精品解析：山西运城市盐湖区2025—2026学年第二学期九年级学业质量监测 数学

2025—2026学年第二学期九年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下面是4所学校2026年体质健康监测优良率的增长率（单位：个百分点）情况，数据呈起伏状态，其中增长率最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照有理数大小比较规则比较四个数据即可得到答案． 【详解】解：∵四个选项的数据分别为，，，， ∴根据有理数大小比较规则可得， ∴增长率最大的是． 2. 盬（gǔ）皂是以运城盬盐为核心原料古法制作的手工盐皂．如图是一个平放的盬皂，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】一个物体在三个两两垂直的投影面上分别进行正投影，其中在竖直投影面内的正投影叫做主视图，在水平投影面内的正投影叫做俯视图，在侧投影面内的正投影叫做左视图，据此可知，B选项符合题意． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式运算法则，结合同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 4. 为助推山西转型发展，运城外事办准备了一批具有浓郁河东文化特色的外事礼品，用于国际交流．工作人员拿出印有河津擦色描金漆器、解州关公故里铜像、绛州剔犀的3张卡片，这些卡片除正面图案外完全相同，将其背面朝上洗匀后，随机抽取2张，恰好抽到印有关公故里铜像和绛州剔犀卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率． 【详解】解：设印有河津擦色描金漆器的卡片为，印有解州关公故里铜像的卡片为，印有绛州剔犀的卡片为． 随机抽取张，可能出现的结果共种，即，，，这些结果发生的可能性相等，其中恰好抽到印有关公故里铜像和绛州剔犀卡片（记为事件）的结果只有种，即， 所以． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：解不等式，得． 如图所示，这个解集可以用数轴上表示的点及其右边的部分来表示，解集包括，在数轴上表示的点处画实心圆点． 6. 如图，是某小区车库出口示意图，已知，测得，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．利用周角的定义可得出，又因为两直线平行，同旁内角互补，可得出． 【详解】解：，， ， ， ． 7. 在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，点为上的一个格点，点为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形求解时，先通过网格确定线段长度，证明与相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积比． 【详解】解：设每个小正方形的边长为． 由网格可得：，， ∴（为中点）， ∵ ，， ∴ ． 又∵ ， ∴ （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）． ∴ 即 ． 8. 敏学小组在进行《“数”业有“砖”攻》项目化学习时，设计了一个用“鱼骨铺贴法”为书房铺设地板的方案图．如图1，已知一个“鱼骨”是由两个边长均为的菱形组成，用若干“鱼骨”按如图2所示的方式无缝隙铺设一组地板（暂不考虑填补空隙），则铺设的地板总长度（单位：）与需要的“鱼骨”的个数（单位：个）之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 根据题意可得． 9. 将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“左加右减”的平移法则求出平移后新抛物线的解析式，再代入验证即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，可得新抛物线为： 即， 当时，， ∴抛物线不经过点与， 当时， ∴点在新抛物线上，点不在新抛物线上． 10. 如图1，两个月牙的面积之和等同于的面积．这就是著名的希波克拉底月牙定理，它是人类首次精准求出曲边图形面积的典型代表．慧聪小组利用边长为6的正方形设计出了如图2所示的一个“心”型图案，其中两个“月牙”是由直径分别为、、的三个半圆围成，则的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可． 【详解】解：连接， 由勾股定理得，， 由图形可知，阴影部分面积 ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 12. 如图，是刊载于《敕修河东盐法志》的运城古城全图，其精确呈现了以盐务为核心的“城、门、衙、坊、庙、学”完整布局．点、、分别代表丰翼亭、文庙、贤良坊．已知点的坐标记作，点的坐标记作，则点的坐标记作______． 【答案】 【解析】 【分析】通过点，点，建立平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图． ∵点，点， ∴点. 13. 某物理兴趣小组在做实验时，需要购置电压表和滑动变阻器两种实验器材若干个．已知购买2个电压表和3个滑动变阻器共需44元，购买3个电压表和2个滑动变阻器共需46元．设每个电压表的价格为元，每个滑动变阻器的价格为元，则可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列出方程，联立得到方程组． 【详解】解：设每个电压表的价格为元，每个滑动变阻器的价格为元． 根据购买个电压表和个滑动变阻器共需元，可得方程． 根据购买个电压表和个滑动变阻器共需元，可得方程． 联立两个方程得到方程组． 14. 如图，是的一条弦，过点作的切线，过点作，交于点，垂足为点，连接、．若，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】先利用切线的性质得到，结合证明；再根据圆周角定理，由求出圆心角；最后利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：∵是的切线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 15. 如图，在中，、，点是上一点，且，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作于，根据已知条件和等腰三角形的性质，可以求出的长，再由折叠的性质，可得，，可进一步推导出 ，再根据相似比设元，表示出的长，再在 中，利用勾股定理列方程即可求出． 【详解】解：如图，作于， 作于， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 由折叠的性质可知， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 在中， ， ， 整理得， 解得，， 当时，不合题意， 舍去， ，， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和分式的混合运算： （1）根据有理数混合运算的法则计算即可； （2）两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 17. 在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． （1）求出与之间的函数关系式； （2）实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 【答案】（1） （2）当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数关系式，将已知的、对应值代入，求出比例系数，从而确定函数关系式； （2）先根据反比例函数的单调性，结合浓度不低于的条件，求出对应的溶液体积，再根据函数的增减性判断体积的取值范围． 【小问1详解】 解：设（）， 将代入上式，得， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 时，溶液浓度随溶液体积的增大而减少 所以，当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于． 18. 为丰富学生课间分钟校园活动，落实健康学校建设理念，某校购置了一批适合课间的小型运动器材．该校“律动”社团在学校随机抽取了名学生，针对学生最喜欢的小型运动器材进行了问卷调查，（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示条形统计图（不完整）和调查统计表． 我最喜爱的课间活动器材调查问卷 亲爱的同学们： 为了解大家对我校购置的课间15分钟小型运动器材的喜爱程度，优化课间活动体验，特开展本次调查，快来参与吧！（以下均为单选） ．你的性别：□男 □女 ．你所在年级： A．初一 B．初二 C．初三 ．你最喜欢的器材是？ ．小型台球 ．桌上冰球 ．投篮机 ．回弹羽毛球 ．你每次使用最喜欢的课间活动器材大概会持续多久？ ．分钟 ．分钟 ．分钟 ．分钟以上 喜爱投篮机学生的每次使用时长调查统计表 时长区间（分钟） 分钟以上 对应人数 请认真阅读以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）根据表中投篮机的使用时长数据，求这组数据的中位数所在的时长区间和平均数的估计值（平均数结果精确到，每组区间取中间数值计算：分钟取分钟，分钟取分钟，分钟取分钟，分钟以上取分钟）． 【答案】（1）补图见解析 （2）中位数所在的时长区间是分钟以上，平均数的估计值为分钟 【解析】 【分析】（）求出喜欢桌上冰球的学生人数，即可补全条形统计图； （）根据中位数和加权平均数的定义解答即可求解； 本题考查了条形统计图，中位数和平均数，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，喜欢桌上冰球的学生人数为人， ∴补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：∵喜爱投篮机的学生共有人， ∴数据由小到大排列，中位数为第个数， ∴这组数据中位数所在的时长区间是分钟以上， 这组数据的平均数（分钟）， 答：这组数据中位数所在的时长区间是分钟以上，平均数的估计值为分钟． 19. 为落实乡村快递配送，某物流园分别投入型无人配送车与型无人配送车承担快递转运任务．已知型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等，且型无人车每小时比型无人车多运送件．求型无人配送车每小时可运送多少件快递． 【答案】型无人配送车每小时可运送件快递 【解析】 【分析】本题可通过设未知数，根据“型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等”这一等量关系，列出分式方程求解，最后检验方程的根是否符合题意． 【详解】解：设型无人配送车每小时可运送件快递， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的根． 答：型无人配送车每小时可运送件快递． 20. 2026年1月，运城市盐湖区新建一城市光影地标——“盐湖之眼”摩天轮．博学小组根据某摄影爱好者拍摄的照片（图1所示），绘制出如图2所示的测量方案示意图．已知，，，图中各点都在同一竖直平面内．在点处测得点的仰角，在点处测得点的俯角，米，米，米，图中摩天轮及雕塑主体的宽度均忽略不计．请根据上述数据，计算摩天轮最高点到地面的高度（结果精确到1米．参考数据：，，，，，）． 【答案】摩天轮最高点到地面的高度为66米 【解析】 【分析】本题通过作辅助线构造矩形和直角三角形，先利用矩形的性质转化线段长度，再结合仰角、俯角的三角函数定义，在两个直角三角形中分别求出相关线段的长度，最后通过线段的和差关系计算出摩天轮最高点到地面的高度． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，延长交于点， ∵，，， ∴四边形、四边形、四边形均为矩形． ，， ，，， ． ， （米）． 由题知，，． 在中，，， （米）． 在中，，， （米）． （米）． 答：摩天轮最高点到地面的高度为66米． 21. 项目背景：如图所示的山西应县木塔平面设计图，展示了一种新型的矩形长宽比，这种比例就是A4纸的设计比，这种矩形被称为白银矩形，这个比叫做白银比．为探寻白银比的应用价值，综合实践小组的同学围绕“矩形中的白银分割”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 探白银比例，研矩形特质 驱动问题 如何识别并证明矩形中的白银分割点 活动内容 利用比的性质、特殊四边形的性质和判定、尺规作图等有关知识进行推理与作图 活动过程 【概念理解】 定义：如果点把线段分成两部分，若，那么称线段被点白银分割，点为线段的白银分割点． 【问题解决】问题1：如图2所示，点为矩形边上一点，，点为边上一点，连接，将沿折叠，点恰好与点重合．直接写出的值是______． 问题2：如图3所示，分别延长图2中的、交于点． 求证：点是线段的白银分割点． 证明：由折叠知，… 反思总结 …… 任务： （1）问题1中的的值是______． （2）补全问题2的证明过程； （3）请在图4中作出线段的白银分割点（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，②作出一个点即可）． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠得，求出，利用平角定义求得，进而，勾股定理求出，由此得解； （2）由折叠得，求出，利用平角定义求得，进而，，勾股定理求出，，即可得到结论； （3）在上截取，连接，作的平分线交于点E 【小问1详解】 解：由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 证明：由折叠知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴点是线段的白银分割点． 【小问3详解】 如图，点E即为所求 22. 综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线．为提升训练的安全性、降低受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组． 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的几组数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线．其顶点为，运动员的起跳点为，落地点为点．以为原点，所在的直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式； 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于时可避免练习时受伤．我们将直线与抛物线的两个交点分别记作、，称、两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离． （2）求的长（结果保留根号）； （3）实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：．为促进运动员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为，良好线为．现要求该运动员的落地点（即时的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出的最大值与最小值． 【答案】（1）顶点的坐标是， （2）该运动员此次立定跳远的有效水平距离的长为米 （3）的最大值为0.6，最小值为0.5 【解析】 【分析】（1）先根据表格数据确定抛物线的顶点坐标，再设抛物线的交点式，代入数据求出函数关系式． （2）将代入抛物线解析式，解一元二次方程得到两点的横坐标，再计算两点间的距离． （3）令，求出落地点的横坐标表达式，再根据落地点在到之间（含端点），列不等式求出的取值范围，进而得到的最大值与最小值． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的函数关系式为， ∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的函数关系式为， 展开得； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：令， ， ， ， 由题意，， ， ∴的最大值为，最小值为． 23. 综合与探究 问题情境：在数学综合实践课上，同学们开展图形旋转探究活动．如图1，是边长为的等边三角形，点是内部一点，且满足．将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，交于点． 猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （2）善思学习小组经深入研究发现点为平面内任意一点，只要满足，点始终是线段的中点，请你借助图2进行证明； 拓展延伸： （3）在点为平面内任意一点的条件下，请直接写出时线段的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质证为等边三角形及，再通过相似证，得，代换即可证得两角相等； （2）过作交延长线于，先证等角对等边得，结合旋转得，再用证，得，即可得证； （3）设（或的延长线）交于点，利用等边三角形三线合一和直角三角形斜边中线求出、，过作构造直角三角形，分在内部和外部两种情况，用勾股定理计算的长度即可． 【小问1详解】 解：， 证明：由旋转知，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴（即）， 又， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交的延长线于点， 由（1）知，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点； 【小问3详解】 解：设（或的延长线）交于点， ∵是边长为的等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， 点在直线上，分两种情况讨论： ①点在内部，如图，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②点在外部，如图，过点作于点， 同①得，， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题以等边三角形旋转为核心，通过旋转构造等边三角形实现边角转化，用相似证角相等、作平行线构造全等证中点，第三问务必注意点在直线上有内外两个位置，极易漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期九年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下面是4所学校2026年体质健康监测优良率的增长率（单位：个百分点）情况，数据呈起伏状态，其中增长率最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 盬（gǔ）皂是以运城盬盐为核心原料古法制作的手工盐皂．如图是一个平放的盬皂，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 为助推山西转型发展，运城外事办准备了一批具有浓郁河东文化特色的外事礼品，用于国际交流．工作人员拿出印有河津擦色描金漆器、解州关公故里铜像、绛州剔犀的3张卡片，这些卡片除正面图案外完全相同，将其背面朝上洗匀后，随机抽取2张，恰好抽到印有关公故里铜像和绛州剔犀卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是某小区车库出口示意图，已知，测得，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，点为上的一个格点，点为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 敏学小组在进行《“数”业有“砖”攻》项目化学习时，设计了一个用“鱼骨铺贴法”为书房铺设地板的方案图．如图1，已知一个“鱼骨”是由两个边长均为的菱形组成，用若干“鱼骨”按如图2所示的方式无缝隙铺设一组地板（暂不考虑填补空隙），则铺设的地板总长度（单位：）与需要的“鱼骨”的个数（单位：个）之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，两个月牙的面积之和等同于的面积．这就是著名的希波克拉底月牙定理，它是人类首次精准求出曲边图形面积的典型代表．慧聪小组利用边长为6的正方形设计出了如图2所示的一个“心”型图案，其中两个“月牙”是由直径分别为、、的三个半圆围成，则的结果是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 如图，是刊载于《敕修河东盐法志》的运城古城全图，其精确呈现了以盐务为核心的“城、门、衙、坊、庙、学”完整布局．点、、分别代表丰翼亭、文庙、贤良坊．已知点的坐标记作，点的坐标记作，则点的坐标记作______． 13. 某物理兴趣小组在做实验时，需要购置电压表和滑动变阻器两种实验器材若干个．已知购买2个电压表和3个滑动变阻器共需44元，购买3个电压表和2个滑动变阻器共需46元．设每个电压表的价格为元，每个滑动变阻器的价格为元，则可列方程组为______． 14. 如图，是的一条弦，过点作的切线，过点作，交于点，垂足为点，连接、．若，则的度数为______． 15. 如图，在中，、，点是上一点，且，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简 （1）； （2）． 17. 在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． （1）求出与之间的函数关系式； （2）实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 18. 为丰富学生课间分钟校园活动，落实健康学校建设理念，某校购置了一批适合课间的小型运动器材．该校“律动”社团在学校随机抽取了名学生，针对学生最喜欢的小型运动器材进行了问卷调查，（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示条形统计图（不完整）和调查统计表． 我最喜爱的课间活动器材调查问卷 亲爱的同学们： 为了解大家对我校购置的课间15分钟小型运动器材的喜爱程度，优化课间活动体验，特开展本次调查，快来参与吧！（以下均为单选） ．你的性别：□男 □女 ．你所在年级： A．初一 B．初二 C．初三 ．你最喜欢的器材是？ ．小型台球 ．桌上冰球 ．投篮机 ．回弹羽毛球 ．你每次使用最喜欢的课间活动器材大概会持续多久？ ．分钟 ．分钟 ．分钟 ．分钟以上 喜爱投篮机学生的每次使用时长调查统计表 时长区间（分钟） 分钟以上 对应人数 请认真阅读以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）根据表中投篮机的使用时长数据，求这组数据的中位数所在的时长区间和平均数的估计值（平均数结果精确到，每组区间取中间数值计算：分钟取分钟，分钟取分钟，分钟取分钟，分钟以上取分钟）． 19. 为落实乡村快递配送，某物流园分别投入型无人配送车与型无人配送车承担快递转运任务．已知型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等，且型无人车每小时比型无人车多运送件．求型无人配送车每小时可运送多少件快递． 20. 2026年1月，运城市盐湖区新建一城市光影地标——“盐湖之眼”摩天轮．博学小组根据某摄影爱好者拍摄的照片（图1所示），绘制出如图2所示的测量方案示意图．已知，，，图中各点都在同一竖直平面内．在点处测得点的仰角，在点处测得点的俯角，米，米，米，图中摩天轮及雕塑主体的宽度均忽略不计．请根据上述数据，计算摩天轮最高点到地面的高度（结果精确到1米．参考数据：，，，，，）． 21. 项目背景：如图所示的山西应县木塔平面设计图，展示了一种新型的矩形长宽比，这种比例就是A4纸的设计比，这种矩形被称为白银矩形，这个比叫做白银比．为探寻白银比的应用价值，综合实践小组的同学围绕“矩形中的白银分割”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 探白银比例，研矩形特质 驱动问题 如何识别并证明矩形中的白银分割点 活动内容 利用比的性质、特殊四边形的性质和判定、尺规作图等有关知识进行推理与作图 活动过程 【概念理解】 定义：如果点把线段分成两部分，若，那么称线段被点白银分割，点为线段的白银分割点． 【问题解决】问题1：如图2所示，点为矩形边上一点，，点为边上一点，连接，将沿折叠，点恰好与点重合．直接写出的值是______． 问题2：如图3所示，分别延长图2中的、交于点． 求证：点是线段的白银分割点． 证明：由折叠知，… 反思总结 …… 任务： （1）问题1中的的值是______． （2）补全问题2的证明过程； （3）请在图4中作出线段的白银分割点（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，②作出一个点即可）． 22. 综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线．为提升训练的安全性、降低受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组． 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的几组数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线．其顶点为，运动员的起跳点为，落地点为点．以为原点，所在的直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式； 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于时可避免练习时受伤．我们将直线与抛物线的两个交点分别记作、，称、两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离． （2）求的长（结果保留根号）； （3）实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：．为促进运动员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为，良好线为．现要求该运动员的落地点（即时的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出的最大值与最小值． 23. 综合与探究 问题情境：在数学综合实践课上，同学们开展图形旋转探究活动．如图1，是边长为的等边三角形，点是内部一点，且满足．将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，交于点． 猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （2）善思学习小组经深入研究发现点为平面内任意一点，只要满足，点始终是线段的中点，请你借助图2进行证明； 拓展延伸： （3）在点为平面内任意一点的条件下，请直接写出时线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $