精品解析：2026年贵州省铜仁一中九年级数学第一次学情诊断检测卷

九年级下学期第一次数学模拟测试卷 （时间：120分钟总分：150分） 一、选择题（每小题3分，共36分，每小题A、B、C、D四个选项中，只有一个选项正确） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．能解释这一现象的数学道理是（ ） A. 直线是向两个方向无限延伸的 B. 两点确定一条直线 C. 经过一点有无数条直线 D. 两点之间，线段最短 3. 下图是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　） A. 2，3，4 B. 4，7，5 C. 6，7，8 D. 5，12，13 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 下列从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A. B. C. D. 10. 设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 5 C. 3 D. 11. 如图，在中，，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点G，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点在轴的正半轴上，双曲线在第一象限内的图象经过边的中点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 因式分解________． 14. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 15. 2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，则点的坐标为__________． 16. 如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 三、解答题（共9小题，共98分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）先化简：，再从0、1、2中选一个合适的数代入求值． 18. 如图2，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点为处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）的变化情况．得出如下几组实验数据： /cm 10 15 25 30 30 20 a 10 （1）表中的值是__________； （2）小明通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系，在如图1所表示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图像； （3）根据以上数据与图像判断，当增大时，是增大还是减小？请说明理由． 19. 2025年10月31日晚，神舟二十一号载人飞船发射成功，某中学为了解本校学生对航天知识的了解情况，对全校学生进行了航天知识测试（百分制），并对A、B两班学生的成绩进行统计分析，过程如下： 【收集数据】 A班学生的成绩： 78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，94，99，95，100，95，95，93，86，89． B班学生的成绩： 81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，92，97，88，82，90，85，89． 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 A 92 95 34.2 B 89 88.5 24.4 根据以上信息，解决下列问题． （1）填空：__________，__________； （2）已知本次测试成绩在班级排名前的学生有机会参与学校举办的航天知识竞赛，A班的小宁同学本次测试成绩为94分，请你判断她是否有机会参与航天知识竞赛； （3）A班和B班都计划从甲、乙、丙、丁四个有关航天的科普视频中，随机选取一个给学生播放，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率． 20. 如图，在中，、分别是、的中点，是延长线上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若的面积是7，求四边形的面积． 21. 为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍． （1）求、两种道具包的单价； （2）在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答） 22. 【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 23. 如图，是的直径，C是延长线上的一点，点F是的中点，于，与交于点，连接，． （1）写出一个与相等的角：__________； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的长． 24. 赵州桥的历史距今已有1400多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标，此时水面的宽为36米，水面离桥拱顶点的高度18米． （1）请你求出二次函数的表达式． （2）春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． （3）若桥拱经过两点，桥拱在之间的部分为图象（包括两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当时，求的值． 25. 在矩形中，点E在边上，将线段绕点E顺时针旋转，点A的对应点F恰好落在上． （1）如图1，求证：； （2）连接，作的平分线交于点P，交于点M． ①如图2，判断点P是否为线段的中点，并说明理由； ②如图3，连接交于点N，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期第一次数学模拟测试卷 （时间：120分钟总分：150分） 一、选择题（每小题3分，共36分，每小题A、B、C、D四个选项中，只有一个选项正确） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．能解释这一现象的数学道理是（ ） A. 直线是向两个方向无限延伸的 B. 两点确定一条直线 C. 经过一点有无数条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直线的基本性质，根据题干描述匹配对应的直线基本事实即可得到答案． 【详解】解：∵两棵树的位置对应平面内两个点，确定两个点就能确定这条直线， ∴能解释该现象的数学道理是两点确定一条直线，因此选B． 3. 下图是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：从该几何体的左侧看，一共一列，高度为二，故D选项符合． 4. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是熟练应用知识点解题；科学记数法的表示形式为为整数，据此表示即可． 【详解】解：∵ ∴故选：D． 5. 下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　） A. 2，3，4 B. 4，7，5 C. 6，7，8 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】先找出每组边长中的最大边，再验证两条较短边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，，，，不能构成直角三角形． B选项，，，，不能构成直角三角形． C选项，，，，不能构成直角三角形． D选项，，，，能构成直角三角形． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式运算的法则计算即可． 【详解】A、，计算错误，该选项不符合题意； B、，计算错误，该选项不符合题意； C、，计算错误，该选项不符合题意； D、计算正确，该选项符合题意． 7. 学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个， ∴获奖的概率为； 故选：B． 8. 下列从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为的数或整式，分式的值不变，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、当时，，故该选项不符合题意； C、当时，，，，故该选项不符合题意； D、当时，，故该选项不符合题意； 故选：A ． 9. 如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 10. 设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 5 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，整理得， 将代入得： 原式， ∵，是方程的两个根， 根据一元二次方程根与系数的关系，得， ∴原式． 11. 如图，在中，，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点G，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记平行四边形的性质是解决问题的关键．依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，等腰三角形的判定，即可得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ，， ， 根据作图可得平分， ， ， ， ． 12. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点在轴的正半轴上，双曲线在第一象限内的图象经过边的中点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过作轴于点，由等边三角形的性质可得，，即得，进而得到，，再求出点坐标即可求解 【详解】解：如图，过作轴于点， ∵等边三角形的顶点在轴的正半轴上，， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在中，∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点在双曲线上， ∴． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 因式分解________． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式分解因式即可． 【详解】解：， ． 14. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集为． 15. 2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．如图是马的小篆字体，将其放在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，用坐标确定位置，掌握好相关知识是关键． 根据，两点的坐标建立平面直角坐标系，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， ∴点的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（共9小题，共98分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）先化简：，再从0、1、2中选一个合适的数代入求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，最后选择合适的的值，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 18. 如图2，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点为处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）的变化情况．得出如下几组实验数据： /cm 10 15 25 30 30 20 a 10 （1）表中的值是__________； （2）小明通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系，在如图1所表示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图像； （3）根据以上数据与图像判断，当增大时，是增大还是减小？请说明理由． 【答案】（1） （2）函数图象如图： （3） 解：根据以上数据与图像判断，当增大时，是减小， 理由：根据函数图象发现随着值的增大，对应的值越来越小；或由可得当增大时，是减小． 【解析】 【小问1详解】 解：由表格发现， ∴当时，， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 2025年10月31日晚，神舟二十一号载人飞船发射成功，某中学为了解本校学生对航天知识的了解情况，对全校学生进行了航天知识测试（百分制），并对A、B两班学生的成绩进行统计分析，过程如下： 【收集数据】 A班学生的成绩： 78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，94，99，95，100，95，95，93，86，89． B班学生的成绩： 81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，92，97，88，82，90，85，89． 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 A 92 95 34.2 B 89 88.5 24.4 根据以上信息，解决下列问题． （1）填空：__________，__________； （2）已知本次测试成绩在班级排名前的学生有机会参与学校举办的航天知识竞赛，A班的小宁同学本次测试成绩为94分，请你判断她是否有机会参与航天知识竞赛； （3）A班和B班都计划从甲、乙、丙、丁四个有关航天的科普视频中，随机选取一个给学生播放，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率． 【答案】（1）， （2）她有机会参与航天知识竞赛 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）由题意可得A班学生的成绩在前名有机会参加，将A班学生的成绩按照从大到小排列为100，100，99，98，97，95，95，95，94，94，93，93，90，89，89，87，86，85，83，78，其中分位于第名和第名，由此判断即可得出结果； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：将A班学生的成绩按照从小到大排列为：78，83，85，86，87，89，89，90，93，93，94，94，95，95，95，97，98，99，100，100，处在中间位置的两个数为93，94，故中位数； B班学生的成绩中出现的次数最多，故； 【小问2详解】 解：， 故A班学生的成绩在前名有机会参加， 将A班学生的成绩按照从大到小排列为：100，100，99，98，97，95，95，95，94，94，93，93，90，89，89，87，86，85，83，78，其中分位于第名和第名， 故A班的小宁同学本次测试成绩为94分，她有机会参与航天知识竞赛； 【小问3详解】 解：列表可得： B A 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，甲） （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，乙） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） （丁，丁） 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中甲、乙两个视频恰好同时被播放的情况有种， 故甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率为． 20. 如图，在中，、分别是、的中点，是延长线上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若的面积是7，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点E是中点， ． 又， ∴四边形是平行四边形． ，． 点是中点， ， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）28 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，可得，，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ∴． ∴平行四边形的面积是28． 21. 为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍． （1）求、两种道具包的单价； （2）在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答） 【答案】（1）道具包的单价为元，道具包的单价为元； （2）购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元． 【解析】 【分析】（1）设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍为相等关系列出方程求解即可 （2）设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，道具包的总采购价格道具包的总采购价格，进而根据学校预算不超过元，道具包数量不高于道具包数量的倍可得自变量的取值范围，那么根据函数的增减性和自变量的取值范围可得最低采购成本． 【小问1详解】 解：设道具包的单价为元，则道具包的单价为元， ， 解得：， 经检验：是原方程的解． ∴． 答：道具包的单价为元，道具包的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个， 得：， ∵， ∴随的增大而减小， 由题意得：， 解得：， ∴当时，最小，， ∴． 答：购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元． 22. 【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】（1）渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 （2）不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 23. 如图，是的直径，C是延长线上的一点，点F是的中点，于，与交于点，连接，． （1）写出一个与相等的角：__________； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴，又是的半径， ∴为的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点F是的中点，得出，进而由等弧所对的圆周角相等，即可求解． （2）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到．再根据等边对等角得到，进而可得，根据切线的判定可得结论； （3）作于G，则．设，则，，在中，利用勾股定理求得x值，则，，．证明，利用相似三角形的对应边成比例得到，证明四边形是矩形求得，进而求得即可求解． 【小问1详解】 解：∵点F是的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于G，则． 设，则，． 在中，， ∴． 解得， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， ∴． 24. 赵州桥的历史距今已有1400多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标，此时水面的宽为36米，水面离桥拱顶点的高度18米． （1）请你求出二次函数的表达式． （2）春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． （3）若桥拱经过两点，桥拱在之间的部分为图象（包括两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当时，求的值． 【答案】（1） （2）游船能顺利通过赵州桥， ∵水面离桥拱顶点的高度7米，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴游船能顺利通过赵州桥； （3）或 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的实际应用，函数最值问题及待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得，然后代入函数解析式确定横坐标之差进行比较即可； （3）根据题意得，，然后分四种情况分析，当即时，当即时，当即时，当时，分别作出图象求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，水面离桥拱顶点的高度18， ∴， ∴设抛物线的解析式为， 将点A代入得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵抛物线经过两点，， ∴，， ∵图象 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况： 如图，当即时， 即， 解得：； 当即时，如图所示， 即， 解得：或（均不符合题意，舍去） 当即时，如图所示， 如图所示， ∴ 即， 解得：或（均不符合题意，舍去） ④当时，如图所示， ∴ ∴， 解得： 综上所述，或． 25. 在矩形中，点E在边上，将线段绕点E顺时针旋转，点A的对应点F恰好落在上． （1）如图1，求证：； （2）连接，作的平分线交于点P，交于点M． ①如图2，判断点P是否为线段的中点，并说明理由； ②如图3，连接交于点N，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）①点P为线段的中点， 理由如下：如图，连接， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是线段的中点． ② 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质及旋转的性质，证明，即可得证； （2）①连接，根据题意及角平分线的定义，证明，得到，进而证明，得到，即可解答； ②连接，根据题意及角的等量代换证明，利用解直角三角形及勾股定理求出、、，进而证明，列出比例式，代入、即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图，连接，，，， ∴，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $