9． 【解答】解：易知小正方形的面积为：32＝9， 设所有直角三角形的面积之和为S，根据题意有， S1﹣S2＝（S1+S）﹣（S2+S）＝9． ∴则S1﹣S2的值为9． 故选：C． 4. （2025春•滨湖区期末）·【较易】如图，大正方形与小正方形的面积差为12，则阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，由题意可得a2﹣b2＝16，AE＝a﹣b，根据阴影部分的面积为a（a﹣b）b（a﹣b），即（a2﹣b2）代入计算即可． 【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，由题意可得a2﹣b2＝16，AE＝a﹣b， 所以阴影部分的面积为a（a﹣b）b（a﹣b）（a2﹣b2）＝8． 故选：B． 5. （2025春•南京期末）·【中档】将边长分别为x，y的小正方形和大正方形按如图所示摆放．若y2＝x2+20，则图中阴影部分的总面积为　 　 ． 【分析】根据题意，分别表示出两个阴影三角形的面积，再结合y2＝x2+20即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为图中两个正方形的边长分别为x和y， 则阴影部分的总面积可表示为：． 又因为y2＝x2+20， 则y2﹣x2＝20， 所以图中阴影部分的总面积为：． 故答案为：10． 6. （2025春•海陵区期末）·【中档】如图1，Ⅰ是边长为b的正方形纸片，Ⅱ是边长为（a+b）的正方形纸片，Ⅲ是长为b，宽为a的长方形纸片（b＞a），将Ⅰ，Ⅲ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中两块阴影部分的面积分别为S1和S2，若要求S1﹣2S2的值，只需要知道（　　）的值． A．a B．b C．a2+b2 D．a2﹣b2 【分析】先根据题意求出S1，S2，SII，SI，SIII的值，进而求出S1﹣2S2的值，判断即可． 【解答】解：由图可知S1＝SII﹣（SI+SIII﹣S2），，，，SIII＝ab， 即， ∴， 故只需要知道a的值， 故选：A． 7. （2025春•惠山区校级期末）·【中档】如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为21的正方形，点M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AH、BF、CF，若正方形EFGH的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【分析】根据正方形的性质及面积公式、三角形的面积公式、平方差公式计算即可． 【解答】解：∵四边形ABMN是面积为21的正方形， ∴AN＝BM＝AB＝MN， ∵四边形EFGH是面积为3的正方形， ∴EH＝FG＝EF＝HG， ∴AD＝BC，DH+CG， ∴S阴影AD•DHBC•CGAD•DHAD•CGAD•（DH+CG）（）（）（21﹣3）＝9． 故选：D． 8. （2025春•秦淮区校级期末）·【中档】在矩形ABCD中将边长分别为a和b的两张正方形纸片（a＞b）按图1和图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为S1，S2．当时，的值为（　　） A. B． C． D． 【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【解答】解：由图可得， S1＝AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a）， S2＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）， S2﹣S1 ＝[AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）]﹣[AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a）] ＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）﹣AD•AB+a2+b（AD﹣a） ＝﹣b•AB+ab+b•AD﹣ab ＝b（AD﹣AB）， ∵ADAB， ∴S2﹣S1＝b（AD﹣AB）b•AB， ∴． 故选：B． 9. （2025春•溧阳市期末）·【较易】现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片（大长方形的宽与小长方形的长相等），按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是 　 　 （用含m，n的代数式表示）． 【分析】设小长方形的长和宽分别为x，y，大长方形的长为m，分别根据两种摆放方式表示出总高度，进而得到对应的等式，从而得到答案． 【解答】解：设小长方形的长为x、宽为y，大长方形的长为c， 则m+2y＝x+c，2x+n＝y+m， ∴x＝m+2y﹣c，y＝2x+n﹣m， ∴3x﹣3y＝m﹣n， ∴x﹣y＝（m+2y﹣c）﹣（2x+n﹣c） ＝m+2y﹣c﹣2x﹣n+c ＝m﹣n+2y﹣2x， ∴． 故答案为：． 10. （2025春•沛县期末）·【中档】如图，正方形中的阴影部分为一些长方形拼成的轴对称图形，若正方形的边长是80cm，则阴影图形的周长是 　 　 cm． 【分析】根据轴对称图形及平移的性质解答即可． 【解答】解：经过平移可知：阴影图形的周长就是正方形的周长+两个（80﹣20）的长，即80×4+2×（80﹣20）＝440（cm）． 故答案为：440． 11. （2025春•惠山区期末）·【较易】如图1，已知纸片A是边长为am的正方形，纸片B是相邻两边长分别为xm、ym的长方形，且纸片A、B的周长相等． （1）当a＝5时． ①若x＞6，求y的取值范围； ②如图2，以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C、D，若纸片B的面积比纸片A的面积小10m2，求C、D的面积之和； （2）如图3，将纸片A、B叠合在一起，记阴影部分的周长为M． ①M＝　 　 （用含x、a的代数式表示）； ②若关于x的不等式M＜12恰有3个正整数解，则a的取值范围是 　 　 ． 【分析】（1）①依据题意，由A、B的周长相等，可得4a＝2（x+y）＝20，再由x＞6，可求出y的取值范围； ②由题意，xy＝a2﹣10，再由x+y＝20，进而可以得解； （2）①由题意，表示出阴影部分周长即可得解； ②由①得，2x+2a＜12，再结合不等式M＜12恰有3个正整数解，可以得解． 【解答】解：（1）①由题意，∵A、B的周长相等，a＝5， ∴4a＝2（x+y）＝20． ∴x＝10﹣y． 又∵x＞6， ∴10﹣y＞6． ∴y＜4． 又y＞0， ∴0＜y＜4． ②由题意，xy＝a2﹣10＝25﹣10＝15， 又∵x+y＝10， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝100﹣30＝70． ∴C、D的面积之和为70． （2）①由题意，阴影部分周长M＝2a+2（a﹣y）+2y+2（x﹣a）＝2a+2a﹣2y+2y+2x﹣2a＝2a+2x． 故答案为：2a+2x． ②由题意，如图3，结合①得，2x+2a＜12， ∴x+a＜6． ∴x＜6﹣a． 又不等式M＜12恰有3个正整数解， ∴x＜6﹣a恰有3个正整数解． ∴3＜6﹣a≤4． ∴2≤a＜3． 故答案为：2≤a＜3． 12. （2025春•高新区期末）·【较易】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3． （1）如果关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x的值与x的取值无关，那么m的值为　 　 ； （2）已知A＝3x2+nx+2n，B＝x2﹣2nx+x，且A﹣3B的值与x的取值无关，求n的值； （3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当x变化时，5S1﹣3S2的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【分析】（1）将关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x化为（3m﹣1）x+2m2﹣2m，再令3m﹣1＝0即可； （2）计算A﹣3B＝（7n﹣3）x+2n，令7n﹣3＝0即可； （3）用含有a、b、x的代数式表示5S1﹣3S2的值，再令x项的系数为0即可． 【解答】解：（1）关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x＝（3m﹣1）x+2m2﹣2m， ∵关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x的值与x的取值无关， ∴3m﹣1＝0， 即m， 故答案为：； （2）∵A＝3x2+nx+2n，B＝x2﹣2nx+x， ∴A﹣3B＝（3x2+nx+2n）﹣3（x2﹣2nx+x） ＝3x2+nx+2n﹣3x2+6nx﹣3x ＝（7n﹣3）x+2n， 又∵A﹣3B的值与x的取值无关， ∴7n﹣3＝0， 即n； （3）由题意得，阴影部分的面积S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a） ∴5S1﹣3S2＝5×a（x﹣3b）﹣3×2b（x﹣2a） ＝5ax﹣15ab﹣6bx+12ab ＝（5a﹣6b）x﹣3ab， ∵当x变化时，5S1﹣3S2的值始终保持不变， ∴5a﹣6b＝0， 即5a＝6b． 13. （2025春•江阴市期末）·【中档】【阅读材料】对于两个正数a，b，其中a≠1，如果ac＝b，那么可将指数c记作L（a，b），即L（a，b）＝c．例如：34＝81，则L（3，81）＝4． 【问题解决】 （1）填空：L（2，64）＝　 　 ；L（5，5）＝　 　 ． （2）小茗同学在研究这种运算时发现一个规律：L（a，m）+L（a，n）＝L（a，mn），并给出了如下证明：设L（a，m）＝x，L（a，n）＝y，则ax＝m，ay＝n， ∴ax+y＝ax•ay＝mn， ∴L（a，mn）＝x+y， ∴L（a，m）+L（a，n）＝L（a，mn）． 请利用小茗探究的结论，解决下列问题： ①已知两个正方形的边长分别为m，n，若L（2，m）+L（2，n）＝5，L（2，m+n）＝4，求这两个正方形的面积之和． ②如图，把长方形ABCD分成4个小长方形．其中，长方形AEOG的面积是a，长方形EBHO、GOFD的面积都是b，长方形OHCF的面积是c．若L（a，b）＝4，求L（a，c）的值． 【分析】（1）根据所给的新定义运算即可解答； （2）①根据新定义给出的特征求得mn＝25＝32，m+n＝24＝16，再根据完全平方公式变形，计算即可； ②设AD＝BC＝y，AB＝CD＝x，AG＝e，DF＝f，则DG＝y﹣e，CF＝x﹣f，根据题意得到，，b＝a4，计算c＝（y﹣e）（x﹣f）得到c＝a7，再根据新定义给出的特征运算即可． 【解答】解：（1）∵26＝64， ∴L（2，64）＝6， ∵51＝5， ∴L（5，5）＝1， 故答案为：6；1； （2）①∵L（2，m）+L（2，n）＝5， ∴L（2，mn）＝5， ∴mn＝25＝32， ∵L（2，m+n）＝4， ∴m+n＝24＝16， ∵两个正方形的边长分别为m，n， ∴这两个正方形的面积之和＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝162﹣2×32＝192； ②由题意，设AD＝BC＝y，AB＝CD＝x，AG＝e，DF＝f，则 DG＝y﹣e，CF＝x﹣f， ∴a＝ef，b＝f（y﹣e）＝e（x﹣f），c＝（y﹣e）（x﹣f）， ∴，， ∵L（a，b）＝4， ∴b＝a4， ∴， ∴L（a，c）＝L（a，a7）＝7． 14. （2024春•常州期末）·【较难】通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是（6﹣x）． ①当0＜x＜3时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是 　 　 .如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为 　 　 的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x（6﹣x）、9、（3﹣x）2满足的等量关系是 　 　 ； ②当3＜x＜6时，类似上述过程进行割补； ③当x＝3时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 　 　 ； （2）【方法迁移】 当﹣2＜x＜6时，仿照上述割补过程，求代数式（6﹣x）（4+2x）的最大值． 【分析】（1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案；理解材料的用意，可画出3＜x＜6时的图形． （2）先将代数式（6﹣x）（4+2x）化为2（6﹣x）（2+x），根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出（6﹣x）（2+x）的最大值，进而求出（6﹣x）（4+2x）的最大值． 【解答】解：（1）①∵原来长方形的边长分别为x，6﹣x，长方形B的一边长是x， ∴长方形B相邻一边长＝6﹣x﹣3＝3﹣x． ∴阴影部分是一个边长为3﹣x的正方形． ∵图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差， ∴x（6﹣x）＝9﹣（x﹣3）2． 故答案为：3﹣x，3﹣x，x（6﹣x）＝9﹣（3﹣x）2． ②当3＜x＜6时，用类似①的方法进行割补， 可以得到x（6﹣x）＝9﹣（x﹣3）2， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 9． （2）解：依题意有（6﹣x）（4+2x）＝2（6﹣x）（2+x），当﹣2＜x＜2时，如图，阴影部分是边长为（2﹣x）的正方形， ∴（6﹣x）（2+x）＝42﹣（2﹣x）2＝16﹣（2﹣x）2， 当2＜x＜6时，如图，阴影部分是边长为（x﹣2）的正方形， ∴（6﹣x）（2+x）＝42﹣（x﹣2）2＝16﹣（x﹣2）2， 当x＝2时，该长方形为边长是4的正方形， ∴边长是（6﹣x）和（2+x）的长方形的最大面积是16， ∴（6﹣x）（4+2x）的最大值为2×16＝32． 15. （2025春•淮安期末）·【较难】在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式（a+b）2＝a2+2ab+b2变形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． （1）根据上面的信息回答：若a+b＝10，ab＝19，则a2+b2的值为　 　 ； （2）如图2，长方形ABCD周长为20，以长方形ABCD的相邻两边AD、CD为边长分别向外作正方形ADGH、正方形CEFD．若正方形ADGH、正方形CEFD的面积和为80，直线HG与直线EF交于点I，求长方形DFIG的面积； （3）如图3，长方形ABCD面积为32，将正方形MNPD叠放在长方形ABCD上，A在线段MD上，C在线段DP上，直线HG与直线EF交于点I，若四边形ADGH和四边形CEFD都是正方形，AM＝2，CP＝6，求正方形HBEI的边长； （4）如图4，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形DFGH．若长方形EMFD的面积为24，则阴影部分的面积为　 　 ． 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何意义及应用，通过图形面积与代数式之间的关系来求解问题． 【解答】（1）解：已知a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，把a+b＝10，ab＝19代入可得a2+b2＝102﹣2×19＝62 故答案为62； （2）解：设AD＝a，CD＝b因为长方形ABCD周长为20，所以2（a+b）＝20，即a+b ＝ 10．又因为正方形ADGH、正方形CEFD的面积和为80，即a2+b2＝80，根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，可得80＝102﹣2ab，解得ab＝10． 答：长方形DFIG的面积为10； （3）解：设长方形ABCD的长为a（即AD ＝ a），宽为b（即CD ＝ b）．由图形可知，正方形HBEI的边长为长方形的长与宽之和，即边长为a+b．小正方形AMNH的边长为AD﹣AM ＝ a﹣2（因AM ＝ 2）．小正方形CPFE的边长为CD﹣CP ＝ b﹣6（因CP ＝ 6） 因为正方形HBEI面积＝长方形ABCD的面积+小正方形AMNH的面积+小正方形CPFE的面积+其他外围矩形的面积，所以可列出等式（a+b）2＝ab+（a﹣2）2+（b﹣6）2+2×6+6×2，代入数据，化简得（a+b）2＝144，因边长为正数，故a+b ＝ 12． 答：正方形的边长为12．； （4）解：设DF ＝ x，则MF＝x+3，DE＝x+1．因为长方形EMFD的面积为24，所以（x+1）x ＝ 24，解得x ＝ 3或x＝﹣8（边长不能为负舍去）．所以DF ＝ 3，MF ＝ 6，所以阴影部分面积为62﹣32＝27 故答案为27． 【完全平方公式的几何背景】 16. （2025春•扬州期末）·【中档】已知两块边长都为a（cm）的大正方形，两块边长都为b（cm）的小正方形和五块长、宽分别是a（cm），b（cm）的小长方形（a＞b），按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为72cm，图中阴影部分四个正方形的面积之和为240cm2，则图中每个小长方形的面积为（　　） A．11cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．36cm2 【分析】依题意得大长方形的周长为2（2a+b）+2（a+2b）＝6（a+b）cm，2（a2+b2）＝240，ab＝12，进而得a2+b2+2ab＝144，再根据a+b＞0得a+b＝12，据此即可得出拼成的大长方形周长． 【解答】解：依题意得：大长方形的长为：（2a+b）cm，宽为（a+2b）cm， ∴大长方形的周长为：2（2a+b）+2（a+2b）＝6（a+b）cm， ∵四个正方形的面积为240cm2，每个小长方形的面积为12cm2， ∴2（a2+b2）＝240，ab＝12， ∴a2+b2＝120，2ab＝24， ∴a2+b2+2ab＝144， ∴（a+b）2＝144， ∴a+b＞0， ∴a+b＝12， ∴6（a+b）＝72， ∴拼成的大长方形周长为72cm． 故选：D． 17. （2025春•丹徒区期末）·【中档】如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，△CDB的面积为3.5，则AB的长为 　6　 ． 【分析】由等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE的面积和为11，△CDB的面积为3.5，设AC＝CD＝x，CE＝CB＝y，得x2+y2＝11×2，xy＝3.5×2＝7，得AB2＝（x+y）2＝x2+y2+2xy＝36，即可得AB＝6． 【解答】解：由等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE的面积和为11，△CDB的面积为3.5， 设AC＝CD＝x，CE＝CB＝y， 得x2+y2＝11×2，xy＝3.5×2＝7， 得AB2＝（x+y）2＝x2+y2+2xy＝36， 得AB＝6． 故答案为：6． 18. （2025春•锡山区期末）·【较易】如图，现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为10；将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为8，则图1的阴影部分面积为　 　 ． 【分析】设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b，由题意得，a+b＝10，（a﹣b）2＝8，根据（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，求出ab的值，再根据图1中阴影部分的面积为a（a﹣b）b2，变形后代入计算即可． 【解答】解：设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b，由题意得，a+b＝10，（a﹣b）2＝8， ∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，即100＝8+4ab， ∴ab＝23， 图1中阴影部分的面积为a（a﹣b）b2 （a2﹣ab+b2） [（a﹣b）2+ab] （8+23） ． 故答案为：． 19. （2025春•新吴区期末）·【较易】对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．． （1）　 　 ； （2）对于有理数x、y，若x+y＝10，xy＝22． ①求的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD＝x，AB＝nx，FG＝y，EF＝ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【分析】（1）根据所提供的运算方法进行计算即可； （2）①根据所提供的运算方法得出x2+y2，再根据（x+y）2﹣2xy代入计算即可； ②用代数式表示图形中阴影部分的面积，再将x+y＝10，xy＝22代入计算即可． 【解答】解：（1）原式＝12+（﹣1）2﹣2×3＝﹣4， 故答案为：﹣4； （2）①∵x+y＝10，xy＝22， ∴原式＝12+x2﹣1×（1﹣y2） ＝x2+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝100﹣44 ＝56； ②如图，连接BE， S阴影部分＝S△BDE+S△CEF＝45， 即x（nx﹣y）y•ny＝45， ∴n（x2+y2）xy＝45， 也就是n[（x+y）2﹣2xy]xy＝45， ∵x+y＝10，xy＝22， ∴n×（102﹣2×22）22＝45， 解得n＝2． 20. （2025春•涟水县期末）·【较易】现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：　 　 ：图2表示：　 　 ． （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若x+y＝4，x2+y2＝13，求xy的值； ②如果2m+3n＝5，mn＝1，求4m2﹣9n2的值． 【分析】（1）用代数式表示图1、图2各个部分的面积即可； （2）①根据（x+y）2＝x2+2xy+y2代入计算即可； ②根据（2m﹣3n）2＝（2m+3m）2﹣24mn求出2m﹣3n的值，再根据4m2﹣9n2＝（2m+3n）（2m﹣3n）代入计算即可． 【解答】解：（1）图1整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图1的四个部分的面积和为a2+2ab+b2， 所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 图2整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，中间阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，四个空白长方形的面积和为4ab， 所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）①∵x+y＝4， ∴（x+y）2＝16， 即x2+2xy+y2＝16， 又∵x2+y2＝13， ∴13+2xy＝16， ∴xy； ②∵2m+3n＝5，mn＝1，（2m﹣3n）2＝（2m+3m）2﹣24mn， ∴（2m﹣3n）2＝25﹣24＝1， ∴2m﹣3n＝±1， ∴4m2﹣9n2＝（2m+3n）（2m﹣3n）＝±5． 21. （2025春•苏州期末）·【较易】阅读下列材料并解答问题： 已知a2+b2＝13，（a+b）2＝25，求ab的值，可直接代入（a+b）2＝a2+b2+2ab得：ab＝6；若（12﹣c）2+（c﹣4）2＝6，求（12﹣c）（c﹣4）的值．如何解答？可令12﹣c＝a，c﹣4＝b，则a+b＝8，a2+b2＝6，代入（a+b）2＝a2+b2+2ab得：ab＝29．像这样把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化的方法叫做换元法． （1）已知（m﹣n）2＝7，令a＝（n﹣m）2，则a的值为　 　 ； （2）若c满足（c﹣2026）2+（c﹣2025）2＝2024，求（2026﹣c）（c﹣2025）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝15，AD＝10，点E，K分别是BC，CD上的点，且BE＝DK，分别以EC，CK为边在长方形ABCD外侧作正方形EFGC和正方形CMNK，连接EK．若△CEK的面积为50，设正方形EFGC的面积为S1，正方形CMNK的面积为S2，求S1+S2的值． 【分析】（1）根据整式的运算性质，即可得到结果； （2）仿照示例，设2026﹣c＝a，c﹣2025＝b，利用换元法可得到结果； （3）仿照示例，设DK＝BE＝x，则 KC＝15﹣x，CE＝10﹣x，利用换元法可得到结果． 【解答】解：（1）∵（m﹣n）2＝7， ∴a＝（n﹣m）2 ＝[﹣（m﹣n）]2 ＝（m﹣n）2 ＝7， 故答案为：7； （2）设2026﹣c＝a，c﹣2025＝b， ∴a+b＝1， ∵（c﹣2026）2+（c﹣2025）2＝2024， ∴a2+b2＝2024， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴2024+2ab＝1， ∴， 即（2026﹣c）（c﹣2025）； （3）设DK＝BE＝x，则 KC＝15﹣x，CE＝10﹣x， ∴， ∴（15﹣x）•（10﹣x）＝100， 设15﹣x＝m，x﹣10＝n， ∴m+n＝5，mn＝﹣100， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝25+200＝225， 即S1+S2＝225． 22. （2025春•邗江区期末）·【中档】通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将4块小长方形拼成一个如图2的“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可以验证恒等式　 　 ． （2）利用（1）中的恒等式解决问题： 【直接应用】①若xy＝4，x+y＝6，则（x﹣y）2＝　 　 ； 【类比应用】②若x满足（x﹣2）（5﹣x）＝2，求（2x﹣7）2的值． 【知识迁移】 （3）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，E，D分别是AB，AC上的点，其中∠ABC＝90°，∠AED＝90°，EB＝2，△ADB的面积是，求梯形EBCD的面积． 【分析】（1）根据题意用两种方式表达空白部分的面积，即可得到恒等式； （2）①根据（1）得到的恒等式直接代入求值即可； ②先运用整体思想，把x﹣2，5﹣x看着一个整体，得到完全平方公式变形的形式即可求解； （3）根据题意得到各个部分的值，最后根据变形求出答案即可． 【解答】解：（1）由题意和图可知，整个正方形的面积为（a+b）2，阴影部分的面积为（a﹣b）2，所以空白部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2， 空白部分的面积还可以表示为4ab， 则恒等式为（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）①∵xy＝4，x+y＝6， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣16＝20， 故答案为：20； ②令a＝x﹣2，b＝5﹣x， 由题意可知a+b＝3，a﹣b＝（x﹣2）﹣（5﹣x）＝2x﹣7， ∴（a﹣b）2＝（2x﹣7）2， ∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， ∴9﹣（a﹣b）2＝8， ∴（a﹣b）2＝1， ∴（2x﹣7）2＝1， （3）设AE＝ED＝m，AB＝BC＝n， 由题意可知n﹣m＝2，， ∴mn＝15， ∵（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn， ∴（m+n）2﹣4＝60， ∴（m+n）2＝64， ∴m+n＝8（负值已舍去）， ∴梯形的面积为：， 答：梯形EBCD的面积为8． 23. （2025春•姑苏区期末）·【较易】我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，利用图①可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【知识生成】：如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为a，宽为b）围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：　 　 ； 【类比应用】：已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为a，宽为b（a＞b），求a﹣b的值； 【知识迁移】：如图③所示，某校计划在一块面积为192m2的长方形空地ABCD（AB＜AD）中划出长方形BEFG和长方形DMNO2，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池HNRF（其中HF＝NR＝3m，HN＝FR＝2m），并将长方形AEHQ和长方形RGCM两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为46m，求AD和AB的长． 【分析】（1）通过求阴影部分面积得到等式； （2）利用长方形周长和面积公式结合已知等式求解； （3）通过设未知数表示花园周长和空地面积来求解长方形的长和宽． 【解答】解：（1）大正方形的边长为（a+b），其面积为（a+b）2． 阴影部分面积S＝ （a+b）2﹣4ab．所以可得到等式（a﹣b）2＝ （a+b）2﹣4ab． 故答案为：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2； （2）C ＝ 2×（长+宽），可得2（a+b）＝6，化简得a+b ＝ 3． 已知面积为1，即ab ＝ 1． （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，把a+b ＝ 3，ab ＝ 1代入可得（a﹣b）2＝32﹣4×1， 所以a﹣b； （3）设AQ＝a，AE＝b，MC＝c，CG＝d， ∴a+b+c+d＝23， ∴AB＝b+2+c，AD＝a+3+c， ∴（b+2+c）（a+3+d）＝192， 令b+c＝m，则a+d＝23﹣m， ∴（m+2）（26﹣m）＝192， 解得m＝10或m＝14， 当m＝10时，AB＝12，AD＝16； 当m＝14时，AB＝16，AD＝12， ∵AD＞AB， ∴AD＝16，AB＝12． 24. （2025春•淮安期末）·【中档】【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 公式②：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 图1对应公式　 　 ；图2对应公式　 　 ． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①，求的值； ②（16﹣x）（x﹣3）＝20，求（16﹣x）2+（x﹣3）2． 【迁移运用】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线BE⊥CF时，若BE＝10，阴影部分的面积和为35，请求出正方形ABGF和正方形GCDE的面积和．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°） 【拓展提升】 （4）如图4，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记△ABC与△CDE的面积之和为S1，△AHF与△DGF的面积之和为S2． ①当D是边EF的中点时，则的值为　 　 ； ②当D不是边EF的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）根据图形即可得出图1对应公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2对应公式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； （2）①先求出，得出，再根据即可得出答案； ②设m＝16﹣x，n＝x﹣3，得出mn＝20，m+n＝16﹣x+x﹣3＝13，根据完全平方公式变形求出m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝132﹣2×20＝129，即可得出答案； （3）设正方形ABGF的边长为a，正方形CDEG的边长为b，则根据题意，得a+b＝10，得出，根据完全平方公式变形求出a2+b2即可； （4）①根据点D为EF的中点，得出此时四边形DGHC为正方形，设DG＝DC＝GH＝HC＝a，则CE＝GF＝a，FH＝AH＝2a，AC＝BC＝3a，求出，，即可得出答案； ②设DG＝CH＝a，CD＝GH＝b，则DG＝GF＝a，CD＝CE＝b，AH＝FH＝a+b，CA＝CB＝2a+b，求出，，即可得出答案． 【解答】解：（1）图1对应公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2对应公式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故答案为：②；①； （2）①由条件可知， ∴， ∴． ②设m＝16﹣x，n＝x﹣3， ∴mn＝20，m+n＝13， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝132﹣2×20＝129； ∴（16﹣x）2+（x﹣3）2＝129． （3）设正方形ABGF的边长为a，正方形CDEG的边长为b， 则根据题意，得a+b＝10， 由条件可知∠EGF＝∠BGC＝90°， ∴， ∴ab＝35， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×35＝30 ∴正方形ABGF和正方形GCDE的面积和为30． （4）①根据题意可得：△ABC、△CDE、△AHF、△DGF都是等腰直角三角形， ∵点D为EF的中点， ∴DF＝DE， ∴此时四边形DGHC为正方形， 设DG＝DC＝GH＝HC＝a，则CE＝GF＝a， FH＝AH＝2a，AC＝BC＝3a， ∴， ， ∴； 故答案为：2； ②结论成立；理由如下： 根据题意可得：△ABC、△CDE、△AHF、△DGF都是等腰直角三角形， ∵四边形CDGH为长方形， ∴设DG＝CH＝a，CD＝GH＝b， 则DG＝GF＝a，CD＝CE＝b， AH＝FH＝a+b，CA＝CB＝2a+b， ∴S1＝S△ABC+S△DCE ＝2a2+2ab+b2， S2＝S△AFH+S△DFG ， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $