精品解析：江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上． 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 某衣原体病毒的直径大约米，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，则A不符合题意， B．，则B不符合题意， C．，则C符合题意， D．，则D不符合题意， 故选：C． 4. 已知是方程的一个解，那么a的值是（　　） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， ∴a的值1． 故选：C． 5. 下列乘法运算可以用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握其表示形式是解题的关键． 平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可． 【详解】解：A.不可以用平方差公式计算，故该选项不符合题意； B.，不可以用平方差公式计算，故该选项不符合题意； C. ，不可以用平方差公式计算，故该选项不符合题意； D.，可以用平方差公式计算，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，由与组成的图形为中心对称图形，下列说法正确的有（　　） ①；②；③线段的中点为对称中心；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此可得结论． 【详解】解：由与组成的图形为中心对称图形， 可得：；；线段或的中点为对称中心；， ∴． 所以正确的有3个． 故选：B． 7. 《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得： ； 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是杨辉三角与二项式展开式，灵活运用杨辉三角的系数规律及代入法展开是解题的关键．根据杨辉三角给出的的展开式系数规律，得到的展开式，再将，代入，进而求出展开式的第二项． 【详解】解：由图可得，， 将，代入得：， 化简得，， 的展开式中第二项是． 故选：． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡相应的位置上． 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，据此进行计算即可． 本题考查单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，沿CB方向平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长为______cm． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质．先根据图形平移的性质得出，，据此可得出结论． 【详解】解：∵沿CB方向平移得到， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴四边形的周长 ． 故答案为：24． 11. 如图所示，梯形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据梯形面积公式、单项式乘多项式的运算法则计算． 本题考查的是梯形，熟记梯形面积公式是解题的关键． 【详解】解：梯形的面积为：， 故答案为：． 12. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点D，若，则 _______°． 【答案】59 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理计算出，再根据基本作图和角平分线的定义得到，然后利用互余计算出的度数． 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了基本作图和三角形的角平分线． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法得平分∠BAC， ∴， ∴． 故答案为：59． 13. 把方程写成用含有x的代数式表示y的形式，得__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的性质，把方程变形，得出用含有x的代数式表示y即可． 本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 方程两边同时除以，得． 故答案为：． 14. 已知 ，则a，b，c的大小关系是__________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】利用有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂计算后比较大小． 本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，有理数的大小比较． 【详解】解：∵， 且， ∴． 故答案为：． 15. 已知，则的值为 _____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法进行解题即可． 本题考查同底数幂的除法、代数式求值、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 16. 已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义和解二元一次方程组的一般步骤． 先利用等式的基本性质把方程组变形为：，然后根据已知条件，列出关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：方程组变形为：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴方程组的解为， 由①得：， 由②得：， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共82分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算单项式乘单项式，积的乘方，再合并即可解答； （2）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算，再合并即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组； （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先变形，再根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：（1）， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； 【小问2详解】 ， 方程组可化为， ①+②，得， 解得， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【解析】 【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 将，代入，可得： 原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 20. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格图形（每个小正方形的顶点都叫做格点），的三个顶点都在格点上，利用网格画图． （1）将向右平移8个单位长度，向下平移2个单位长度后得； ①画出； ②的面积为 ． （2）画出线段绕点C顺时针旋转后的线段． 【答案】（1） ①画图如下：则即为所求． ② （2） 画图如上，则即为所求． 【解析】 【分析】（1）①根据平移的性质作图即可． ②利用割补法求三角形的面积即可． （2）根据旋转的性质作图即可． 本题考查作图﹣旋转变换、三角形的面积、作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 ①解：将向右平移8个单位长度，向下平移2个单位长度． ②的面积为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意线段绕点C顺时针旋转后的线段． 21. 如图，已知中． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）； （2）连接，若，的周长是18，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由题意得，由线段垂直平分线的性质可得，则可得的周长为． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 解：连接， ∵的周长是18， ∴， ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 22. 定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； （2）二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】（1） （2）m的值为405，n的值为405 【解析】 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 23. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …． 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式 ． （2）试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． 【答案】（1） （2） ， 证明如下： 左边 ， ∴左边右边， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． （1）根据数字的变化规律，直接写出第5个等式； （2）根据数字的变化规律，直接写出第n个等式，再证明即可． 【小问1详解】 解：根据数字的变化规律可知，第5个等式为： ； 【小问2详解】 略 24. 请运用幂的运算性质解决下列问题： （1）若，求的值； （2）计算：． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，把所求幂写成含有xa，xb的形式，再代入进行计算即可； （2）先把写成，然后利用乘法的运算律和积的乘方法则进行简便计算即可． 本题主要考查了整式和实数的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的的除法法则、幂的乘方法则和积的乘方法则． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解： ． 25. 【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得最小． 【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以 ． 以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 ． 【解决问题】如图3，在四边形中，，在边，上分别确定点P，点Q，使得周长最小． （1）尺规作图：作出（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，求的度数． 【答案】，，两点之间线段最短；（1）见解析；（2）80° 【解析】 【分析】[分析问题]利用轴对称的性质，两点之间线段最短解决问题； [解决问题]①作点D关于的对称点，关于的对称点，连接分别交于点P，交于点Q，连接，即可； ②求出可得结论． 【详解】解：[分析问题]：如图2中，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以． 上问题的解决过程中运用的数学基本事实是：两点之间线段最短； [解决问题]：①如图3中，即为所求； 根据轴对称可知：，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称最短问题，角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26. （1）用4个长和宽均为a，b的长方形拼成如图1的大正方形，可用两种方法来表示图中阴影部分的面积，方法一：，方法二： ，可得等式： ． （2）若，求的值． （3）将两个正方形卡片以图2方式摆放，使A，M，B在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为52，求阴影部分的面积． 【答案】（1），；（2）52；（3）24 【解析】 【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作大正方形与4个长方形的面积差进行解答即可； （2）利用（1）的结论代入计算即可； （3）设，由题意可得，根据代入计算即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作大正方形与4个长方形的面积差，即， 所以有， 故答案为：，； （2）∵， ∴ ； （3）设， 由题意可得， ∴， 27. 如图1，将两个完全相同的透明直角三角板放置在一起，点C，F重合，点A在的延长线上，点D在的延长线上，与交于点G．，． （1）的度数是 °； （2）将图1中的绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后停止运动，设旋转时间为t秒． ①当时，判断边与边的位置关系，并说明理由； ②在旋转的过程中，恰有一边与边平行，求t的值． 【答案】（1）30 （2）①，理由见解答；②t的值是3或12或15 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余和三角形外角的性质即可解答； （2）①如图2，根据三角形的内角和定理可得，即可得结论； ②分三种情况：i）如图2，，ii）如图3，，iii）如图4，，延长交于点G，根据平行线的性质即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，∵，． ∴， ∵， ∴， 故答案为：30； 【小问2详解】 ①当时，边与边的位置关系是：，理由如下： 如图2，当时，， ∵， ∴， ∴； ②分三种情况： i）如图2，由①可得， ∴， 此时； ii）如图3，， ∴， ∴， ∴； iii）如图4，，延长交于点G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，t的值是3或12或15． 【点睛】此题是三角形的综合题，考查了平行线的性质，旋转的性质，三角形内角和，三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上． 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 某衣原体病毒的直径大约米，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知是方程的一个解，那么a的值是（　　） A. B. C. 1 D. 3 5. 下列乘法运算可以用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，由与组成的图形为中心对称图形，下列说法正确的有（　　） ①；②；③线段的中点为对称中心；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡相应的位置上． 9. 计算：________． 10. 如图，沿CB方向平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长为______cm． 11. 如图所示，梯形的面积为_________． 12. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点D，若，则 _______°． 13. 把方程写成用含有x的代数式表示y的形式，得__________． 14. 已知 ，则a，b，c的大小关系是__________．（用“”连接） 15. 已知，则的值为 _____ ． 16. 已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为_____________． 三、解答题：本大题共82分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组； （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格图形（每个小正方形的顶点都叫做格点），的三个顶点都在格点上，利用网格画图． （1）将向右平移8个单位长度，向下平移2个单位长度后得； ①画出； ②的面积为 ． （2）画出线段绕点C顺时针旋转后的线段． 21. 如图，已知中． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）； （2）连接，若，的周长是18，求的周长． 22. 定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； （2）二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 23. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …． 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式 ． （2）试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． 24. 请运用幂的运算性质解决下列问题： （1）若，求的值； （2）计算：． 25. 【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得最小． 【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以 ． 以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 ． 【解决问题】如图3，在四边形中，，在边，上分别确定点P，点Q，使得周长最小． （1）尺规作图：作出（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，求的度数． 26. （1）用4个长和宽均为a，b的长方形拼成如图1的大正方形，可用两种方法来表示图中阴影部分的面积，方法一：，方法二： ，可得等式： ． （2）若，求的值． （3）将两个正方形卡片以图2方式摆放，使A，M，B在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为52，求阴影部分的面积． 27. 如图1，将两个完全相同的透明直角三角板放置在一起，点C，F重合，点A在的延长线上，点D在的延长线上，与交于点G．，． （1）的度数是 °； （2）将图1中的绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后停止运动，设旋转时间为t秒． ①当时，判断边与边的位置关系，并说明理由； ②在旋转的过程中，恰有一边与边平行，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $