精品解析：2026年河南南阳市方城县第三初级中学五校联考中考一模数学试卷

2026春五校联考 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，点A位于原点左侧3个单位长度处，则点A表示的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点A位于原点左侧3个单位长度处，且原点左侧表示的数是负数， ∴点A表示的数是． 2. 国家统计局2026年1月19日发布数据显示，2025年中国国内生产总值达到1401879亿元，首次跃上140万亿元新台阶．数据“140万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：万亿． 3. 篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块雕刻印章的材料的三视图，与它对应的材料是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图是一块雕刻印章的材料的三视图，与它对应的材料是：    4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ∴A计算错误． B．根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减． ∴B计算错误． C．根据合并同类项法则，合并同类项时系数相加，字母与字母的指数不变． ∴C计算错误． D．根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积． ∴D计算正确． 5. 如图，将竹片a，b，c摆放成一个“大”字，已知竹片c平行于地面，经测量，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，根据平行线的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图， 可知． 地面， ， ∵ ， ． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先确定方程的各项系数，再利用根的判别式进行分析．先确定该方程中，，，代入判别式公式得到的表达式．对的表达式进行变形，判断其正负，因为若，则方程没有实数根；若，则有两个相等实数根；若，则有两个不相等实数根． 【详解】解：， ∴方程没有实数根． 创新角度 两次折叠 7. 如图，已知一张三角形纸片，先将纸片沿折叠，使点A与点B重合；再将纸片沿折叠，使得点C恰好与边上的点G重合．下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质可直接判断A正确；根据可判断D正确；求出可判断C正确；根据已有条件无法推出，故B不一定正确． 【详解】解：由折叠可知，，，，，，故A正确； ，故D正确； ， ， ，即，故C正确； 根据已有条件无法推出，故B不一定正确． 创新角度 以马年春晚吉祥物为素材 8. 2026年总台马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．现将正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”图案的4张卡片洗匀后背面朝上（卡片除正面图案外其他均相同）放在桌面上．若从4张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片中至少有1张印有“骋骋”图案的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”图案的4张卡片分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的2张卡片中至少有1张印有“骋骋”图案的结果有6种，故所求概率为． 9. 如图是二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象得到，，，进而得到，，根据一次函数图象的性质即可． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， ，，， ，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限． 10. 如图（1），在矩形中，点P以每秒个单位长度的速度从点B沿着折线运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B沿着折线运动，当点P到达点D时，点Q随之停止运动，连接．的面积y与点P的运动时间x（秒）之间的函数关系图象如图（2）所示，则m的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则，根据题意得出，，求出a、b的值，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 根据题意可得：当点Q运动到点C时，的面积最大， 即， ∴， 根据图象可得：当点P到达点D时，所用时间为秒， ∴， 即， ∴， 解得，（舍去）， ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：___．（填“＞”“＜“或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】首先比较出每组两个数的平方的大小关系，然后根据实数大小比较的方法判断出每组两个数的大小关系即可． 【详解】解：，，28＞27， ∴， ∴， 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出每组两个数的平方的大小关系． 12. 下列调查中，适合采用全面调查的是_______．（填序号） ①了解2026年春节联欢晚会的收视率；②了解某班学生寒假期间每天的锻炼时间；③了解某品牌一批圆珠笔笔芯的使用寿命；④高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检． 【答案】②④ 【解析】 【详解】解：①了解年春节联欢晚会的收视率，调查对象范围广，工作量大，适合抽样调查； ②了解某班学生寒假期间每天的锻炼时间，调查对象范围小，便于调查，适合全面调查； ③了解某品牌一批圆珠笔笔芯的使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查，适合抽样调查； ④高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检，要求结果准确，保障公共安全需要对所有旅客检查，适合全面调查． ∴适合采用全面调查的是②④． 13. 创新角度 数学文化 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，其为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是2025．若已知，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】左边表示的数是108，右边表示36与a的积，据此列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 14. 如图，点O，E为四边形的边上的点，以点O为圆心，长为半径的经过点D，且与边相切于点C，连接，，．若，，，则阴影部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，计算出半径和，结合切线性质证明，得到，再用割补法表示阴影面积即可． 【详解】解：如图，连接，，则， ， 与相切于点C， ， ， ∴， ． 15. 如图，在中，，，，D是边上一点（不与点B重合），线段绕点D顺时针旋转得到，连接． （1）当点E在上时，如图（1），则的长度为________； （2）如图（2），点E不在上，F，G分别为，的中点，则线段的最小值为________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】（1）过点E作于点N．因为绕D顺时针旋转得到，所以，；又因为，可证明和全等，突破口是找角的等量关系，利用同角的余角相等推导角相等，再结合已知边的长度，设，用相似三角形的对应边成比例建立方程求解． （2）因为F、G分别是、的中点，根据三角形中位线定理，所以，要求的最小值，只需求的最小值；可构造全等三角形，在上取点M，使，过点E作交的延长线于点H，同（1）可证，易知点E在射线上运动，再根据垂线段最短的性质，找到最短时的位置，进而计算出最小值． 【详解】解：（1）如图（1），过点E作于点N． 由旋转知，， ． 又， ． 又，， ∴， ，． 设，则． 易知， ， ， ， ， ． （2）如图（2），连接， ，G分别为，的中点， ． 在上取点M，使，则． 过点E作交的延长线于点H，同（1）可证， ，， ， ， 易知点E在射线上运动， ∴当时，的值最小， 如图（3），此时， ∴线段的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 为积极响应国家关于加强中小学科技教育的号召，激发学生对科学的兴趣，培养学生的科学精神，某校举办了以“科技点亮生活，智慧引领未来”为主题的青少年科普知识竞赛．该校七年级有150名学生参赛，八年级有100名学生参赛．为了解竞赛情况，学生会从这两个年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制），并对抽取的成绩进行整理、描述（成绩分成4组：A．；B．；C．；D．），部分信息如下： a．八年级所抽取的20名学生的成绩在范围内的是75，75，76，78，80，82，84，85，86，87，87，87，87，87，89． b．根据七、八年级所抽取学生的成绩绘制出的统计图如下： 根据以上信息，完成下列问题： （1）扇形统计图中，_________；八年级所抽取学生成绩的中位数是________分，众数是__________分． （2）若规定得分不低于90分的学生可获得“科普之星”称号，请估计七、八年级学生中获得“科普之星”称号的共有多少人． 【答案】（1）10；86.5；87 （2）35人 【解析】 【分析】（1）求出C组所对应的百分比，进而可求a的值；根据中位数和众数的定义计算即可； （2）用七、八年级学生的人数乘以各自获得“科普之星”称号的比例，进而相加即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图知“C”所在扇形的圆心角为，故C组所对应的百分比为， ，即． 将八年级所抽取的20名学生的成绩按从小到大的顺序排列，第10，11个数据分别为86，87，故中位数为（分）． 八年级抽取的20名学生的成绩中，A组频数为1，B组、D组频数均为4，而C组中87分出现了5次，故众数为87分． 【小问2详解】 解：（人）． 答：估计七、八年级学生中获得“科普之星”称号的共有35人． 18. 如图，平行于y轴的矩形直尺与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B对应的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求k的值． （2）过点C作于点E，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值； （2）求出，，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点A和B对应的刻度分别为和， ． 又，轴， ． 把代入， 得， 解得， 【小问2详解】 证明：∵直尺的宽度为，， ∴点C的横坐标为4． 将代入， 得， ． ， ， ． 又， ∴四边形是平行四边形． 19. 学校教学楼墙面上有一大型电子屏，数学兴趣小组想利用所学解直角三角形知识求出该电子屏的高度．如图，他们先在教学楼前方的地面A处测得教学楼的顶端即电子屏的上端点E的仰角为，然后正对电子屏方向走32米到达点B处，在B处测得点E的仰角为、电子屏的下端点F的仰角为．已知点A，B，C，E，F在同一平面内，且A，B，C三点在一条直线上，求电子屏的高度（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】设，求出，列出等式解得，即可得到答案． 【详解】解：设， ． 在中，， ． 在中，， ， 在中，， ， ， 解得， ， 答：电子屏的高度约为米． 创新角度 以光伏发电站改造升级为情境 20. 河南日报2026年2月2日报道，2025年河南省新能源发电量1211亿千瓦时，占全社会用电量的，标志着河南能源体系绿色化转型取得决定性进展．河南某地区共建有10个小型光伏发电站，每个发电站每月的发电量为40万千瓦时．该地区计划从今年某月月初开始对这10个小型光伏发电站各进行一次改造升级．每月改造升级1个发电站，这个发电站当月停机，并于次月再投入发电，每个发电站改造升级后，每月的发电量将比原来提高．从开始改造升级的第1个月开始往后算，该地区第x（x是正整数且）个月发电站的总发电量设为y万千瓦时）． （1）第x个月时该地区对应的发电站改造及发电情况列表如下： 该月正在改造的发电站 已经改造好的发电站 未改造的发电站 数量/个 1 发电量/万千瓦时 0 ①将上面表格补充完整（结果化到最简）； ②求y关于x的函数表达式． （2）已知每个发电站改造升级的费用为2万元．如果每发1千瓦时电可以盈利0.05元，那么从第几个月开始该地区的发电盈利额（盈利额=发电盈利当月发电站改造升级的费用）将超过之前不改造升级时该月的发电盈利额？ 【答案】（1）①，，；② （2）第7个月 【解析】 【分析】（1）①根据题意求出未改造的发电站个数，根据每个未改造的发电站每月的发电量为40万千瓦时可知未改造的发电站发电量及发电站改造升级后每个发电站每月的发电量，进而可知已经改造好的发电站发电量； ②用已经改造好的发电站发电量加上未改造的发电站发电量即可得到y关于x的函数表达式； （2）设第x个月时，该地区的发电盈利额为w万元，求出w的函数表达式及不改造升级时该月的发电盈利额，进而根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①∵共改造10个小型光伏发电站， ∴未改造的发电站为个； ∵每个未改造的发电站每月的发电量为40万千瓦时， ∴未改造的发电站发电量为万千瓦时； ∵每个发电站改造升级后，每月的发电量将比原来提高， ∴发电站改造升级后每个发电站每月的发电量为万千瓦时， ∴已经改造好的发电站发电量为万千瓦时； 表格补充完整如下： 该月正在改造的发电站 已经改造好的发电站 未改造的发电站 数量/个 1 发电量/万千瓦时 0 ②． 【小问2详解】 解：设第x个月时，该地区的发电盈利额为w万元， 则． 之前不改造升级时该月的发电盈利额为万元． 令，即， 解得． 答：从第7个月开始该地区的发电盈利额将超过之前不改造升级时该月的发电盈利额． 创新角度 圆的实际应用结合尺规作图 21. 如图是一个半圆形拱桥的截面示意图，直径是河底截线，弦是水位线，，测得水面宽，拱顶到水面的距离是（即的中点到线段的距离）． （1）在图中利用无刻度的直尺和圆规作出桥拱圆弧所在圆的圆心O． （2）求此时水位的高度（即线段与之间的距离）． （3）货轮从桥洞正中间通过此桥洞，为船身宽，为保证安全，要求点E，F与其正上方拱桥线上的对应点G，H的距离均应不小于．已知该货轮露出水面部分的高度为，，请通过计算判断该货轮能否安全通过该桥洞． 【答案】（1）见解析 （2） （3）该货轮不能安全通过该桥洞 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点即可； （2）连接，过点O作交于点M，交于点N，求出，．设，则． 在中，由勾股定理列方程并解方程即可； （3）连接，，交于点P，求出，，根据线段的和差即可求出答案． 【小问1详解】 解：圆心O如图所示． 【小问2详解】 解：如图（2），连接，过点O作交于点M，交于点N， 则，． 设，则． 在中，由勾股定理， 得，即， 解得，即此时水位的高度为． 【小问3详解】 如图（2），连接，，交于点P， 则，， ， ， ， ∴该货轮不能安全通过该桥洞． 创新角度 以多人跳绳为情境 22. 多人跳绳是校园中常见的一项体育运动．当跳绳摇到最低处时，其形状可近似看作抛物线的一部分．如图，摇绳时两人手（分别记作点A，B）离地面的距离均为，手之间的水平距离为，以地面为x轴，过点A且垂直于地面的竖直线为y轴建立平面直角坐标系．已知图中所有的点都在同一平面内． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）小亮站在离点A水平距离为的点C处，如果小亮从点C处竖直向上跳起，且当绳子甩到最低处时刚好通过他的脚底，那么小亮跳起的高度为多少米？ （3）若多人齐跳，为保证安全要求相邻两人之间的距离为．假设所有跳绳的同学同时起跳且竖直向上的起跳高度都是，当他们起跳到最高处时，绳子恰好甩到最低处，且绳子低于他们的脚底至少，试估计最多可供几人齐跳．（假设绳子摇到的最高处均超过跳绳同学的头顶） 【答案】（1） （2） （3）最多可供5人齐跳 【解析】 【分析】（1）先求出顶点坐标为．，设抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）将代入解析式求解即可； （3）先求出绳子低于他们的脚底至少时的y的值，再代入解析式求出x的值，然后根据相邻两人之间的距离为即可求出最多可供几人齐跳． 【小问1详解】 解：（1）由题意可得抛物线经过点，，且顶点在x轴上， 对称轴为直线， ∴顶点坐标为． 可设抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 解：将代入，得， ∴小亮跳起的高度为； 【小问3详解】 解：， ． 令， 解得，． ，，， ∴最多可供5人齐跳． 23. 如图（1），点在菱形的对角线上，交于点，交于点，． 初步感知 （1）①连接．求证：为等边三角形； ②的值为__________． 深入探究 （2）将四边形绕点C顺时针旋转（旋转角），连接，，，如图（2），在旋转过程中，试探究与之间的数量关系是否发生变化，并说明理由． 拓展运用 （3）连接，，．若，，则在四边形绕点旋转的过程中，当时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析； （2）不发生变化．理由见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）证明四边形是菱形，利用菱形的性质可得，，即可得证；证明，得到，，再由菱形的性质得到，根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得的度数，解直角三角形得到与的数量关系，即可得解； （2）由（1）可得，由旋转的性质可得，，分两种情况讨论，当，，三点不共线时，当，，三点共线时，根据线段之间的数量关系求解即可； （3）分两种情况讨论．当，两点位于两侧，当，两点位于同侧，先通过平行线的性质证明，，三点共线，过点作的垂线，通过解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形，． 四边形是菱形， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形． 解：，， ， ，． 四边形是菱形， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：不发生变化．理由如下： 在题图（1）中，， ， ， ， 当，，三点不共线时， 由旋转的性质可得，， ，， ， ． 当，，三点共线时，． 综上，在旋转过程中，． 【小问3详解】 解：由（2）可知， ，， ，． 是等边三角形，． 分两种情况讨论． 当，两点位于两侧，且时，如图（1）． ， ， ， ， ，，三点共线．过点作于点，连接， ，， ， ， ． 当，两点位于同侧，且，如图（2）． ， ， ． ， ，，三点共线， ． 过点作于点，连接， 则，， ， ， ． 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春五校联考 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，点A位于原点左侧3个单位长度处，则点A表示的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 2. 国家统计局2026年1月19日发布数据显示，2025年中国国内生产总值达到1401879亿元，首次跃上140万亿元新台阶．数据“140万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块雕刻印章的材料的三视图，与它对应的材料是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将竹片a，b，c摆放成一个“大”字，已知竹片c平行于地面，经测量，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 创新角度 两次折叠 7. 如图，已知一张三角形纸片，先将纸片沿折叠，使点A与点B重合；再将纸片沿折叠，使得点C恰好与边上的点G重合．下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 创新角度 以马年春晚吉祥物为素材 8. 2026年总台马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．现将正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”图案的4张卡片洗匀后背面朝上（卡片除正面图案外其他均相同）放在桌面上．若从4张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片中至少有1张印有“骋骋”图案的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图（1），在矩形中，点P以每秒个单位长度的速度从点B沿着折线运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B沿着折线运动，当点P到达点D时，点Q随之停止运动，连接．的面积y与点P的运动时间x（秒）之间的函数关系图象如图（2）所示，则m的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：___．（填“＞”“＜“或“＝”） 12. 下列调查中，适合采用全面调查的是_______．（填序号） ①了解2026年春节联欢晚会的收视率；②了解某班学生寒假期间每天的锻炼时间；③了解某品牌一批圆珠笔笔芯的使用寿命；④高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检． 13. 创新角度 数学文化 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，其为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是2025．若已知，则_______． 14. 如图，点O，E为四边形的边上的点，以点O为圆心，长为半径的经过点D，且与边相切于点C，连接，，．若，，，则阴影部分的面积为________． 15. 如图，在中，，，，D是边上一点（不与点B重合），线段绕点D顺时针旋转得到，连接． （1）当点E在上时，如图（1），则的长度为________； （2）如图（2），点E不在上，F，G分别为，的中点，则线段的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）； （2）． 17. 为积极响应国家关于加强中小学科技教育的号召，激发学生对科学的兴趣，培养学生的科学精神，某校举办了以“科技点亮生活，智慧引领未来”为主题的青少年科普知识竞赛．该校七年级有150名学生参赛，八年级有100名学生参赛．为了解竞赛情况，学生会从这两个年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制），并对抽取的成绩进行整理、描述（成绩分成4组：A．；B．；C．；D．），部分信息如下： a．八年级所抽取的20名学生的成绩在范围内的是75，75，76，78，80，82，84，85，86，87，87，87，87，87，89． b．根据七、八年级所抽取学生的成绩绘制出的统计图如下： 根据以上信息，完成下列问题： （1）扇形统计图中，_________；八年级所抽取学生成绩的中位数是________分，众数是__________分． （2）若规定得分不低于90分的学生可获得“科普之星”称号，请估计七、八年级学生中获得“科普之星”称号的共有多少人． 18. 如图，平行于y轴的矩形直尺与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B对应的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求k的值． （2）过点C作于点E，连接，．求证：四边形是平行四边形． 19. 学校教学楼墙面上有一大型电子屏，数学兴趣小组想利用所学解直角三角形知识求出该电子屏的高度．如图，他们先在教学楼前方的地面A处测得教学楼的顶端即电子屏的上端点E的仰角为，然后正对电子屏方向走32米到达点B处，在B处测得点E的仰角为、电子屏的下端点F的仰角为．已知点A，B，C，E，F在同一平面内，且A，B，C三点在一条直线上，求电子屏的高度（参考数据：，，，，，） 创新角度 以光伏发电站改造升级为情境 20. 河南日报2026年2月2日报道，2025年河南省新能源发电量1211亿千瓦时，占全社会用电量的，标志着河南能源体系绿色化转型取得决定性进展．河南某地区共建有10个小型光伏发电站，每个发电站每月的发电量为40万千瓦时．该地区计划从今年某月月初开始对这10个小型光伏发电站各进行一次改造升级．每月改造升级1个发电站，这个发电站当月停机，并于次月再投入发电，每个发电站改造升级后，每月的发电量将比原来提高．从开始改造升级的第1个月开始往后算，该地区第x（x是正整数且）个月发电站的总发电量设为y万千瓦时）． （1）第x个月时该地区对应的发电站改造及发电情况列表如下： 该月正在改造的发电站 已经改造好的发电站 未改造的发电站 数量/个 1 发电量/万千瓦时 0 ①将上面表格补充完整（结果化到最简）； ②求y关于x的函数表达式． （2）已知每个发电站改造升级的费用为2万元．如果每发1千瓦时电可以盈利0.05元，那么从第几个月开始该地区的发电盈利额（盈利额=发电盈利当月发电站改造升级的费用）将超过之前不改造升级时该月的发电盈利额？ 创新角度 圆的实际应用结合尺规作图 21. 如图是一个半圆形拱桥的截面示意图，直径是河底截线，弦是水位线，，测得水面宽，拱顶到水面的距离是（即的中点到线段的距离）． （1）在图中利用无刻度的直尺和圆规作出桥拱圆弧所在圆的圆心O． （2）求此时水位的高度（即线段与之间的距离）． （3）货轮从桥洞正中间通过此桥洞，为船身宽，为保证安全，要求点E，F与其正上方拱桥线上的对应点G，H的距离均应不小于．已知该货轮露出水面部分的高度为，，请通过计算判断该货轮能否安全通过该桥洞． 创新角度 以多人跳绳为情境 22. 多人跳绳是校园中常见的一项体育运动．当跳绳摇到最低处时，其形状可近似看作抛物线的一部分．如图，摇绳时两人手（分别记作点A，B）离地面的距离均为，手之间的水平距离为，以地面为x轴，过点A且垂直于地面的竖直线为y轴建立平面直角坐标系．已知图中所有的点都在同一平面内． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）小亮站在离点A水平距离为的点C处，如果小亮从点C处竖直向上跳起，且当绳子甩到最低处时刚好通过他的脚底，那么小亮跳起的高度为多少米？ （3）若多人齐跳，为保证安全要求相邻两人之间的距离为．假设所有跳绳的同学同时起跳且竖直向上的起跳高度都是，当他们起跳到最高处时，绳子恰好甩到最低处，且绳子低于他们的脚底至少，试估计最多可供几人齐跳．（假设绳子摇到的最高处均超过跳绳同学的头顶） 23. 如图（1），点在菱形的对角线上，交于点，交于点，． 初步感知 （1）①连接．求证：为等边三角形； ②的值为__________． 深入探究 （2）将四边形绕点C顺时针旋转（旋转角），连接，，，如图（2），在旋转过程中，试探究与之间的数量关系是否发生变化，并说明理由． 拓展运用 （3）连接，，．若，，则在四边形绕点旋转的过程中，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $