精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

数学试卷（高2027届） 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 展开式中含项的系数为 A. 15 B. 30 C. 60 D. 120 3. 函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 90 B. 60 C. 150 D. 140 5. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 若事件M，N满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，当时，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某校高二年级要从7名班干部（其中5名男生，2名女生）中任选3人参加学校优秀班干部评选（每人被选中的机会均等），记A=“男生甲被选中”，B=“女生乙被选中”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 至少一名女生被选中的概率为 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在处的切线方程为，则_______. 13. 我国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中记载了“杨辉三角”，在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两端的数值外，每一个数值等于其肩上两数之和，若第n行所有数字之和为128，则______. 14. 已知对于，都有，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤. 15. 已知的展开式中，各项二项式系数之和为64. （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中的常数项. 16. 5名男生和3名女生一起合影. （1）排成一排，女生互不相邻，有多少种排法？ （2）排成一排，恰有两名女生相邻，有多少种排法？ （3）若这8人身高均不相等，排成两排，每排4人，为了不被遮挡住，后排每个人的身高都比对应前排的人要高，有多少种排法？（注：所有结果均要求算出具体数字） 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围. 18. 科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． （1）若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； （2）若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 19. 已知函数． （1）若函数有个零点，求的取值范围； （2）令，讨论的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷（高2027届） 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据导数的定义：函数在处的导数为， 所以． 2. 展开式中含项的系数为 A. 15 B. 30 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，求得指定项的系数. 【详解】二项式的二项展开式的通项公式为， 则展开式中含项的系数为. 故选：C． 【点睛】本题考查二项式定理．关于二项式的展开式问题，通常是先得到展开式的通项，再根据题意求解． 3. 函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数确定单调性，进而求出函数零点个数. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 函数在R上单调递减，而当时，， 所以函数的零点个数为1. 4. 某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 90 B. 60 C. 150 D. 140 【答案】A 【解析】 【分析】先确定分配人数只能是2，2，1，分组时注意除以消除重复，最后将3组全排列到3个不同社区 【详解】5人只能按照2，2，1分组，分组方法有，将分好的3组分别派往3个不同社区：， 则不同安排方法共有 5. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标；代入切线方程解得. 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 6. 若事件M，N满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及条件概率公式求解. 【详解】由，得， 由，得， 因此. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，，，构造并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小. 【详解】由题设，，，， 令且，可得， 所以有，则上递增； 有，则上递减； 又，故. 故选：B 8. 已知，，当时，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数并确定其单调性，利用两个函数有相同零点列式，再利用导数求出最大值即可. 【详解】令函数， 而，函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，则函数有唯一零点， 函数在上单调递增，当时，恒成立， 当时，，不符合题意，因此，函数有唯一零点， 函数中，依题意，，则，， 由当时，恒成立，得函数与函数有相同零点， 则，即，于是， 令函数，求导得，当且仅当时取等号， 函数在上单调递增，， 所以的最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 10. 某校高二年级要从7名班干部（其中5名男生，2名女生）中任选3人参加学校优秀班干部评选（每人被选中的机会均等），记A=“男生甲被选中”，B=“女生乙被选中”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 至少一名女生被选中的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用古典概率公式，结合组合计数问题逐项计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，显然，事件A与事件B相互不独立，B错误 对于C，，C正确； 对于D，没有女生被选中的概率为，因此至少一名女生被选中的概率为，D正确. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在处的切线方程为，则_______. 【答案】 7 【解析】 【详解】由曲线在处的切线方程为， 得 ，， 所以 . 13. 我国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中记载了“杨辉三角”，在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两端的数值外，每一个数值等于其肩上两数之和，若第n行所有数字之和为128，则______. 【答案】 7 【解析】 【详解】在“杨辉三角”中，第n行所有数字之和为， 因此，所以. 14. 已知对于，都有，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可转化为，设，则，结合函数单调性可知，分离参数，构造新函数，根据导数判断单调性可得最值，即可得解. 【详解】解：因为，此时，即， 令，设，函数定义域为， 可得，因为函数在上单调递增，又，所以， 即，整理得， 设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，最小值， 即，则的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤. 15. 已知的展开式中，各项二项式系数之和为64. （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1） 729 （2） 160 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质及赋值法求解. （2）求出展开式的通项，再求出常数项. 【小问1详解】 由展开式的各项二项式系数之和为64，得，解得， 取，得展开式中所有项的系数和为. 【小问2详解】 由（1）得展开式的通项， 由，解得，所以所求常数项为 . 16. 5名男生和3名女生一起合影. （1）排成一排，女生互不相邻，有多少种排法？ （2）排成一排，恰有两名女生相邻，有多少种排法？ （3）若这8人身高均不相等，排成两排，每排4人，为了不被遮挡住，后排每个人的身高都比对应前排的人要高，有多少种排法？（注：所有结果均要求算出具体数字） 【答案】（1）14400 （2）21600 （3）2520 【解析】 【分析】（1）利用不相邻问题插空法列式求解. （2）利用相邻问题捆绑法，结合插空法列式求解. （3）利用组合计数问题列式求解. 【小问1详解】 排5名男生，有种方法；在每个排列形成的6个间隙中任取3个排3名女生，有种方法， 所以排成一排，女生互不相邻的排法种数是. 【小问2详解】 排5名男生，有种方法； 从3名女生中任取2名作为整体与另一名女生插入6个间隙中的两个，有种方法， 所以排成一排，恰有两名女生相邻排法种数是. 【小问3详解】 8人排成两排，每排4人，相当于8人排成4列，每列2人， 从8人中任取2人，按矮的在前，高的在后，排第1列， 从余下6人中任取2人，按矮的在前，高的在后，排第2列， 再从余下4人中任取2人，按矮的在前，高的在后，排第3列， 最后2人，按矮的在前，高的在后，排第4列， 所以不同排法种数是. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1）递减区间为，递增区间为；极小值为1，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出单调区间及极值. （2）求出函数并求出导数，利用导数恒大于等于0求出范围即可. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 所以函数的递减区间为，递增区间为，在取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数的定义域为， 由函数在上单调递增，得， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以实数a的取值范围是. 18. 科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． （1）若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； （2）若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 【答案】（1）（i）；（i i） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）先求出没有女生档案的概率，再用1减去这个概率得到有女生档案的概率；（ii）分类讨论，结合条件概率公式计算即可； （2）要分从第一个档案袋取出的是男生档案和女生档案两种情况来计算概率，再求和即可. 【小问1详解】 （i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”. 第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案. 第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案， 其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么. 所以. （ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率 设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”. 根据条件概率公式. 计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率. 分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为； 第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为. 所以. 已知，则. 【小问2详解】 设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”. 分两种情况： 若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 所以. 19. 已知函数． （1）若函数有个零点，求的取值范围； （2）令，讨论的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1） （2）①当时，在上单调递增，在上单调递减； ②当时，在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，在上单调递增； ④当时，在和上单调递增，在上单调递减； （3）整数的最大值为 【解析】 【分析】（1）先将函数零点问题转化为方程有两解的问题，构造函数，通过求导分析其单调性与极值，结合函数图像趋势，得到的取值范围。 （2）先化简，再求导并因式分解得到，根据导数的零点和，的大小关系，分，，，四种情况讨论导数符号，从而确定单调性； （3）先整理不等式并分离参数，得到，构造函数，通过求导找到其导函数的零点，利用零点满足的等式化简，得到的值域，进而确定整数的最大值． 【小问1详解】 的定义域为，令，即， 设，则有个零点等价于与的图象有个交点， ， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以的最大值为， 当时，；当时，， 所以，当时，与与的图象有个交点，即有个零点． 【小问2详解】 ，定义域为， ， ①当时，， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； ②当时，令，得，， 令，得或；令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，， 所以在上单调递增； ④当时，令，得，， 令，得或；令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即， 即， 设， ， 令，， 所以在上单调递增， 因为，， 所以存在唯一一点，使，即， 所以， 所以当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以，即， 所以，所以整数的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $