精品解析：辽宁瓦房店市第三初级中学2025-2026学年度第二学期阶段性检测 八年级 数学

2025-2026学年度第二学期阶段性检测八年级数学 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 5，6，10 D. 12，13，14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条边的长能否构成直角三角形，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； B、，故可以构成直角三角形，符合题意； C、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； D、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 3. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，解答的关键是对二次根式的化简的法则的掌握．根据二次根式的化简的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 得． 故选：D． 4. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，过点A作轴于点B，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点B， ∵点A的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 故选：C． 5. 如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 6. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可． 【详解】解：2与π为常量，C与r为变量， 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键． 7. 下列命题成立的是（ ） A. 一个角是90°的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 一组邻边相等的矩形是正方形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形及正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键． 根据矩形及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解：A、有一个角是的平行四边形是矩形，故原说法错误； B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法错误； C、一组邻边相等的矩形是正方形，故原说法正确； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原说法错误； 故选：C． 8. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，且，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，由等边三角形的性质得，，由四边形是平行四边形，则，，从而得，证明四边形是矩形，然后通过勾股定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故选：． 9. 矩形的面积为4．两邻边长分别为x，y，则y与x关系的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据矩形的面积求出y与x的函数关系式，根据关系式得到图像即可． 【详解】解：由题意可得：，且， ，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选C． 10. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④． 【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故①正确； 过B作，交的延长线于F，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即点B到直线的距离为1， 故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上可知，①③④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数大于0，列出不等式即可求解． 【详解】解：要使代数式有意义，必须满足，解得， ∴实数的取值范围是． 12. 如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合已知条件即可求解． 【详解】解：公路、互相垂直， 是直角三角形． 是的中点，， ． 即M，C两点间的距离为14． 13. 以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即，解得：， ∴的长度为尺． 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长． 【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分， ∴AC⊥BD，在Rt△AOE中， ∵OE=3，OA=4， ∴根据勾股定理得， ∵AE=BE， ∴， 在Rt△AOB中， 即菱形的边长为， ∵点F为的中点，点O为DB中点， ∴ ． 故答案为 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，点E在上，，，，垂足为F，延长交于点G，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形的性质得到，证明得到，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理推出，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：米，米，米， ， ， ， （米）， （米）． 18. 如图，在中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 19. 在菱形ABCD中，过点B作于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，求出，利用有一个角是的平行四边形是矩形即可得证； （2）利用勾股定理求出，再根据菱形的性质和勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：在中： ， 设的长为，则， 由勾股定理得： 即：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，以及利用勾股定理求边长．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20. 【观察规律】 观察下列式子：，， ， 【类比分析】 （1）按照上述式子的书写格式，再接着写出两个同类型的式子； 【推理证明】 （2）用含n（，且n是正整数）的式子表示上述规律，并给出证明； 【创新应用】 （3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1） ， （2） （，为正整数），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）按照给定格式，可得符合规律的两个式子； （2）先根据已知式子的特征总结出通用规律，再利用二次根式的化简性质证明规律； （3）由总结的规律可知，，，即可求得答案． 【小问1详解】 解：按照给定格式，可得符合规律的两个式子： ， ； 【小问2详解】 解：规律为：（，为正整数）， 证明： ∵左边，右边， ∴左边右边，等式成立； 【小问3详解】 解：由（2）可知，（，为正整数）， ∵（a，b为正整数）， ∴，， ∴， ． 21. 探究解题 （1）【问题提出】如图1，点P是等边三角形内一点，已知，，，求的度数． 【思路分析】要直接求的度数显然很困难，注意到条件中三条边的长度恰好是一组勾股数，因此考虑借助辅助线构造全等把这三边集中到一个三角形内． 【分步解题】如图2，作，使，连接，，则是等边三角形． _______，． ∵是等边三角形， ，， _______=_______， ， ，_______， 在中，∵，，， ． 是直角三角形． _______． ． （2）如图，是等边三角形，，，，求的长． 【答案】（1）；；；； （2）4 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，证明是直角三角形，得出，即可得出结果． （2）作，取，连接、，证明为等边三角形，得出，，求出，证明，得出，根据勾股定理求出． 【小问1详解】 解：作，使，连接，，则是等边三角形， ，， ∵是等边三角形， ，， ， ， ，， 在中，∵，，， ． 是直角三角形． ． ． 【小问2详解】 解：作，取，连接、，如图所示： 则为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 根据勾股定理得：． 22. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，过O作，交边于点E． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，过E作于F，若，，求的值； （3）过A作于G，交边于点H． ①如图3，当点H在点E左侧时，猜想与的数量关系，并证明； ②如图4，当点H在点E右侧时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用矩形性质，得，结合，证是垂直平分线，推出，，进而．再由矩形对角线相等且互相平分，得，推出．通过角的等量代换，证得． （2）先根据矩形性质及勾股定理求出对角线长度，进而得的值．利用矩形面积公式求出面积，再由是中点，得面积，根据面积等于与面积和，结合，列出关于的等式，求解得出其值． (3)①取中点或利用构造中位线，结合平行关系证明平行四边形，通过边的等量代换得出．构造全等三角形，证明与其他三角形全等，再结合中位线或其他线段关系，得到与的数量关系．通过中位线得到线段平行，利用角的等量关系证明全等或相似，进而推出．②取中点，连接、，类比第一小问思路，得到、．由，将代入；再根据，把与的关系代入等式，经过等式变形和化简，最终得出． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ． 又， 是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ； 【小问2详解】 四边形是矩形， ， ，， 在中， 根据勾股定理，得 ， ， ， ， 为中点， ． ， ， ， ； 【小问3详解】 ①猜想：． 证明：方法一：如图1，取中点，连接，， 为中点，为中点， 为的中位线， ． ， ， ． 于， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形， ， ， ； 方法二：如图2，延长交于，延长，交于点． 四边形是矩形， ，． ． 又， ， ， ． ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． ， ，， ， ， ，即， ； 方法三：如图3，取的中点，连接． 四边形是矩形， ， 为中点， 是的中位线， ， ． 四边形是矩形， ，，， ， ， ． ，于， ． ，，， ， ， ． 又， ． ， ， ； 方法四：如图4，延长交于点，过作于， 四边形是矩形， ，． ， 又， ，即． 于， ， 又四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ． 四边形为矩形， ，，， ， ， 于， ， ， ， ，， ， ， ， ； 方法五：如图5，在上取点，使，连接， 四边形是矩形． ， 又， 是中位线． ，． ， 四边形是矩形， ，，， ， ． ， ， 于， ， ， ， ． 四边形是矩形， ，． ， ，； 方法六：如图6，延长至，使，连接， 四边形是矩形， ，， 是的中位线， ，． 四边形是矩形， ，，， ， ． 于，， ． ，， ． ， ， ， ， ． 方法七：如图7，连接并延长至点，使，过作于． 四边形是矩形， ， 是的中位线， ，． 四边形是矩形， ， ， ， ． 又， ， ． 四边形是矩形． ，，， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ； ②． 解析：如图8，取中点，连接，， 同理可得，． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理、平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 如图，四边形和四边形均为正方形． （1）如图，当点在上时，连接，求证：； （2）如图，当点在上时，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图，当点在下方时，连接，．（）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3）结论成立，证明见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得：，，，，可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 在上取点，使，连，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据勾股定理可证； 过点做，截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可证，，根据边和角之间的关系可证：四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据勾股定理可证． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中，， ， ； 【小问2详解】 证明：如下图所示，在上取点，使，连， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ，， ， 在和中，， ， ， 在中，， ， 【小问3详解】 解：中结论仍成立， 理由如下： 如下图所示，过点做，截取，连接，， 设交于点，交于点， ， ， ， 四边形是正方形， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边和角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期阶段性检测八年级数学 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 5，6，10 D. 12，13，14 2. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 5. 如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 7. 下列命题成立的是（ ） A. 一个角是90°的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 一组邻边相等的矩形是正方形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是正方形 8. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，且，则的周长是（ ） A. B. C. D. 9. 矩形的面积为4．两邻边长分别为x，y，则y与x关系的图像大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 12. 如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为______． 13. 以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 15. 如图，在正方形中，点E在上，，，，垂足为F，延长交于点G，则__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 18. 如图，在中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．求证：． 19. 在菱形ABCD中，过点B作于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长． 20. 【观察规律】 观察下列式子：，， ， 【类比分析】 （1）按照上述式子的书写格式，再接着写出两个同类型的式子； 【推理证明】 （2）用含n（，且n是正整数）的式子表示上述规律，并给出证明； 【创新应用】 （3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 21. 探究解题 （1）【问题提出】如图1，点P是等边三角形内一点，已知，，，求的度数． 【思路分析】要直接求的度数显然很困难，注意到条件中三条边的长度恰好是一组勾股数，因此考虑借助辅助线构造全等把这三边集中到一个三角形内． 【分步解题】如图2，作，使，连接，，则是等边三角形． _______，． ∵是等边三角形， ，， _______=_______， ， ，_______， 在中，∵，，， ． 是直角三角形． _______． ． （2）如图，是等边三角形，，，，求的长． 22. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，过O作，交边于点E． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，过E作于F，若，，求的值； （3）过A作于G，交边于点H． ①如图3，当点H在点E左侧时，猜想与的数量关系，并证明； ②如图4，当点H在点E右侧时，直接写出，，之间的数量关系． 23. 如图，四边形和四边形均为正方形． （1）如图，当点在上时，连接，求证：； （2）如图，当点在上时，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图，当点在下方时，连接，．（）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $