精品解析：贵州省铜仁市九年级数学2026年春季学期模拟卷

秘密★启用前 2026年初中学业水平提升适应性训练 九年级数学试题 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试形式为闭卷，考试时长120分钟． 2．请在答题卡相应位置作答，在试卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、单选题（每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 如图所示的化学实验仪器平面图，其中是轴对称图形的是（ ） A. 烧杯 B. U型管 C. 双颈烧瓶 D. 漏斗 3. 根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“炮”所在位置的坐标为，则“馬”所在位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. “漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y（单位：）随漏水时间t（单位：h）的变化规律如图所示．则水面高度从变化到所用的时间是（ ） A. B. C. D. 10. 清明前夕，某班家委会组织同学们包车去八宝山给烈士扫墓．包车总费用为200元．原计划由本班学生平分车费．后来有5名家长主动加入帮忙，最终参与人数增加，实际参与者（每人）比原计划少出了 2 元．设原计划参加的学生人数为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，连接交于点D，则的长为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 12. 如图，直线的图象与轴，轴分别交于点，与反比例函数图象的一支交于，两点，连接，则以下结论：①的值为；②是等腰三角形；③；④；其中正确的是（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 因式分解：__________． 14. 不透明的布袋中装有2个白球，1个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中随机摸出一个球记下颜色后不放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是______________． 15. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，且满足，则m的值为______． 16. 如图，在四边形纸片中，，，，，将纸片先沿对角线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，裁剪得到的两部分打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的菱形，则的长为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成各题 （1）从①②③④任意选择三个式子进行加法计算． （2）化简求值，先化简，再从，0，1中选择一个合适的数代入求值． 18. 草木蔓发，春山可望．沿河县沙子南庄的李花竞相盛放，成为人们赏春的好去处．小安一家相约去南庄赏花，父母驾车前往，小安则选择骑行．如图所示，f是小安父母驾车离家距离y（千米）与时间x（分钟）之间的关系，l是小安离家距离y（千米）和时间x（分钟）之间的关系． （1）小安父母出发一段时间后，在路上加油买东西用了______分钟． （2）求小安家与南庄的距离． （3）求小安超过父母的时间持续了多少分钟． 19. 为进一步落实我县理科教育高质量发展的决策部署，某集团校在八年级和九年级开展了“数学素养能力选拔赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了25名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：），下面给出了部分信息： 八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为： 89，88，85，87，86，87，86，89． 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为： 98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，85，85，84，83，82，81，80，79，78，78，75，71，68． 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 85.2 90 n 九年级 85.2 m 85 八年级被抽取的学生测试得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中： ______， ______， ______； （2）规定在90分及以上的为优秀等级，若该集团校九年级有1600名学生参加知识竞赛，请你估计九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； 20. 在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 21. 沿河白茶含有丰富的高氨基酸，喝起来鲜爽、甘甜、无苦涩，深受人们的喜欢，其种植基地遍布沿河大多乡镇，如晓景、思渠、中寨等地．春节期间，小红一家来到某白茶基地踏青，看到满山遍野采茶景象．茶叶基地里有白茶和绿茶两种茶叶可供采摘，王阿姨采了斤白茶斤绿茶，获得元的工资；张阿姨采了斤白茶斤绿茶获得元的工资． （1）求白茶和绿茶每斤的采摘价格分别是多少元？ （2）一天某基地采摘茶叶共斤，其中绿茶的质量不低于白茶质量的一半，白茶的质量最多为多少斤？在上述条件下，该基地当天最多会支付多少元的工资？ 22. 沿河白塔始建于清代，有着悠久的历史，2016年3月重建完工后被列为县级重点保护单位，是沿河的地标建筑，登上塔顶可以俯瞰沿河全景，是人们休闲游玩的好地方．一天小红来到白塔，想借助无人机来测量白塔的高度，无人机飞到离白塔地面高空的C处，测得白塔底部B处的俯角为，然后水平向左靠近白塔飞行后到处，测得白塔顶端A处的俯角为．（线段为白塔的高度，为无人机的飞行路线，A、B、C、D在同一平面内．） （1）求无人机所在的位置离白塔的水平距离？ （2）求白塔的高度？（，结果保留整数） （参考数据：，，） 23. 在“非遗文化进校园”活动中，同学们制作圆形剪纸作品．如图，是圆形剪纸所在的直径，弦于点．连接并延长交于点，点是的中点，连接交于点，连接． （1）若，则的度数是______；的度数是______； （2）若，求的半径； （3）若的半径是（2）中求得的半径，此时的周长是弧的倍，求线段的长． 24. 为庆祝贵州“四月八”民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现侗族风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为，已知该抛物线的对称轴为直线，它与代表表演场地水平面的x轴交于点和点B，与代表垂直高度的y轴交于点C． （1）求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式； （2）为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台，当时，求线段的长度； （3）为调整最佳观赏视角，需限定无人机在x取值为的范围内时，抛物线的最大值为，求的值． 25. 综合实践课上，数学学习小组围绕正方形中的旋转变换开展探究活动，已知正方形中，，点E为边上一动点，点是射线延长线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段（点的对应点是点）． 【问题解决】 （1）如图①，过点F作，垂足为点G，若，则______，______； 【问题探究】 （2）如图②，设与边交于点，求线段的最小值； 【拓展延伸】 （3）如图③，连接，当时，求线段的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2026年初中学业水平提升适应性训练 九年级数学试题 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试形式为闭卷，考试时长120分钟． 2．请在答题卡相应位置作答，在试卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、单选题（每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数大于一切负数，两个正数比较，绝对值大的数更大，据此即可解答． 【详解】解：∵ 负数小于一切正数， ∴ ，， 又∵ 两个正数中 ， ∴ 整体大小关系为， ∴ 四个数中最大的数是1． 2. 如图所示的化学实验仪器平面图，其中是轴对称图形的是（ ） A. 烧杯 B. U型管 C. 双颈烧瓶 D. 漏斗 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．烧杯口左侧有导流嘴，沿竖直中线折叠左右无法重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．U型管沿竖直中线折叠左右能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意； C．双颈烧瓶两个颈方向不同，沿竖直中线折叠左右无法重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．漏斗下端管口为斜切状，沿竖直中线折叠左右无法重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 3. 根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法和同底数幂的乘法运算，解题思路为将芯片总数转化为科学记数法，再计算总运算次数，化简得到标准科学记数法形式即可． 【详解】解：∵万，单芯片每秒运算次数为次， ∴ 总运算次数为：． 4. 如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的运算法则逐一计算即可得． 【详解】A、，此选项错误，不符合题意； B、不能合并，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法运算法则． 6. 某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】平均数越大成绩越好，方差越小数据波动越小，发挥越稳定，先找出平均数最大的同学，再在其中找出方差最小的同学即可． 【详解】解：∵要选择成绩好且发挥稳定的同学，平均数越大代表成绩越好， ∴根据表中数据可得，乙和丁的平均数最大，均大于甲和丙的平均数，因此只需从乙和丁中选择， 又∵方差越小代表发挥越稳定，乙的方差为，小于丁的方差， ∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求． 7. 如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 8. 如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“炮”所在位置的坐标为，则“馬”所在位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知点“炮”的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及单位长度，再根据“馬”相对于原点的位置写出其坐标即可． 【详解】解：∵“炮”所在位置的坐标为，  ∴原点O在“炮”所在位置的左侧3个单位长度，下方1个单位长度处，且网格正方形的边长为1个单位长度． 观察图形可知，“馬”所在位置在原点右侧1个单位长度，上方2个单位长度处，  ∴“馬”所在位置的坐标为． 9. “漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y（单位：）随漏水时间t（单位：h）的变化规律如图所示．则水面高度从变化到所用的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知漏壶初始水面高度为，经过漏完，据此求出漏水速度，再根据高度差求出所需时间． 【详解】解：由图象可知，当时，；当时，，  漏壶的漏水速度为：， 水面高度从变化到， 水面高度变化量为：， 所用的时间为：． 10. 清明前夕，某班家委会组织同学们包车去八宝山给烈士扫墓．包车总费用为200元．原计划由本班学生平分车费．后来有5名家长主动加入帮忙，最终参与人数增加，实际参与者（每人）比原计划少出了 2 元．设原计划参加的学生人数为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别表示出原计划和实际每人分摊的车费，再根据“实际每人比原计划少出2元”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设原计划参加的学生人数为，包车总费用为元， ∴原计划每人分摊车费为元， ∵增加名家长后，实际参与人数为， ∴实际每人分摊车费为 元 ∵实际参与者比原计划每人少出元 ∴原计划每人车费减去实际每人车费等于，可得方程 ． 11. 如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，连接交于点D，则的长为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出的长，再根据作图可知是的垂直平分线，从而得到，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在  中，，，， ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 即 ， 解得 ， ． 12. 如图，直线的图象与轴，轴分别交于点，与反比例函数图象的一支交于，两点，连接，则以下结论：①的值为；②是等腰三角形；③；④；其中正确的是（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数的解析式，再求出，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，结合图形一一判断即可得出答案． 【详解】解：①将代入中， 即， 解得：，即 故①正确； ②将代入中， 即， 解得：， ∴， 代入到上式，可得， ∴， 代入到上式，可得， ∴， ∴， ∴ 联立， 解得：，， ∴， 过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为， 即 ，， ∴，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故②正确； ③∵， ∴， ∴， 故③正确； ④∵，，，， ∴， ∴， 故④正确 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 不透明的布袋中装有2个白球，1个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中随机摸出一个球记下颜色后不放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸两个球是同色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，其中两次摸出的球均为白球的有2种情况， ∴两次摸出的球均为白球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 15. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，且满足，则m的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得，，结合已知等式求出和的值，即可计算得到的值． 【详解】解：已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，根据根与系数的关系得 ，． ∵， ∴，即， 解得． 则． 所以． 16. 如图，在四边形纸片中，，，，，将纸片先沿对角线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，裁剪得到的两部分打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的菱形，则的长为______． 【答案】或6 【解析】 【分析】先证明得出，设，则，，分两种情况：当菱形以点为顶点时，此时菱形为，连接交于点；当菱形以点为顶点时，此时菱形为，连接交于点；分别利用菱形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则，， 如图，当菱形以点为顶点时，此时菱形为，连接交于点， ， 则，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵铺平后的图形中有一个是面积为的菱形， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴； 如图，当菱形以点为顶点时，此时菱形为，连接交于点， ， 则，，，， ∴， ∴， ∵铺平后的图形中有一个是面积为的菱形， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：的长为或6． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成各题 （1）从①②③④任意选择三个式子进行加法计算． （2）化简求值，先化简，再从，0，1中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）选择①②③：；选择①②④：0；选择①③④：；选择②③④： （2）；时，原式 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的化简计算，特殊角的正弦值，指数幂的运算求解即可． （2）先根据分式的运算化简，再根据分式有意义可得只能代入求解即可． 【小问1详解】 解：选择①②③：； 选择①②④：； 选择①③④：； 选择②③④：． 【小问2详解】 解： ， ∵原式中，且， 即，且， ∴代入，原式． 18. 草木蔓发，春山可望．沿河县沙子南庄的李花竞相盛放，成为人们赏春的好去处．小安一家相约去南庄赏花，父母驾车前往，小安则选择骑行．如图所示，f是小安父母驾车离家距离y（千米）与时间x（分钟）之间的关系，l是小安离家距离y（千米）和时间x（分钟）之间的关系． （1）小安父母出发一段时间后，在路上加油买东西用了______分钟． （2）求小安家与南庄的距离． （3）求小安超过父母的时间持续了多少分钟． 【答案】（1）15 （2）8千米 （3） 【解析】 【分析】 （1）根据图象即可解答； （2）利用待定系数法，得出小安离家距离y（千米）和时间x（分钟）的解析式为，再把代入求值即可； （3）先利用待定系数法，得出的解析式为，再令，解得，，因此得出小安超过父母的时间段是从第分钟到第分，即可解答． 【小问1详解】 解：由图象可知，小安父母出发一段时间后，在路上加油买东西用了（分钟）． 【小问2详解】 解：设小安离家距离y（千米）和时间x（分钟）的解析式为，且， 将点代入得，， 解得，， ， 当时，， 即小安家与南庄的距离为8千米． 【小问3详解】 解：根据图象可知，离家后，小安在第分钟时与父母首次相遇， 设的解析式为，且， 将点和点分别代入得，， 解得，， ， 令， 解得，， 即小安在第分钟时与父母再次相遇， 因此，小安超过父母的时间段是从第分钟到第分钟， 持续时长为：（分钟）． 答：小安超过父母的时间持续了分钟． 19. 为进一步落实我县理科教育高质量发展的决策部署，某集团校在八年级和九年级开展了“数学素养能力选拔赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了25名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：），下面给出了部分信息： 八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为： 89，88，85，87，86，87，86，89． 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为： 98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，85，85，84，83，82，81，80，79，78，78，75，71，68． 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 85.2 90 n 九年级 85.2 m 85 八年级被抽取的学生测试得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中： ______， ______， ______； （2）规定在90分及以上的为优秀等级，若该集团校九年级有1600名学生参加知识竞赛，请你估计九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； 【答案】（1），， （2）人 （3）八年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析 【解析】 【分析】（）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）用样本估计总体的方法求解； （3）根据平均数、中位数和众数判断即可． 【小问1详解】 解：八年级抽取的学生成绩中A组的人数为：（人），八年级抽取的学生成绩中B组的人数为：人， 则八年级抽取的学生成绩中，中位数为第人的成绩，故位于B组，将B组的竞赛成绩从小到大排列为：， ∴八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数为； 九年级抽取的学生的竞赛成绩中，成绩为分出现的次数最多，则九年级抽取的学生的竞赛成绩的众数为； ∵八年级抽取的学生成绩中B组所占百分比为：， ∴八年级抽取的学生成绩中C组所占百分比为：， 则； 【小问2详解】 解：（人）， 答：九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人； 【小问3详解】 解：八年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下： 两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于九年级学生的， ∴八年级学生的竞赛成绩更优秀． 20. 在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，可以得出四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）设，，在中，根据勾股定理建立方程求解，即可求解的面积． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ 设， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴的面积． 21. 沿河白茶含有丰富的高氨基酸，喝起来鲜爽、甘甜、无苦涩，深受人们的喜欢，其种植基地遍布沿河大多乡镇，如晓景、思渠、中寨等地．春节期间，小红一家来到某白茶基地踏青，看到满山遍野采茶景象．茶叶基地里有白茶和绿茶两种茶叶可供采摘，王阿姨采了斤白茶斤绿茶，获得元的工资；张阿姨采了斤白茶斤绿茶获得元的工资． （1）求白茶和绿茶每斤的采摘价格分别是多少元？ （2）一天某基地采摘茶叶共斤，其中绿茶的质量不低于白茶质量的一半，白茶的质量最多为多少斤？在上述条件下，该基地当天最多会支付多少元的工资？ 【答案】（1） 白茶每斤采摘价格为元，绿茶每斤采摘价格为元 （2） 白茶的质量最多为斤，该基地当天最多会支付元的工资 【解析】 【分析】（1）设白茶每斤的采摘价格是元，绿茶每斤的采摘价格是元，根据王阿姨采了斤白茶斤绿茶，获得元的工资；张阿姨采了斤白茶斤绿茶获得元的工资列方程组和求解即可； （2）设白茶质量为斤，列不等式得到的取值范围，设当天支付工资元，列出的关系式找最值即可. 【小问1详解】 解：设白茶每斤的采摘价格是元，绿茶每斤的采摘价格是元， 由题意得：， 解得：， 答：白茶每斤采摘价格为元，绿茶每斤采摘价格为元； 【小问2详解】 解：设白茶质量为斤， 由题意得：， 解得：， 即：白茶的质量最多为斤； 设当天支付工资元， 由题意得： ∵ ∴随的增大而增大，当时，（元）. 22. 沿河白塔始建于清代，有着悠久的历史，2016年3月重建完工后被列为县级重点保护单位，是沿河的地标建筑，登上塔顶可以俯瞰沿河全景，是人们休闲游玩的好地方．一天小红来到白塔，想借助无人机来测量白塔的高度，无人机飞到离白塔地面高空的C处，测得白塔底部B处的俯角为，然后水平向左靠近白塔飞行后到处，测得白塔顶端A处的俯角为．（线段为白塔的高度，为无人机的飞行路线，A、B、C、D在同一平面内．） （1）求无人机所在的位置离白塔的水平距离？ （2）求白塔的高度？（，结果保留整数） （参考数据：，，） 【答案】（1）米， （2）29米． 【解析】 【分析】（1）根据题意问题转化为解直角三角形，在中，根据列方程求解即可， （2）在中，根据求出，最后用即可求解． 【小问1详解】 解：设无人机所在位置D离白塔的水平距离为 米，白塔的高度为 米．无人机飞行高度为米，即点离地面的高度为米． ∴ 米． 在中， ，， ∴ 解得： 答：无人机所在的位置D离白塔的水平距离为12米． 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴ ， ∴ 答：白塔的高度约为29米． 23. 在“非遗文化进校园”活动中，同学们制作圆形剪纸作品．如图，是圆形剪纸所在的直径，弦于点．连接并延长交于点，点是的中点，连接交于点，连接． （1）若，则的度数是______；的度数是______； （2）若，求的半径； （3）若的半径是（2）中求得的半径，此时的周长是弧的倍，求线段的长． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角、三角形外角和直角三角形的性质即可求解； （2）连接，设，利用勾股定理列方程求解即可； （3）过点作于点，根据的周长是弧的倍可得，进而得到的值，最后利用列比例式求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，设， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 即：的半径是； 【小问3详解】 解：过点作于点， ∵点是的中点， ∴， ∵的周长是弧的倍， ∴， ∴， ∴即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴. 24. 为庆祝贵州“四月八”民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现侗族风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为，已知该抛物线的对称轴为直线，它与代表表演场地水平面的x轴交于点和点B，与代表垂直高度的y轴交于点C． （1）求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式； （2）为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台，当时，求线段的长度； （3）为调整最佳观赏视角，需限定无人机在x取值为的范围内时，抛物线的最大值为，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴和先根据抛物线对称轴公式求出，再把点代入抛物线解析式求出即可； （2）先确定点B和点C的坐标，得出是等腰直角三角形，，当，存在两种情况：点在点的上方， ，点在点的下方， ，据此求出即可， （3）根据对称轴与取值范围的相对位置确定函数最大值的对应的取值，由此即可求出． 【小问1详解】 解：∵抛物线的函数解析式为，其对称轴为直线， ∴，解得． 又∵抛物线经过点， ∴，解得． 故这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，即，解得或．故点B的坐标为． 当时，，故点C的坐标为． 设坐标为． 在中， ，，， ∴是等腰直角三角形，． 当，存在两种情况： ①点在点的上方，如图： 此时． 在中，，即，解得． 此时点坐标为． 线段． ②点在点的下方， 如图： 此时． 在中，．即，解得． 此时点坐标为， 线段． 综上所述，线段的长度为或． 【小问3详解】 解：抛物线解析式为，化为顶点式为．抛物线开口向下，顶点坐标为． 根据对称轴的位置不同，函数最大值取值有三种不同情况： 情况一：当时，即，此时函数在范围内，随增大而增大，最大值在处取得， ∴， 整理得，解得．因为，所以． 情况二：当时，即，此时函数的最大值为顶点的纵坐标．． 则，解得．此解不满足的条件，故舍去． 情况三：当时，此时函数在范围内，随增大而减小，最大值在处取得． ∴． 整理得，解得．因为，所以． 综上所述，的值为或． 25. 综合实践课上，数学学习小组围绕正方形中的旋转变换开展探究活动，已知正方形中，，点E为边上一动点，点是射线延长线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段（点的对应点是点）． 【问题解决】 （1）如图①，过点F作，垂足为点G，若，则______，______； 【问题探究】 （2）如图②，设与边交于点，求线段的最小值； 【拓展延伸】 （3）如图③，连接，当时，求线段的值． 【答案】（1）9；； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先由旋转可知，，进一步证明，再根据可证明，进而得出，，由勾股定理即可求出， （2）设，，由得到，进而可得，利用二次函数的最值即可解决问题， （3）过点作，，垂足分别为、，设，则，根据（1）可得四边形是正方形，即，再在中，利用勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 证明： 线段绕点E顺时针旋转，得到线段， ∴， ， 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， 在与中， ， ； ∴，， ∴， . 【小问2详解】 解：由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， 整理得：， ∴当时，有最小值，. 即线段的最小值为. 【小问3详解】 解：如图③，过点作，，垂足分别为、， 设，则， 由（1）可得：，， ∴， 即， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ， 解得：，， 即：长为或． 【点睛】这道题是典型的“旋转+最值+方程”综合题. 第一问用一线三垂直模型证明全等； 第二问用相似三角形的性质 + 二次函数求几何最值（函数法）； 第三问构造正方形 + 勾股定理列方程求解. 解题时，务必利用好第一问的全等结论，它是贯穿整道题的“金钥匙”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $