精品解析：2026年安徽六安市裕安中学九年级模拟测试（三）数学学科试题卷

2026年裕安中学九年级模拟测试（三） 数学学科 试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 14 C. D. 2. 2025年是“十四五”收官之年．5年来我国经济总量连续跨越新关口．2026年预计将达到1400000亿元，1400000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 将一块含有角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，且直角三角板有一个顶点落在直尺边上．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均相等，网格中有个涂有阴影的小正方形，在个涂有阴影的小正方形的外围任意一个小正方形（与阴影部分正方形有一边相连）涂上阴影，使这个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D，E分别是边的中点，F是延长线上一点，且，若，（），则 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，弦交于，交于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如右图，直线l的解析式为，它与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C为线段上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D．点C从原点O出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以为斜边作等腰直角三角形（E，O两点分别在CD两侧）．若和的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，E是边长为4的正方形外一点，，为锐角，连接，，的平分线交于点G，过点B作交的延长线于点F，连接，，则以下结论错误的是（ ） A. 面积的最大值为8 B. C. D. 若D为的中点，则四边形的面积为16 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 因式分解____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第二象限内，，反比例函数的图象经过，两点．若的面积是6，则的值为 _______． 14. 如图1，在五边形纸片中，，将五边形纸片沿折叠，点落在点处，在上取一点，将和分别沿、折叠，点、恰好落在点处． （1）___________； （2）如图2，若四边形是菱形，且、、三点共线时，则___________． 三、解答题（共90分） 15. 计算：． 16. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移个单位，再向右平移个单位，平移后得到三角形，其中图中直线上的点是点A的对应点． （1）画出平移后得到的； （2）在直线上存在一点，使，，，所围成的四边形的面积为6，请在直线上画出所有符合要求的格点． 17. 某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 18. 某中学科技社团选择一水槽进行光的折射实验，下面是具体的操作步骤． 【实验操作】 第一步：将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处射入到底部B处，入射光线与水槽边的夹角为． 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，所有点都在同一平面内，测得，，． 【数据应用】 求B，D之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 19. 十四届全国人大四次会议和全国政协十四届四次会议分别于3月5日和3月4日在北京开幕．某校举办了“两会知多少”知识问答比赛，为了解学生的答题情况，随机抽取了50名学生的比赛成绩（单位：分，满分：100分），根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 抽取的50名学生的知识问答比赛成绩频数分布表 组别 比赛成绩x/分 频数 组内总成绩/分 A 5 280 B 10 640 C m 1400 D n 920 E 6 560 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中：________，________；本次调查知识问答比赛成绩的中位数落在________组内； （2）求这50名学生知识问答比赛成绩的平均数； （3）若该校共有900名学生参加本次知识问答比赛，请你估计成绩不低于80分的学生人数． 20. 如图，是的直径；点D在直径上（D与不重合）；且；连接；与交于点F；在上取一点E；使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 21. 【背景介绍】 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文是由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字后进行数学变换从而获得密文．字母与数字的对应如下表： 字母 A B C D E F G H I J K L M 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【加密规则】 ①选择一个“乘密钥”和一个“加密钥”（均为整数）． ②对明文中的每个字母，先将其对应数字乘，再加上，得到一个总和，即． ③对每个字母得到的总和逐个进行判断： 若在1到26之间，则就是该字母加密后的密文所对应的数字． 若大于26，则不断减去26，直到结果落在1~26之间． ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文． 例如：设，我们可以将明文中字母转换成所对应的密文． 计算：． ． 14对应字母N，所以明文中字母L对应的密文是字母N． 【问题探究】 请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为，则明文“HI”加密后的密文为 ； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”的值为 ； （3）小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）一致．则这个加密规则中使用的“乘密钥”的值为 ，“加密钥”的值为 ； （4）利用（3）中求得的加密规则中的密钥和，将密文“TN”解密获得的明文为 ． 22. 如图1，在中，点D，E分别在边上，连接，，平分． （1）求证：． （2）若，求． （3）如图2，过点A作的垂线交延长线于点F，作，垂足为G，求的值． 23. 已知抛物线，，为坐标原点，，为该抛物线上的两点，且． （1）已知点，求该抛物线与轴的另一交点坐标． （2）记抛物线的对称轴与轴的交点为，若点在轴正半轴上，满足，求的值． （3）若对于，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年裕安中学九年级模拟测试（三） 数学学科 试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 14 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了绝对值，根据绝对值的定义，一个数的绝对值是其非负数；负数的绝对值是其相反数． 【详解】解：∵， ∴的绝对值是14， 故选：B． 2. 2025年是“十四五”收官之年．5年来我国经济总量连续跨越新关口．2026年预计将达到1400000亿元，1400000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：1400000亿用科学记数法表示为． 3. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断选项即可． 【详解】解：对于选项A，， A错误； 对于选项B，， B错误； 对于选项C，， C错误； 对于选项D，，计算正确， D正确． 4. 如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：俯视图即从上往下看到的图形，如图所示： ． 5. 将一块含有角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，且直角三角板有一个顶点落在直尺边上．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 【详解】解：∵一块含有角的直角三角板，， ∴ ∵直尺的两边互相平行， ∴ 6. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均相等，网格中有个涂有阴影的小正方形，在个涂有阴影的小正方形的外围任意一个小正方形（与阴影部分正方形有一边相连）涂上阴影，使这个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图得，与个涂有阴影的小正方形有一边相连的有个正方形， 其中涂上阴影后能使这个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的情况共种，如下图： 使这个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的概率是，选择选项． 7. 如图，在中，D，E分别是边的中点，F是延长线上一点，且，若，（），则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线和直角三角形斜边上的高，求出的长，可得，即可解答，熟知三角形中位线平行且等于对应边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：D，E分别是边的中点， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，为的直径，弦交于，交于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理求出和的度数，进而求出，最后利用等腰三角形性质求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ． 9. 如右图，直线l的解析式为，它与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C为线段上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D．点C从原点O出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以为斜边作等腰直角三角形（E，O两点分别在CD两侧）．若和的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论时，S与t之间的函数关系式式即可求解． 【详解】解：①当时，如图所示： 可知： ②当时，如图所示： 此时， ，， 综上： 显然只有C选项符合题意 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意找到S与t之间的函数关系式是解题关键． 10. 如图，E是边长为4的正方形外一点，，为锐角，连接，，的平分线交于点G，过点B作交的延长线于点F，连接，，则以下结论错误的是（ ） A. 面积的最大值为8 B. C. D. 若D为的中点，则四边形的面积为16 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明、为等腰三角形，，根据，， ，可得；连接，根据已知条件证明，可得，接着证明，，即可得出；根据已知条件确定点在以为直径的圆上，则为劣弧的中点时满足题意，确定点的最大距离等于圆心到定直线的距离加上半径，计算即可得出的最大面积；利用可得出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，为等腰三角形， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴在中， ， ∴，故B正确； 连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在正方形中，，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点共线， ∴， ∴， 在等腰中，， ∵， ∵， ∴， 解得， ∵平分， ∴， 在等腰中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，故C正确； ∵，且线段固定， ∴点在以为直径的圆上， ∵的边为定值， ∴要使其面积最大，需使点到直线的距离最大， ∵四边形为正方形，边长为4， ∴，， 设该圆心为正方形中心，半径，圆心到边的距离为2， 验证最值点：设圆上到距离最大的点为，则为劣弧的中点， 如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴点到的最大距离为， ∵， ∴， 若与重合，此时， ， ∴此时， ∵为锐角， ∴符合题意，点能达到该最远点， ∴的最大值为，故A错误； 若为中点，则， ∴，即， 由知，相似比为， ∴，即， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积为：，故D正确． 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵函数 ∴ 解得． 12. 因式分解____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第二象限内，，反比例函数的图象经过，两点．若的面积是6，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，设点坐标为，点坐标为，根据比例关系求出点的坐标，最后根据的几何意义和三角形的面积公式联立即可求出结果． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，设点坐标为，点坐标为， ，， ， 又， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 由题意得，， 解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中比例系数的几何意义、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，解题的关键是表示出点的坐标． 14. 如图1，在五边形纸片中，，将五边形纸片沿折叠，点落在点处，在上取一点，将和分别沿、折叠，点、恰好落在点处． （1）___________； （2）如图2，若四边形是菱形，且、、三点共线时，则___________． 【答案】 ①. ##度 ②. ## 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，又，即可求解； （2）由菱形的性质可得，，，由可证，可得，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）∵将五边形纸片沿折叠， ，，， ， ， ， 故答案为：； （2）连接，交于，设，如图： 四边形是菱形， 是的垂直平分线，， ，，三点共线， 是的垂直平分线， ，，， 由折叠可知：，，，，， ， ， ，， 在和中， ， （）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题（共90分） 15. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】原式分别计算负整数指数幂、绝对值以及特殊角三角函数，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 16. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移个单位，再向右平移个单位，平移后得到三角形，其中图中直线上的点是点A的对应点． （1）画出平移后得到的； （2）在直线上存在一点，使，，，所围成的四边形的面积为6，请在直线上画出所有符合要求的格点． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）图中直线上的点是点A的对应点,得出先向右平移3个单位，再向上平移5个单位可得到，据此得出平移后的对应点，首尾顺次连接可得答案； （2）由先向右平移3个单位，再向上平移5个单位可得到得到m、n的值，由，四边形的面积为6得出或，结合点到直线l的距离为2可确定点D的位置． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 在点的两边分别取3个单位长度得到点D，点D即为所求． 【点睛】本题主要考查作图−平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 17. 某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 【答案】（1）购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只 （2）10只 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进100只节能灯的进货价恰好为2600元”建立方程求解，即可解题； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，根据“两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，”建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得：， （只）， 答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只； 【小问2详解】 解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只， 由题意，得， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只． 18. 某中学科技社团选择一水槽进行光的折射实验，下面是具体的操作步骤． 【实验操作】 第一步：将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处射入到底部B处，入射光线与水槽边的夹角为． 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，所有点都在同一平面内，测得，，． 【数据应用】 求B，D之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，证明四边形为矩形，得到，求出，根据求出，计算即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴ 由题意得，，， ∴四边形为平行四边形 ∵ ∴四边形为矩形． ， ，， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 在中， ． 答：之间的距离约为． 19. 十四届全国人大四次会议和全国政协十四届四次会议分别于3月5日和3月4日在北京开幕．某校举办了“两会知多少”知识问答比赛，为了解学生的答题情况，随机抽取了50名学生的比赛成绩（单位：分，满分：100分），根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 抽取的50名学生的知识问答比赛成绩频数分布表 组别 比赛成绩x/分 频数 组内总成绩/分 A 5 280 B 10 640 C m 1400 D n 920 E 6 560 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中：________，________；本次调查知识问答比赛成绩的中位数落在________组内； （2）求这50名学生知识问答比赛成绩的平均数； （3）若该校共有900名学生参加本次知识问答比赛，请你估计成绩不低于80分的学生人数． 【答案】（1），，中位数落在组 （2）分 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据总抽取人数为，扇形图中C组占比，即可求出，再用总人数减去其余几组人数即可求出，再根据中位数的定义即可求解． （2）根据平均数的定义求解即可． （3）利用样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 解：总抽取人数为，由扇形图得C组占比， ∴， ∴， 个数据的中位数是第25、26个数据的平均数，A组频数，组频数累计，组频数累计， 因此第25、26个数据都落在C组，即中位数落在组． 【小问2详解】 解：总成绩：，  平均数分， 答：这50名学生成绩的平均数为分． 【小问3详解】 解：样本中成绩不低于80分的是D、E组，频数和为， 因此估计总体900人中，不低于80分的人数为： 人， 答：估计成绩不低于80分的学生人数为人． 20. 如图，是的直径；点D在直径上（D与不重合）；且；连接；与交于点F；在上取一点E；使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答； （2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， 是的半径，是的切线， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ， ∵， ， ， ， ． 21. 【背景介绍】 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文是由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字后进行数学变换从而获得密文．字母与数字的对应如下表： 字母 A B C D E F G H I J K L M 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【加密规则】 ①选择一个“乘密钥”和一个“加密钥”（均为整数）． ②对明文中的每个字母，先将其对应数字乘，再加上，得到一个总和，即． ③对每个字母得到的总和逐个进行判断： 若在1到26之间，则就是该字母加密后的密文所对应的数字． 若大于26，则不断减去26，直到结果落在1~26之间． ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文． 例如：设，我们可以将明文中字母转换成所对应的密文． 计算：． ． 14对应字母N，所以明文中字母L对应的密文是字母N． 【问题探究】 请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为，则明文“HI”加密后的密文为 ； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”的值为 ； （3）小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）一致．则这个加密规则中使用的“乘密钥”的值为 ，“加密钥”的值为 ； （4）利用（3）中求得的加密规则中的密钥和，将密文“TN”解密获得的明文为 ． 【答案】（1）UW （2）7 （3）1 8 （4）LF 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，代数式表示数字规律， 对于（1），根据将明文转换为密文的方法计算得出对应的S，即可得出答案； 对于（2），先确定M对应的数，再结合计算方法求出b即可； 对于（3），根据要求列出方程组，求出符合题意的解； 对于（4），根据（3）中两个密钥，再根据计算要求解答． 【小问1详解】 解：∵将明文中字母H转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴21对应的字母是U， 所以明文中字母H对应的密文是字母U； 同理，明文中字母I对应的密文是字母W； 所以“HI”加密后的密文是“UW”； 故答案为：“UW”； 【小问2详解】 解：根据题意可知， ∵M对应的数是13， ∴， 解得； 故答案为：7； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 解得， 不是整数，不符合题意 根据题意，得， 解得，不符合题意； 故答案为：1，8； 【小问4详解】 解：∵T和N对应的数是20，14，且，设明文对应的数是x，y， ∴， 解得，12对应的字母是L，6对应的字母是F， 所以密文“TN”解密获得的明文为“LF”． 故答案为：LF． 22. 如图1，在中，点D，E分别在边上，连接，，平分． （1）求证：． （2）若，求． （3）如图2，过点A作的垂线交延长线于点F，作，垂足为G，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角结合角平分线的性质证明，从而证得，根据全等三角形的性质即可得证； （2）过点A作交于点F，通过证明，根据等腰三角形三线合一得到，进而求得，根据勾股定理依次求得和的长即可． （3）过点A作的平行线交于点M，作，通过证明，得到，根据等角对等边证得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，从而得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【小问2详解】 解：如图，过点A作交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点A作的平行线交于点M，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 已知抛物线，，为坐标原点，，为该抛物线上的两点，且． （1）已知点，求该抛物线与轴的另一交点坐标． （2）记抛物线的对称轴与轴的交点为，若点在轴正半轴上，满足，求的值． （3）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式，然后令进行求解即可； （2）由题意易得，，然后把代入进行求解即可； （3）由题意易得，在直线左侧，则有对于，都有，则，然后问题可进行求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：或（舍）， ∴二次函数的解析式为， 令得，解得：， ∴该抛物线与轴的另一交点坐标为； 【小问2详解】 解：由可知：对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入得：， 解得：或（舍）， 所以； 【小问3详解】 解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大， ∵， ∴，在直线左侧， 若对于，都有， 则， 因为，， 所以， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $