精品解析：江苏苏州市昆山市2025-2026学年下学期七年级期中数学

初一数学 （满分130分 时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在答题卷相对应的位置上． 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 2. 子是一种基本粒子，平均寿命约为秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把绕点按逆时针方向旋转得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 计算机存储单位一般用，，，，，．．．表示，它们之间的关系：，，，，的硬盘容量等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（ ） A. 或 B. 或5 C. 或5 D. 或 二、填空题：本大题共8题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卷相应的位置上． 9. 计算：__________． 10. 如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，已知的周长是，，则的长为__________． 11. 比较大小：_____（填“”“>”或“”）． 12. 已知，，则的值为________． 13. 生活中有很多图形可以通过图形变换得到．如图是把正方形绕中心顺时针旋转以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为__________． 14. 已知多项式（为常数）是关于的多项式的完全平方式，则的值为__________． 15. 定义：若一个正整数能表示成两个连续正奇数的平方差形式，那么我们把这样的正整数叫做“奇衍数”，如，正整数8就是“奇衍数”．那么100以内所有“奇衍数”的和为__________． 16. 《详解九章算法》中记录了“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的规律． 根据数表规律，写出的展开式中，的一次项系数是__________． 三、解答题：4小入题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卷相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，将沿射线方向平移得到，连接．若，求的度数． 21. 如图，点是直线上一点，，平分． （1）的度数是__________； （2）尺规作图：作直线，使得（不写作法，保留作图痕迹并标注字母）． 22. 小刚同学计算一道整式乘法问题：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． （1）求的值； （2）写出这道整式乘法问题的正确结果． 23. 若（且是正整数），则．请你利用上面的结论解决下面的2个问题． （1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 24. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 探索以上等式的规律，解决下列问题 （1）写出第5个等式：__________； （2）试写出第个等式，并说明第个等式成立． 25. 如图1所示，长为，宽为（其中为正数）的小长方形纸片．现有8张这样的小长方形纸片，把其中的4张按如图2所示的方式不重叠地放在一个正方形内，另外的4张按如图3所示的方式不重叠地放在一个长方形内．设正方形面积为，长方形面积为． （1）正方形的面积为__________，长方形的面积为__________（用含的代数式表示）； （2）是否存在正数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）试比较与的大小． 26. 探寻数学的对称美，并完成任务： 主题：探寻数学的对称美 素材1 几何图形中有轴对称图形，在多项式中存在对称式．一个含有两个字母的多项式中，如果任意交换两个字母的位置，所得结果与原多项式相同，则称这个多项式为“二元对称多项式”，如：等都是“二元对称多项式”． 素材2 若多项式是关于的多项式，且满足两个条件：1．是一个“二元对称多项式”；2．多项式经过加法、减法、乘法中的某一种运算并化简后可得到，我们把这样的三个二元多项式称为“二元对称关联多项式”． （1）任务1：，其中是“二元对称多项式”的是__________（填序号）． （2）任务2：已知关于的多项式：，（为常数），若是“二元对称多项式”，试说明也是“二元对称多项式”． （3）任务3：已知关于的三个多项式：（为常数）是“二元对称关联多项式”，求的值． 27. 综合探究： 【问题感知】 （1）如图1，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，若的延长线过点，且，则__________； 【问题初探】 （2）如图2，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，的延长线交于点，，求的度数； 【问题深探】 （3）如图3，在钝角三角形纸片中，，．点为边上一点（不与点重合），将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学 （满分130分 时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在答题卷相对应的位置上． 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】同底数幂乘法法则为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】． 2. 子是一种基本粒子，平均寿命约为秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数据用科学记数法表示应为． 3. 如图，把绕点按逆时针方向旋转得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，故错误； 选项B：，故正确； 选项C： ，故错误； 选项D：，故错误． 5. 如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 则长方形花圃的面积为． 6. 计算机存储单位一般用，，，，，．．．表示，它们之间的关系：，，，，的硬盘容量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给出的存储单位换算关系，再利用同底数幂的乘法法则计算，即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴的硬盘容量等于． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件变形得到对应式子的值，然后根据多项式乘多项式的运算法则展开所求代数式，最后利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即的值为． 8. 如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（ ） A. 或 B. 或5 C. 或5 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，则可推出，据此分两种情况：和，分别建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线把长方形面积分成相等的两部分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为或5． 二、填空题：本大题共8题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卷相应的位置上． 9. 计算：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】用单项式乘多项式的每一项，再将所得的积相加计算即可． 【详解】解： ． 10. 如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，已知的周长是，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的定义推出点与点关于对称，根据翻折的性质得，再结合三角形周长的定义可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴点与点关于对称， ∵将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴． 11. 比较大小：_____（填“”“>”或“”）． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据零指数幂运算法则可得， 根据负整数指数幂运算法则可得， 因为正数大于负数，可得， 因此． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】22 【解析】 【分析】把已知条件a-b=4两边平方，根据完全平方公式展开，然后代入数据计算即可求解． 【详解】∵a-b=4， ∴a2-2ab+b2=16， ∵ab=3， ∴a2+b2=16+2×3=22． 故答案为：22． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式的变形求解和整体代入法求代数式的值，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键. 13. 生活中有很多图形可以通过图形变换得到．如图是把正方形绕中心顺时针旋转以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质可知，该十六边形是中心对称图形，对称中心为点，且阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心，根据中心对称图形的性质可得阴影部分的面积是十六边形面积的． 【详解】解：由题意可知，该十六边形是由正方形绕中 顺时针旋转  以后与原图形组成的，  该十六边形是中心对称图形，对称中心为点． 观察图形可知，阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心，   阴影部分的面积等于十六边形面积的．   十六边形的面积为 ，   阴影部分的面积为 ． 14. 已知多项式（为常数）是关于的多项式的完全平方式，则的值为__________． 【答案】9 【解析】 【详解】解：∵（为常数）是关于的多项式的完全平方式， ∴原式， ∴ ． 15. 定义：若一个正整数能表示成两个连续正奇数的平方差形式，那么我们把这样的正整数叫做“奇衍数”，如，正整数8就是“奇衍数”．那么100以内所有“奇衍数”的和为__________． 【答案】624 【解析】 【分析】设n为正整数，则是两个连续的正奇数，可证明，则所有的“奇衍数”一定是8的倍数，求出100以内所有能被8整除的正整数的和即可得到答案． 【详解】解：设n为正整数，则是两个连续的正奇数， ， ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴所有的“奇衍数”一定能被8整除， ∴100以内所有“奇衍数”的和为． 16. 《详解九章算法》中记录了“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的规律． 根据数表规律，写出的展开式中，的一次项系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察可知，的展开式中，a的一次项系数为n，那么可得的展开式中x的一次项为，据此可得答案． 【详解】解：，a的一次项系数为1， ，a的一次项系数为2， ，a的一次项系数为3， ，a的一次项系数为4， ……， 以此类推，可知的展开式中，a的一次项系数为n， ∴的展开式中，x的一次项为， ∴的展开式中，的一次项系数是． 三、解答题：4小入题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卷相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据有理数的乘方、零指数幂及负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算； （2）根据积的乘方及幂的乘方、同底数幂的乘法及同底数幂的除法将原式化简，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据完全平方公式、去括号法则将原式展开，再合并同类项，最后将，代入计算． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 20. 如图，将沿射线方向平移得到，连接．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【详解】解：由平移的性质可知，，， ． 21. 如图，点是直线上一点，，平分． （1）的度数是__________； （2）尺规作图：作直线，使得（不写作法，保留作图痕迹并标注字母）． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再利用平角求解即可； （2）延长至点，以为圆心作弧交于点、，以、为圆心，大于长为半径作弧相交于点，直线即为所求作． 【小问1详解】 解：，平分， ， ； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求作． 22. 小刚同学计算一道整式乘法问题：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． （1）求的值； （2）写出这道整式乘法问题的正确结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，把等式左边展开得到关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求结合多项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得 ． 23. 若（且是正整数），则．请你利用上面的结论解决下面的2个问题． （1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则，进而可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得，则，进而得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 24. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 探索以上等式的规律，解决下列问题 （1）写出第5个等式：__________； （2）试写出第个等式，并说明第个等式成立． 【答案】（1） （2）第个等式为，见解析 【解析】 【分析】（1）观察可知连续的两个正偶数的乘积等于较小的偶数加上1后的平方减1，据此可得答案； （2）根据（1）的规律写出第n个等式，再利用分别展开说明即可． 【小问1详解】 解：由题意得，第5个等式为 ； 【小问2详解】 解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ……， 以此类推，可知第个等式为， 说明如下： ， ， ∴． 25. 如图1所示，长为，宽为（其中为正数）的小长方形纸片．现有8张这样的小长方形纸片，把其中的4张按如图2所示的方式不重叠地放在一个正方形内，另外的4张按如图3所示的方式不重叠地放在一个长方形内．设正方形面积为，长方形面积为． （1）正方形的面积为__________，长方形的面积为__________（用含的代数式表示）； （2）是否存在正数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）试比较与的大小． 【答案】（1）；； （2）不存在正数，使得； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出正方形的边长和长方形的长和宽，再计算面积即可； （2）根据（1）所得式子列方程，求出的值，再结合为正数求解即可； （3）根据（1）所得式子作差，利用平方的非负性求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，正方形的边长为，长方形的长为，宽为， 则正方形的面积为，长方形DEFG的面积为； 【小问2详解】 解：不存在正数，使得， 若， 则， ， ， 解得：， 为正数， 不存在； 【小问3详解】 解： ， ， 26. 探寻数学的对称美，并完成任务： 主题：探寻数学的对称美 素材1 几何图形中有轴对称图形，在多项式中存在对称式．一个含有两个字母的多项式中，如果任意交换两个字母的位置，所得结果与原多项式相同，则称这个多项式为“二元对称多项式”，如：等都是“二元对称多项式”． 素材2 若多项式是关于的多项式，且满足两个条件：1．是一个“二元对称多项式”；2．多项式经过加法、减法、乘法中的某一种运算并化简后可得到，我们把这样的三个二元多项式称为“二元对称关联多项式”． （1）任务1：，其中是“二元对称多项式”的是__________（填序号）． （2）任务2：已知关于的多项式：，（为常数），若是“二元对称多项式”，试说明也是“二元对称多项式”． （3）任务3：已知关于的三个多项式：（为常数）是“二元对称关联多项式”，求的值． 【答案】（1）①④ （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“二元对称多项式”的定义逐一判断即可； （2）可求出 ，根据是“二元对称多项式”，可得 ，则可求出，据此计算出的结果，再根据定义判断即可； （3）可证明多项式 和 都不是“二元对称多项式”，则由“二元对称关联多项式”的定义得到多项式是“二元对称多项式”，则；可知多项式不能由多项式 和 进行加减计算得到，则由“二元对称关联多项式”的定义可得 ，据此求解即可． 【小问1详解】 解：多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式相等，故多项式是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式相等，故多项式是“二元对称多项式”； ∴①④是“二元对称多项式”； 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴ ， ∵是“二元对称多项式”， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 多项式交换x、y的位置为多项式， ∵多项式与多项式相等， ∴也是“二元对称多项式”． 【小问3详解】 解：多项式 交换x、y的位置为多项式 ，交换前后的多项式不相等，故多项式 不是“二元对称多项式” 多项式 交换x、y的位置为多项式 交换前后的多项式不相等，故多项式 不是“二元对称多项式”， ∵关于的三个多项式： （为常数）是“二元对称关联多项式”， ∴多项式是“二元对称多项式”， ∴， ∴； ∵多项式 和多项式 中未知数x、y的次数都为1，而多项式中未知数x、y的次数含有2次， ∴多项式不能由多项式 和 进行加减计算得到， ∴由“二元对称关联多项式”的定义可得 ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴． 27. 综合探究： 【问题感知】 （1）如图1，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，若的延长线过点，且，则__________； 【问题初探】 （2）如图2，长方形纸片，点，分别为，边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，的延长线交于点，，求的度数； 【问题深探】 （3）如图3，在钝角三角形纸片中，，．点为边上一点（不与点重合），将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置．若所在直线与三角形的一边所在直线垂直，求的度数． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）由长方形性质得，，由得，再由折叠性质得，根据平行线的性质得，然后由可得答案； （2）由长方形性质得，，由得，再由折叠性质得，进而得，然后在三角形中求出，最后结合邻补角的定义可得答案； （3）先求出，分四种情况讨论如下： ①当时，且点在左侧时，则，由折叠性质得，再根据得，在三角形中，由即可； ②当时，设的延长线交于点，则，由折叠性质得，，在三角形中求出，据此可得的度数； ③当时，设与相交于点，则，在三角形中可求出，则，再由折叠性质得，然后在三角形中可得的度数； ④当，且点在右侧时，则，由折叠性质得，然后在三角形中可得的度数． 【小问1详解】 解：∵在长方形中，，，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在长方形中，，，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置， ∴， ∴， 在三角形中，， ∴； 【小问3详解】 解：∵在三角形中，，， ∴， 当所在直线与三角形的一边所在直线垂直时，有以下四种情况： ①当时，如图3①所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， 在三角形中，； ②当时，设的延长线交于点，如图3②所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴，， 在三角形中，， ∴； ③当时，设与相交于点，如图3③所示： ∴， 在三角形中，， ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， 在三角形中，； ④当，且点在右侧时，如图3④所示： ∴， ∵将三角形纸片沿折叠后，点落在点的位置， ∴， 在三角形中，， 综上所述，的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $