精品解析：2026年河南周口市沈丘县多校中考模拟预测试卷 九年级数学

2026年河南省中考模拟预测试卷 九年级数学 满分：120分考试时间：110分钟 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 2024年河南文旅一季度接待游客约2.86亿人次，数据“2.86亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 河南洛阳龙门石窟是世界文化遗产，下列石窟图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 情景题某社区推行垃圾分类积分兑换生活用品，已知3个积分可兑换1包纸巾，5个积分可兑换1瓶洗手液．若小明现有x个积分，兑换了4包纸巾和2瓶洗手液，恰好用完积分，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某校九年级从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加数学竞赛，则恰好选中甲和乙的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E为中点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 10. 已知二次函数 的部分对应值如表： x 0 2 3 y 0 3 3 0 下列说法：①抛物线开口向下；②对称轴为直线 ；③当 时，y随x增大而减小；④方程 的一个根为：，另一个根为 ．其中正确的有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 物理中自由落体下落高度公式（为重力加速度，取）若物体下落高度， 则下落时间 ___________． 12. 已知点在反比例函数的图象上，则_____（填“”“”或“”）． 13. 新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 14. 我国古代《九章算术》记载“方田割圆”思想，若一个圆内接正六边形的边长为2，则该圆的阴影部分面积为____________． 15. 如图，在 中，，，， 点P是边上一动点，将 沿折叠，点A的对应点为，当 时，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 化简求值： ，其中 ． 17. 为了解九年级学生每日课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，将调查结果分为 A“分钟”， B“分钟”， C“分钟”，D“分钟”四类，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图信息解答下列问题： （1）本次共调查 名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校九年级共1200名学生，估计每日阅读时长不少于60分钟的学生人数． 18. 如图所示，是的直径，点P是延长线上的一点，过点P作的切线，切点为C，连接． （1）求证：； （2）若点P在的延长线上运动，的角平分线交于点D．你认为 的大小是否会发生变化?若变化，请说明理由：若没有变化，求出的大小． 19. 某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度． 20. 某文具店购进A、B两款笔记本，购进2本A款和3本B款共需22元；购进5本A款和4本B款共需41元． （1）求A、B两款笔记本进价各多少元； （2）若计划购进两款笔记本共100本，A款售价5元，B款售价8元，全部售出后利润不低于280元，求A款最多购进多少本． 21. 如图，直线y＝－2x与直线y＝kx＋b相交于点A(a,2)，并且直线y＝kx＋b经过x轴上点B(2,0)． (1)求直线y＝kx＋b的解析式； (2)求两条直线与y轴围成的三角形面积； (3)直接写出不等式(k＋2)x＋b≥0的解集． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标； （3）若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 求解下列各题： （1）【结论探究】如图（1），在中，，，点D是上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：． ②如图（2），若M为的中点，延长至点F，使，连接 ，试判断的形状，并证明你的结论； （2）【拓展应用】如图（3），在等边三角形中，D是内一点，将绕点D逆时针旋转得到，取的中点M，连接 ． ①试探究线段 的数量关系，并证明你的结论； ②若 ，则的长为 （直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中考模拟预测试卷 九年级数学 满分：120分考试时间：110分钟 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用实数比较大小的基本规则即可求解，用到的规则为负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的数更小． 【详解】解：∵ 正数大于0，0大于负数， ∴ 只需比较两个负数和的大小， ∵ ， ∴ ， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数更小， ∴ ， ∴ 四个数的大小关系为 ， ∴ 最小的数是． 2. 2024年河南文旅一季度接待游客约2.86亿人次，数据“2.86亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数． 【详解】解：∵亿， ∴亿． 3. 河南洛阳龙门石窟是世界文化遗产，下列石窟图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，不符合题意； B，幂的乘方，底数不变，指数相乘，，不符合题意； C，同底数幂相除，底数不变，指数相减，，符合题意； D，合并同类项，系数相加减，字母和指数不变，，不符合题意． 5. 一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可得解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， ∴在数轴上表示为： ． 6. 情景题某社区推行垃圾分类积分兑换生活用品，已知3个积分可兑换1包纸巾，5个积分可兑换1瓶洗手液．若小明现有x个积分，兑换了4包纸巾和2瓶洗手液，恰好用完积分，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题中等量关系为：总积分等于兑换纸巾的积分和兑换洗手液的积分之和，据此即可列出方程． 【详解】解：∵3个积分兑换1包纸巾，兑换4包纸巾需要的积分为， 5个积分兑换1瓶洗手液，兑换2瓶洗手液需要的积分为 ， 已知总积分恰好用完，总积分等于兑换两种物品的积分和， ∴ 可列方程 ． 7. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式求解，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入方程系数计算即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 即的取值范围是． 8. 某校九年级从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加数学竞赛，则恰好选中甲和乙的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画树状图表示出所有等可能的情况，再找到符合题意的情况，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可画树状图如下， 由树状图可知共有12种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种， ∴恰好抽到甲和乙的概率为． 9. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E为中点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质以及勾股定理求出，再根据是的中位线，即可得到答案． 【详解】解：菱形，，， ，，点为中点， ， 点E为中点， 是的中位线， ． 10. 已知二次函数 的部分对应值如表： x 0 2 3 y 0 3 3 0 下列说法：①抛物线开口向下；②对称轴为直线 ；③当 时，y随x增大而减小；④方程 的一个根为：，另一个根为 ．其中正确的有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称点的性质求出对称轴，再结合二次函数性质逐一判断结论即可． 【详解】解：∵当时，当时，两点值相等， ∴对称轴为直线，故②正确； 由表格可知当时，随的增大而减小，故③正确； 再由表格可知当时，随的增大而增大， 则抛物线开口向下，故①正确； 由表格可知时，所以是方程的一个根， 由表格可知时，所以是方程的另一个根， 则方程 的一个根为：，另一个根为 ，故④正确． 综上，4个结论都正确． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 物理中自由落体下落高度公式（为重力加速度，取）若物体下落高度， 则下落时间 ___________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 所以，物体下落的时间为3秒． 12. 已知点在反比例函数的图象上，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二，四象限内， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点A在第二象限内，点B在第四象限内， ∴． 13. 新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 14. 我国古代《九章算术》记载“方田割圆”思想，若一个圆内接正六边形的边长为2，则该圆的阴影部分面积为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，根据阴影面积圆的面积−正六边形的面积即可得出结果． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，连接,则，作于点，则， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 即的半径为2， ∴ ∴，的面积为， ∴， ∵正六边形可分为六个边长为2的等边三角形， ∴正六边形面积为． ∴阴影面积为． 15. 如图，在 中，，，， 点P是边上一动点，将 沿折叠，点A的对应点为，当 时，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是折叠问题，由折叠性质可得对应边相等，再利用构造垂线段，得到相似三角形，最后用勾股定理建立方程求解． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∵将沿折叠，点A的对应点为， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴=， 又∵， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 化简求值： ，其中 ． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17. 为了解九年级学生每日课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，将调查结果分为 A“分钟”， B“分钟”， C“分钟”，D“分钟”四类，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图信息解答下列问题： （1）本次共调查 名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校九年级共1200名学生，估计每日阅读时长不少于60分钟的学生人数． 【答案】（1）60 （2）作图见解析 （3）660人 【解析】 【分析】（1）利用A类学生数除以其占比即可求出答案； （2）求出B“31~60分钟”的人数，补全统计图即可； （3）用样本估计总体进行解答即可． 【小问1详解】 解：(名) 答：本次调查共抽取了60名学生； 【小问2详解】 解: B“31~60分钟”的人数有 (名), 补全图形如下： 【小问3详解】 解：(名) 答：每日阅读时长不少于60分钟的学生人数为名． 18. 如图所示，是的直径，点P是延长线上的一点，过点P作的切线，切点为C，连接． （1）求证：； （2）若点P在的延长线上运动，的角平分线交于点D．你认为 的大小是否会发生变化?若变化，请说明理由：若没有变化，求出的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）不发生变化，. 【解析】 【分析】（1）连接根据切线的性质证明，根据圆周角定理得到，则，进一步证明，即可得到结论； （2）求出的度数即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线， ∴，即， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：的大小不发生变化， ∵，，，， ． 19. 某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度． 【答案】小山的高度为米 【解析】 【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高． 【详解】解：设为米，则米，∵ ∴，而米， 在中，， 则米，米， 在中，， 解得． 答：小山的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键． 20. 某文具店购进A、B两款笔记本，购进2本A款和3本B款共需22元；购进5本A款和4本B款共需41元． （1）求A、B两款笔记本进价各多少元； （2）若计划购进两款笔记本共100本，A款售价5元，B款售价8元，全部售出后利润不低于280元，求A款最多购进多少本． 【答案】（1）A进价5元，B进价4元 （2）A款最多购进30本 【解析】 【分析】（1）设A进价x元， B进价y元，购进2本A款和3本B款共需22元；购进5本A款和4本B款共需37元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购进A款a本，根据全部售出后利润不低于280元列不等式并解不等式即可． 【小问1详解】 解：设A进价x元， B进价y元， 解得 答：A进价5元，B进价4元． 【小问2详解】 解：设购进A款a本， ， 解得， ∴A款最多购进30本． 21. 如图，直线y＝－2x与直线y＝kx＋b相交于点A(a,2)，并且直线y＝kx＋b经过x轴上点B(2,0)． (1)求直线y＝kx＋b的解析式； (2)求两条直线与y轴围成的三角形面积； (3)直接写出不等式(k＋2)x＋b≥0的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式是y＝－x＋；（2）S△ABC＝；（3）x≥－1. 【解析】 【详解】试题分析：利用代入法求出点A的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数的解析式； （2）根据图像求出交点C的坐标，然后可求三角形的面积； （3）根据图像的位置求出不等式的解集. 试题解析：解：(1)把A(a,2)代入y＝－2x中，得－2a＝2，∴a＝－1，∴A(－1,2)，把A(－1,2)、B(2,0)代入y＝kx＋b中得，∴k＝－，b＝，∴一次函数的解析式是y＝－x＋；　 (2)设直线AB与y轴交于点C，则C(0，)，∴S△AOC＝××1＝；　 (3)不等式(k＋2)x＋b≥0可以变形为kx＋b≥－2x，结合图象得到解集为：x≥－1. 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标； （3）若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）作交于点，先求得直线的解析式，设点P的坐标为，则点R的坐标为，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可； （3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：作交于点， 令，则， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点R的坐标为， ∴ ， ∵， ∴时，有最大值，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点Q是线段上一点， ∴设点Q的坐标为， ∵，， ∴， ∵点是线段上一点（点不与两端点重合）， ∴分以下两种情况讨论： 如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点P的纵坐标为， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为； 如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设， 同理， ∴，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴点P的纵坐标为， ∴， 解得（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键． 23. 求解下列各题： （1）【结论探究】如图（1），在中，，，点D是上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：． ②如图（2），若M为的中点，延长至点F，使，连接 ，试判断的形状，并证明你的结论； （2）【拓展应用】如图（3），在等边三角形中，D是内一点，将绕点D逆时针旋转得到，取的中点M，连接 ． ①试探究线段 的数量关系，并证明你的结论； ②若 ，则的长为 （直接写出结果）． 【答案】（1）①证明见解析；②是等边三角形，证明见解析 （2）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）①由旋转性质可知，，则，证明即可得到；②先证明四边形是平行四边形，由，求得，得到，利用平行四边形的性质推出，即可得到是等边三角形； （2）①延长至，使，易证是的中位线，再证明是等边三角形，进而证明，即可证明结论；②过点作于点，求出 ， ，勾股定理求出，由①中结论即可求解． 【小问1详解】 ①证明：由旋转性质可知，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； ②是等边三角形，证明如下， 连接， ∵M为的中点，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ，， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 ①解：，证明如下： 证明：如图，延长至点F，使，连接， ∵ M是的中点，， ∴是的中位线， ， 由旋转的性质得，， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ， ， 由①得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $