精品解析：贵州铜仁市万山区2026年4月九年级模拟检测试题 数学

铜仁市万山区 铜仁市2026年4月初三模拟检测试题 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共8页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 估算的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 2. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看这个几何体是（　　） A. B. C. D. 3. 北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到了0.000000001秒．0.000000001用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个重锤如图放置（等腰直角三角尺的底边放在横梁上，重锤线从三角形的顶点竖直向下），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 等腰三角形的“三线合一” B. 垂线段最短 C. 角平分线的性质定理 D. 线段垂直平分线的性质定理 5. 重复抛掷一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数为320次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（ ） A. 0.20 B. 0.32 C. 0.50 D. 0.58 6. 如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点．“马”位于点，则“兵”位于点（　　） A. B. C. D. 7. 甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（ ） A. 对甲乙公平 B. 对甲有利 C. 对乙有利 D. 无法确定 8. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，利用黄金分割法，作将矩形窗框分为上下两部分，其中点为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 在坐标平面内，把直线向下平移1个单位得到的直线表达式为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平行四边形中，，，，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠到，连接，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 把多项式分解因式的结果是______． 14. 一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥的母线长为，则该圆锥底面圆的周长为______．（结果保留） 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，若反比例函数的图象经过这两点，则的值为______． 16. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），与y轴交于点C，点是抛物线上位于第一象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若和的面积相等，则点的坐标是______． 三、解答题（本大题9小题，共98分） 17. 按要求完成作答： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，将的边延长到点，使，连接交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 19. 某校为了了解学生每天参与体育锻炼的情况，从全校学生中随机抽取部分学生对每天参与体育锻炼的时长进行问卷调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 组别 每天参与体育锻炼时长（小时） 人数 36 27 15 30 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，表中______； （2）本次调查数据的中位数出现在______组，扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角是______度； （3）该学校有2800名学生，请你估计该校每天参与体育锻炼时长超过1小时的有多少学生？ 20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． （1）求点坐标； （2）在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： （1）任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； （2）任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 22. 某茶叶商店计划购进甲、乙两种梵净山毛峰茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下表：已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 （1）求的值； （2）茶叶商店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，为保证销售完这两种茶叶的利润不低于40000元，最多购进甲种茶叶多少斤？ 23. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点（不与点，重合），连接． （1）的度数是______，图中的等腰三角形是______．（写出一个即可） （2）求证：． （3）若，求的度数． 24. 炮弹飞行的高低远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，在忽略空气阻力、炮口与地面的高度等其他因素的前提下，发射的炮弹在飞行过程中距发射点的竖直高度（单位：百米）与水平距离（单位：百米）近似满足二次函数关系．某科研机构选择在一座小山前对新研制的火炮进行测试，如图，小山位于火炮正前方．山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米．（图中各点在同一平面内，火炮与山脚、居民区在同一水平线上，火炮底座高度忽略不计） （1）在某次测试中发现，当炮弹飞行的水平距离为12时，达到的最大高度为2.88；若以炮口为坐标原点，以火炮和山脚所在水平线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，则山顶的坐标是______，炮弹飞行轨迹的顶点坐标是______． （2）在（1）的条件下，请通过计算说明炮弹能否越过山顶； （3）通过调整发射角度改变炮弹飞行轨迹，设调整后炮弹的运行轨迹为抛物线（，，为常数，且），已知炮弹的最大杀伤半径为2百米，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点处有居民区；若要求炮弹落点在山顶和居民区之间（既要越过山顶，又不影响居民区），求的取值范围． 25. 如图①，正方形的边绕点顺时针旋转，点是点旋转后的对应点，旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接． （1）如图①，当时，的度数是______，与的数量关系是______； （2）如图②，当时，连接，求证：； （3）当时，连接，请探究在点旋转的过程中，线段与线段的数量关系．（用等式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁市万山区 铜仁市2026年4月初三模拟检测试题 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共8页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 估算的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是明确估算无理数大小要用逼近法．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在2和3之间． 故选：C 2. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看这个几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，从左到右共3列，小正方形的个数分别为：1、2、1， 故选：A． 3. 北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到了0.000000001秒．0.000000001用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个重锤如图放置（等腰直角三角尺的底边放在横梁上，重锤线从三角形的顶点竖直向下），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 等腰三角形的“三线合一” B. 垂线段最短 C. 角平分线的性质定理 D. 线段垂直平分线的性质定理 【答案】A 【解析】 【详解】解：木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个重锤如图放置（等腰直角三角尺的底边放在横梁上，重锤线从三角形的顶点竖直向下），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的“三线合一”． 5. 重复抛掷一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数为320次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（ ） A. 0.20 B. 0.32 C. 0.50 D. 0.58 【答案】B 【解析】 【分析】大量重复试验中，可用事件发生的频率估计概率，只需计算“凸面向上”的频率即可得到概率的估计值． 【详解】解：∵重复抛掷啤酒瓶盖1000次，“凸面向上”的次数为320次， ∴“凸面向上”的频率为， ∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为0.32． 6. 如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点．“马”位于点，则“兵”位于点（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图， “兵”位于点（−3，1）. 故选：C. 7. 甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（ ） A. 对甲乙公平 B. 对甲有利 C. 对乙有利 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】判断游戏规则是否公平，只需计算甲乙两人获胜的概率，比较概率是否相等即可，概率相等则规则公平，否则不公平． 【详解】解：∵掷一枚均匀骰子，朝上的点数共有6种等可能的结果，其中点数为奇数的结果有1，3，5，共3种，点数为偶数的结果有2，4，6，共3种， ∴甲获胜的概率，乙获胜的概率， ∵， ∴这个游戏规则对甲乙公平． 8. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：D． 9. 如图，利用黄金分割法，作将矩形窗框分为上下两部分，其中点为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】由黄金分割得，将代入即可求解． 【详解】解：点为边的黄金分割点，， ， ， ， 即线段的长为米． 10. 在坐标平面内，把直线向下平移1个单位得到的直线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：把直线向下平移1个单位得到的直线表达式为． 11. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中可求得，在中可求得，可求出． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，在平行四边形中，，，，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠到，连接，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据折叠的性质得到，即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上，以E为圆心、1为半径作圆，连接，过E作交延长线于N，可知的最小值是，根据三角形内角和定理及等角对等边得到，根据勾股定理求出，则，根据勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠到， ∴， 即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上． 如图，以E为圆心、1为半径作圆，连接，过E作交延长线于N， 可知的最小值是． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴的最小值． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥的母线长为，则该圆锥底面圆的周长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长，已知扇形的圆心角和半径（即圆锥母线长），利用弧长公式计算即可得到结果． 【详解】解：圆锥的母线长是侧面展开扇形的半径，即，圆心角． 根据弧长公式，扇形弧长为：． ∵圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴该圆锥底面圆的周长为． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，若反比例函数的图象经过这两点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：反比例函数的图象经过，两点，可得， ， 整理得， 解得． 16. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），与y轴交于点C，点是抛物线上位于第一象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若和的面积相等，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，如图：连接，易得，再说明；如图：过作轴于F，设，则，然后根据列方程求得p即可解答． 【详解】解：令，则，解得或， 令，则， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 如图：过作轴于F，设，则， ∴，，， ∵， ∴，整理得：，解得：或（不合题意舍去）， ∴点P的坐标是． 三、解答题（本大题9小题，共98分） 17. 按要求完成作答： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式、绝对值，计算负整数指数幂、零指数幂、三角函数，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 当时，原式 18. 如图，将的边延长到点，使，连接交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，可知，根据得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）由题意可知，根据平行四边形的性质得到，进而证明为等边三角形，得到，进而得到，可知四边形是矩形，得到，根据三角函数计算即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， 且， ， 又， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：， 四边形是平行四边形， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ． 19. 某校为了了解学生每天参与体育锻炼的情况，从全校学生中随机抽取部分学生对每天参与体育锻炼的时长进行问卷调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 组别 每天参与体育锻炼时长（小时） 人数 36 27 15 30 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，表中______； （2）本次调查数据的中位数出现在______组，扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角是______度； （3）该学校有2800名学生，请你估计该校每天参与体育锻炼时长超过1小时的有多少学生？ 【答案】（1）150；42 （2）B；36 （3）1344名 【解析】 【分析】（1）根据E的人数及所占百分比求出总数，进而可求m的值； （2）根据中位数的定义可知中位数所在组数，用D组人数除以总数乘以可求D组所在扇形的圆心角； （3）用2800乘以每天参与体育锻炼时长超过1小时的比例即可． 【小问1详解】 解：本次被调查的学生有（人）， ； 【小问2详解】 解：∵本次被调查的学生有150人， ∴中位数为第75、76个人的平均数， ∵， ∴第75、76个人均在B组， 即本次调查数据的中位数出现在B组； D组所在扇形的圆心角是； 【小问3详解】 解：（名）． 20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． （1）求点坐标； （2）在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）先求出，得到，，进而求出，设，则，，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：与轴交于点， 当时，， 解得：， ； 【小问2详解】 解：∵ ， 与轴交于点， 当时，， 则， ∴， 点是的中点， ， ，， 设，则， ， 当时，， 解得：或， 或． 21. 综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： （1）任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； （2）任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）构造直角三角形即可； （2）根据构造的图形结合勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：如图，在b岸选择一点，使，测出的长为； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 即：河的宽度为． 22. 某茶叶商店计划购进甲、乙两种梵净山毛峰茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下表：已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同． 茶叶品种 进价（元/斤） 售价（元/斤） 甲 200 乙 300 （1）求的值； （2）茶叶商店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，为保证销售完这两种茶叶的利润不低于40000元，最多购进甲种茶叶多少斤？ 【答案】（1）的值为100 （2）最多购进甲种茶叶100斤 【解析】 【分析】（1）根据“用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进斤甲种茶叶，则购进斤乙种茶叶，根据表格结合“利润不低于40000元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：的值为100； 【小问2详解】 解：设购进斤甲种茶叶，则购进斤乙种茶叶， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为100， 最多购进甲种茶叶100斤． 23. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点（不与点，重合），连接． （1）的度数是______，图中的等腰三角形是______．（写出一个即可） （2）求证：． （3）若，求的度数． 【答案】（1），（或） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）因为，所以直接可得的度数；因为直径垂直弦，根据垂径定理及圆的半径相等，可找出等腰三角形． （2）要证明，可转化为证明，即证明与相似，需通过圆的性质找两组对应角相等． （3）设为未知数，利用得到角的关系，结合圆中直径、垂径定理、直角三角形的性质，建立角的方程求解． 【小问1详解】 解：∵于点， ∴； ∵直径垂直弦于点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 证明：如图，连接， 和所对的弧都为弧， ， 又， ， 为等腰三角形， ，， 在和中， ， ，； 【小问3详解】 解：如图，连接， ， ， 直径垂直弦， ，， 又， （SAS）， ， 设，， 则， ， ， 又， ， ，，， ， ， ， ∵, ， 在和中， ， （SAS）， ， 即，， ． 24. 炮弹飞行的高低远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，在忽略空气阻力、炮口与地面的高度等其他因素的前提下，发射的炮弹在飞行过程中距发射点的竖直高度（单位：百米）与水平距离（单位：百米）近似满足二次函数关系．某科研机构选择在一座小山前对新研制的火炮进行测试，如图，小山位于火炮正前方．山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米．（图中各点在同一平面内，火炮与山脚、居民区在同一水平线上，火炮底座高度忽略不计） （1）在某次测试中发现，当炮弹飞行的水平距离为12时，达到的最大高度为2.88；若以炮口为坐标原点，以火炮和山脚所在水平线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，则山顶的坐标是______，炮弹飞行轨迹的顶点坐标是______． （2）在（1）的条件下，请通过计算说明炮弹能否越过山顶； （3）通过调整发射角度改变炮弹飞行轨迹，设调整后炮弹的运行轨迹为抛物线（，，为常数，且），已知炮弹的最大杀伤半径为2百米，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点处有居民区；若要求炮弹落点在山顶和居民区之间（既要越过山顶，又不影响居民区），求的取值范围． 【答案】（1）； （2）炮弹不能够越过山丘 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，找到相应点的位置，直接求解即可； （2）根据题意，设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为： ，再将代入，求得解析式，然后将代入求解即可； （3）抛物线解析式为：，求得抛物线解析式，根据题意可得，当时，，当时，，然后列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米可得山顶的坐标， 由当炮弹飞行的水平距离为12时，达到的最大高度为2.88可得炮弹飞行轨迹的顶点坐标， 故答案为：； 【小问2详解】 解：炮弹飞行的水平距离是12百米时，达到最大高度是2.88百米， 设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为： ， 代入得， ， ； 山顶距炮口的水平距离为5百米， 当时，， 炮弹不能够越过山丘； 【小问3详解】 解：设抛物线解析式为：，抛物线经过原点，开口向下， 所以抛物线解析式为：； 要越过山顶， 当时，，即， ①． 根据题意，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点处有居民区，则居民区在处， ∵炮弹的最大杀伤半径为2百米， 且需不影响居民区， 当时，，即； ② 由①②得：， 解得：； 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，理解题意，将实际问题抽象成数学模型，建立二次函数模型，确定出关于的不等式是解题的关键． 25. 如图①，正方形的边绕点顺时针旋转，点是点旋转后的对应点，旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接． （1）如图①，当时，的度数是______，与的数量关系是______； （2）如图②，当时，连接，求证：； （3）当时，连接，请探究在点旋转的过程中，线段与线段的数量关系．（用等式表示） 【答案】（1）； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转得，根据等边对等角、三角形内角和定理，可得，结合正方形的性质可得的度数；再证是等边三角形，推出，，结合，可得是等腰直角三角形； （2）连接，取的中点，连接、，由旋转得，，通过导角得出，根据直角三角形斜边中线的性质及正方形的性质得，推出点、、、四点共圆，由圆周角定理得，推出，即可证明； （3）当时，由（2）知，点，，，四点共圆，证明，可得； 当时，连接，取的中点，连接，，证明点，，，共圆，可得，证明点，，共圆，可得，结合正方形的性质证明，可得． 【小问1详解】 解：由旋转得， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， 是等边三角形， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ； 【小问2详解】 解：连接，取的中点，连接、， 由题意得：，， ，， ， ， ， ， 点、、、四点共圆， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：①当时， 由（2）知，点，，，四点共圆， ， 由（2）知，，， ，， ， ， ， 而， ． ②当时， 连接，取的中点，连接，， 在正方形中，，， 又， ， 点，，，在以点为圆心，为半径同一个圆上， ， 又， 点，，在以点为圆心，为半径的同一圆上， ， 又， ， 四边形为正方形， ，， ， ． 即， 又 ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $