精品解析：湖北黄石市大冶市2025-2026学年下学期八年级数学期中试卷

八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．学生在答题前请仔细阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个二次根式中，与其他三个不能合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 某班级的四个数学小组在制作直角三角形模型，分别以下列各组数为边，其中不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. ，， C. 6，8，10 D. 7，24，25 5. 如图，中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在海面上有两个疑似漂浮目标，接到消息后，舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行．同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是（ ） A. A北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东 7. 如图，在中，对角线与相交于点O，如果，，那么的长可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 9 D. 12 8. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 菱形的对角线垂直且互相平分 C. 正方形的对角线相等、垂直且互相平分 D. 平行四边形是轴对称图形 9. 如图，的对角线、相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点C作交的延长线于点E，连接且，，则四边形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 木匠师傅在判断一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均为，另一组对边的长为均，一条对角线长为，于是判断此木框为矩形，此方法是否合理_________．（填合理或不合理） 13. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形，则的度数为______． 14. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为______． 15. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F在边上，且，则点A到的距离为______；线段______． 三、解答题（6分+6分+6分+8分+8分+8分+10分+11分+12分，共75分） 16. 计算 （1）； （2） 17. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 18. 有一个长方形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原矩形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，那么最多能截出几个这样的木条？直接写出答案． 19. 如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连接、，若四边形是矩形，则与满足什么数量关系？并说明理由． 20. 如图，在如图所示的的方格中，每个小方格的边长都为1．试在三个方格中，分别画出满足下列条件的三个直角三角形，使各顶点都在方格的格点上． （1）三边都是整数； （2）斜边为； （3）直角边为的等腰直角三角形． 21. 阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，．那么a、b，c，三者之间的数量关系是______． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，，可以表示为______，还可以表示为______，因为正方形面积不变，可得等式，∴，从而整理可得，证得勾股定理成立． （3）如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t s． （1）______ cm； （2）若四边形为平行四边形，求t的值； （3）若是以为底的等腰三角形，求此时t的值． 23. 如图，在正方形中，与相交于点O，把一个直角绕点O进行旋转，角的两边分别交、于点E、F． （1）求证：； （2）如图1，探究，与的数量关系，并进行证明； （3）如图2．连接，若，，求线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，并且实数a、b满足，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形．点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）求点C的坐标； （2）如图1，当点D落在线段上时，求点H的坐标； （3）如图2，点K是的三等分点（靠近点B处），点T、点M是线段上的动点，且，求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．学生在答题前请仔细阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，依次验证各选项即可． 【详解】解：选项A：是最简二次根式，故本选项符合题意； 选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项C：，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： A、与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 3. 下列四个二次根式中，与其他三个不能合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：，，， ∴与其他三个不能合并的是． 4. 某班级的四个数学小组在制作直角三角形模型，分别以下列各组数为边，其中不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. ，， C. 6，8，10 D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．， ∴3，4，5能组成直角三角形，该选项不符合题意； B．，，， ∴，，不能组成直角三角形，该选项符合题意； C．， ∴6，8，10能组成直角三角形，该选项不符合题意； D．， ∴7，24，25能组成直角三角形，该选项不符合题意； 5. 如图，中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由勾股定理得，， ，，即，， ， 故选：B． 6. 在海面上有两个疑似漂浮目标，接到消息后，舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行．同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是（ ） A. A北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东 【答案】C 【解析】 【分析】根据路程=速度×时间分别求出的长，利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，得出，结合舰艇的方位角即可求出舰艇的航行方向． 【详解】解：由题意得： （海里）， （海里），  ∵，  ∴，  ∴为直角三角形，且，  ∵舰艇向北偏西方向航行，  ∴舰艇的航行方向为北偏东． 7. 如图，在中，对角线与相交于点O，如果，，那么的长可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系. 根据平行四边形对角线互相平分求出的长，再在中利用三角形三边关系确定的取值范围，结合选项即可得出答案.． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，  ∴， 在中，由三角形三边关系得：，  ∴，即， 观察选项，只有在与之间． 8. 下列说法不正确的是（ ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 菱形的对角线垂直且互相平分 C. 正方形的对角线相等、垂直且互相平分 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质以及特殊平行四边形的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 矩形的对角线性质为对角线相等且互相平分， ∴A选项说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线性质为对角线互相垂直平分， ∴B选项说法正确，不符合题意； ∵正方形的对角线性质为对角线相等，垂直且互相平分， ∴C选项说法正确，不符合题意； ∵普通平行四边形找不到对称轴，不是轴对称图形， ∴D选项说法错误，符合题意． 9. 如图，的对角线、相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形性质和角平分线性质证得，求出的长，再利用三角形中位线定理求解即可 ． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，  ∴ ， ∴，  ∵平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴，  ∴ ， ∵是的中点， ， ∴是的中位线， ∴ ． 10. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点C作交的延长线于点E，连接且，，则四边形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知点是的中点，由可知是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可 ． 【详解】解：∵四边形是菱形 ， ∴，即点是的中点， ∵ ， ∴ ，， ∴在中，，  ， ∴菱形的面积． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 木匠师傅在判断一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均为，另一组对边的长为均，一条对角线长为，于是判断此木框为矩形，此方法是否合理_________．（填合理或不合理） 【答案】合理 【解析】 【分析】根据两组对边都相等，以及对边和斜边满足勾股定理的逆定理可得一个角为直角，即可判断矩形． 【详解】解：∵测量的两组对边都相等，分别为0.6m，0.8m， ∴该木框为平行四边形， 又∵一条对角线长为1m， 满足， ∴该木框有一个角是直角， ∴该四边形木框是矩形，即此方法合理， 故答案为：合理． 【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 13. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形，则的度数为______． 【答案】##108度 【解析】 【详解】解：∵正五边形 ∴． 14. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证明△COE≌△OAF，推出CE＝OF，OE＝AF，由此即可解决问题． 【详解】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E． ∵四边形ABCO是正方形， ∴OA＝OC，∠AOC＝90°， ∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°， ∴∠COE＝∠OAF， 在△COE和△OAF中， ， ∴△COE≌△OAF， ∴CE＝OF，OE＝AF， ∵A（1，）， ∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝， ∴点C坐标， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F在边上，且，则点A到的距离为______；线段______． 【答案】 ①. ②. ##1.6## 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理的应用，过点A作交的延长线于点H，根据菱形的性质得，和，在中利用解直角三角形求得， ，即可知点A到的距离；延长交的延长线于点G，即可证明 ，则， 可证明 ，设，则， ，，，在中，利用勾股定理的，解得即可． 【详解】解：过点A作交的延长线于点H，如图， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，  在中，， ， 即点A到的距离为；  延长交的延长线于点G，如图， ∵， ∴， ∵ 点E是的中点， ∴ ， 在和中 ∴ ， ∴，  ∵， ∴， 则 ， 设，则， ， ∴， ∵H在的延长线上， ∴ ， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为，． 三、解答题（6分+6分+6分+8分+8分+8分+10分+11分+12分，共75分） 16. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和正确化简二次根式． （1）先化简二次根式，再进行加减计算； （2）先化简二次根式，计算括号内二次根式的减法，再进行乘除运算，最后进行加减计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 有一个长方形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原矩形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，那么最多能截出几个这样的木条？直接写出答案． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出的近似数，再根据题意解答． 【小问1详解】 解： 两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原矩形木板的面积为； 【小问2详解】 解：最多能截出4块这样的木条．理由如下： ，， （块），（块）， 从剩余的木块（阴影部分）中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出2块这样的木条． 19. 如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连接、，若四边形是矩形，则与满足什么数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形和矩形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，矩形的判定，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，然后根据，得到，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可； （2）由（1）得的结论先证得四边形是平行四边形，通过角的关系得出，，即得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：当，四边形是矩形， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 20. 如图，在如图所示的的方格中，每个小方格的边长都为1．试在三个方格中，分别画出满足下列条件的三个直角三角形，使各顶点都在方格的格点上． （1）三边都是整数； （2）斜边为； （3）直角边为的等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）作三边长分别为3，4，5的，即可； （2）作三边长分别为1，3，的，即可； （3）作直角边为的等腰直角三角形，即可． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 21. 阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，．那么a、b，c，三者之间的数量关系是______． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，，可以表示为______，还可以表示为______，因为正方形面积不变，可得等式，∴，从而整理可得，证得勾股定理成立． （3）如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】（1） （2）；；；； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：在中，，，，， 由勾股定理得，； 【小问2详解】 证明：∵，，可以表示为，还可以表示为， 因为正方形面积不变，可得等式：， 从而整理可得，证得勾股定理成立； 【小问3详解】 解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t s． （1）______ cm； （2）若四边形为平行四边形，求t的值； （3）若是以为底的等腰三角形，求此时t的值． 【答案】（1）13； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点E，证明四边形是矩形，可得，，，然后根据勾股定理可得，即可； （2）结合平行四边形的性质列方程并解方程即可； （3）根据等腰三角形的定义和勾股定理列方程并解方程即可． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 根据题意得：；， 如图，当四边形是平行四边形时，，过点P作于点F，则，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当时， 此时， 在中，， ∴， 解得：； 综上所述，当时，是等腰三角形． 23. 如图，在正方形中，与相交于点O，把一个直角绕点O进行旋转，角的两边分别交、于点E、F． （1）求证：； （2）如图1，探究，与的数量关系，并进行证明； （3）如图2．连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到； （2）由得到，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先得到，然后结合三角形外角的性质求出，然后求出，得到，，然后根据求出，，然后结合求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，连接 ∵ ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴， 由（2）得， ∴ ∴． 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，并且实数a、b满足，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形．点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）求点C的坐标； （2）如图1，当点D落在线段上时，求点H的坐标； （3）如图2，点K是的三等分点（靠近点B处），点T、点M是线段上的动点，且，求出的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得，即可求解； （2）先证明，可得，再证明，可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解； （3）连接交于点P，结合矩形的性质可得为等边三角形，从而得到，作，交y轴上于点G，连接，则，根据直角三角形可得，从而得到，进而得到，，可证明四边形为平行四边形，可得，从而得到，即当点A，T，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴点； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）得：点， ∴ 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴点； 【小问3详解】 解：如图，连接交于点P， ∵点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 如图，作，交y轴于点G，连接，则， ∴， ∴， ∵点K是的三等分点（靠近点B处）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即当点A，T，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $