精品解析：辽宁省沈阳市第一三四中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年辽宁省沈阳市第134中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 2. 设，则下列不等关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、若，则，故选项不符合题意； B、若，则，故选项不符合题意； C、若，则，故选项不符合题意； D、若，则，故选项符合题意． 3. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵x+1≥2 ∴x≥1 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． 4. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的尺规作图、过直线外一点作垂线的尺规作图、得出平分且，再结合角平分线的性质以及三角形的全等相关性质逐一判断即可． 【详解】解：根据作图可知：平分且， ∵， ∴，故A正确； ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确； ∵，但不一定平分， 不一定成立，故C错误，满足题意． 6. 如图，在中，点E是其对角线上的一点，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，，，根据，，得出，，结合，求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，，，进而推出，求出的长，利用梯形面积公式计算即可． 【详解】解：根据平移的性质可得， 则有， ∵， ∴， ∵将直角三角形沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 8. 如图，在中，，，，平分，过点A作的垂线，交的延长线于E，交的延长线于F，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得，再利用角平分线和垂线的性质证明与全等，得到，进而求得，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，，  ，  平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 在中，． 9. 若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先解不等式组得到其解集，再根据整数解的个数确定具体整数解，进而推导m的取值范围即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有3个， ∴整数解为1、0、， ∴； 故选C 10. 如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】添加辅助线，作，，，根据角平分线的性质以及三角形外角的性质求解的度数，再结合角平分线的性质可得，可得平分，由此求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，交的延长线于点F，作于点E，如图， ∵外角的平分线与内角的平分线交于点P， ∴，， ∵在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， ∵， ∴． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】设多边形边数为n， 根据题意有， 解得 ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键． 12. 如图，函数为常数，与均为常数且都不为的图象相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图可得过原点的直线是函数的图象，不等式表示直线在上方时的取值范围，通过交点可得当时满足条件；本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的图象和性质，熟练运用数形结合的思想，掌握两个图象的交点是两个函数值大小关系的分界点是解题的关键． 【详解】解：由图得直线是函数的图象， 解不等式即求直线在上方时的取值范围， 又∵两直线相交于点， ∴当时满足条件， 故不等式的解集为． 故答案为：． 13. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】分类讨论另一边可能的情况，再利用三角形的三边关系检验能否构成三角形，最后算出周长即可． 【详解】若等腰三角形的另一边长为3，此时三边分别为3，3，6，因为，不能构成三角形； 若等腰三角形的另一边长为6，此时三边分别为3，6，6，因为，能构成三角形，三角形周长为：； 故答案为：15． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题关键是牢记三角形任意两边之和大于第三边． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点E恰好落在边上，若，则旋转角为___________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 根据旋转的性质得到、，进而得到，最后利用三角形内角和定理求出旋转角的度数即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 、， ， ， 旋转角为． 15. 如图，在中，，，E，F分别是边，上的点，且，连接，分别取，的中点M，N，连接，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长至点D，使得，连接，，证明与全等，可得，，再得到为等边三角形，再由边的关系得到为的中位线，由此可求解． 【详解】解：连接并延长至点D，使得，连接，，如图， ∵点N为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴点N为中点， ∵点M为的中点， ∴为的中位线， ∴ ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式，再确定不等式组解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 17. 如图，中，． （1）用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）在（1）条件下，连接，当，时，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴． 18. 如图，的各顶点坐标分别为． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点O为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点O为旋转中心，画出将和分别按顺时针方向旋转90°后的和； （2）y轴上有C，D两点，点C在点D下方，且，则四边形周长最小值为 ． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形、旋转图形、平面直角坐标系等知识点，掌握基本的作图方法是解题的关键． （1）分别作出点A、B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到其对应点、，再与点O首尾顺次连接即可得；同样方法可以得到的对应图象； （2）根据题意、长度固定，四边形周长最小值，就是求的最小值，作点A关于y轴的对称点，有，作轴，且，连接交y轴于点，两点之间线段最短，的长度就是的最小值，运用勾股定理，即可求出周长最小值． 【小问1详解】 解：步骤一，关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数，的对称点，的对称点，的对称点还是点，坐标系中描点连线，得到，如下图 步骤二，过旋转中心点O，顺时针方向作垂线，且，点就是点绕旋转中心点O，顺时针旋转得到的对应点， 同理，作出其他对应点连接，最终结果如下图所示 【小问2详解】 解：作点A关于y轴的对称点，作轴，且，连接交y轴于点，连接，，如下图，当三点共线时，此时四边形的周长最小； ， 四边形是平行四边形， ， ，关于y轴对称， ， 四边形的周长最小值， ，， 四边形的周长最小值． 19. 已知：如图，，，是的角平分线．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、含角的直角三角形，熟记角平分线的性质、在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，在中，，可得，从而结论即可得证． 【详解】证明：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 20. 2025 年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进A，B两种类型的冰箱贴共60套进行销售，若购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，若购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元． （1）求 A，B两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元． （2）若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过2600元，且A 型冰箱贴的售价定为50元/套，B型冰箱贴的售价定为65元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】（1）A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元． （2）购进A型冰箱贴20套，B型冰箱贴40套时可获得最大利润，最大利润为1000元． 【解析】 【分析】（1）根据“购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元”列方程组求解； （2）设A型冰箱贴购进a套（a为整数），根据“总费用不超过2600元”列不等式求出a的取值范围，设销售利润为w元，求出，然后根据一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设A型冰箱贴购进单价为x元，B型冰箱贴购进单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元； 【小问2详解】 解：设A型冰箱贴购进a套（a为整数），则B型冰箱贴购进套， 根据题意，得， 解得， 又， ∴， ∴， 设销售利润为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， 又， ∴当时，w有最大值，最大值为，此时， ∴购进A型冰箱贴20套，B型冰箱贴40套时可获得最大利润，最大利润为1000元． 21. 如图，中， 对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，且，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理并结合平行四边形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵中， 对角线，相交于点O， ∴，， ∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，，且， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 22. 将两块大小不同的等腰和等腰，按图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转连接、，延长交于点，连接．进行如下探究： 【初步探究】 （1）如图2，当时，则_____； （2）如图3，当点、重合时，请直接写出、、之间的数量关系：__________； 【深入探究】 （3）如图4，当点E、F不重合时，（2）中的结论_____；（填“成立”或“不成立”） 【拓展延伸】 （4）如图4，若，，则_____． 【答案】（1）；（2）；（3）成立；（4） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）先利用勾股定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，再在上取一点，使得，连接，证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，利用勾股定理可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得； （4）设交于点，先求出，再根据（3）的结论求出的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵点、重合，是等腰直角三角形，， ∴，，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （3）∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴当点、不重合时，（2）中的结论成立， 故答案为：成立． （4）如图，设交于点， 由（3）已证：， 由对顶角相等得：， ∴， 由（3）已证：， ∵，， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、二次根式的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，过点的直线交轴正半轴于点，且面积为5． （1）求直线的解析式； （2）如图1，设点为线段中点，在轴上点的上方取一点，以为边向右侧作等腰，其中，当点落在直线上时，求点的坐标； （3）如图2，若为线段上一点，直线交轴于点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点D，且点的坐标为或 或 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再求出点，结合点坐标即可求出直线表达式； （2）先求点坐标，添加辅助线，即过作轴，分别过作，，结合图象，设出点坐标，利用三角形全等证明，即可得到对应线段相等，然后求出答案即可； （3）设出点的坐标，表示出直线的表达式，利用，求出直线表达式，利用表达式设点，的坐标，分类讨论平行四边形的不同情况，然后利用中点公式即可求出点坐标． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则；令，则； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，点代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点为线段中点，，， ∴， 如图1所示，设， 过作轴，分别过作，，如图， 则， 设点的坐标为，则， ∴，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴； 【小问3详解】 解：在轴上是存在点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 设， 设直线的表达式为， 将点，点代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴，即， 整理可得， 解得：（舍）或， 当时，直线的解析式为， 设当点，点时，得以点为顶点的四边形为平行四边形， ①如图2，当为对角线时，如图， ∵点，点， ∴线段的中点为，即， 点，点， ∴线段的中点为， ∵平行四边形的对角线交于一点， ∴，解得：， ∴点的坐标为； ②如图3，当为平行四边形的一边且点在点C的右边时，如图， 同理可得线段的中点为， 线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 如图4，当为平行四边形的一边且点在点C的左边时，如图， 可得线段的中点为， 线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述，在x轴上存在点D，使得以点为顶点的四边形为平行四边形，且点的坐标为或 或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年辽宁省沈阳市第134中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则下列不等关系正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点E是其对角线上的一点，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，平分，过点A作的垂线，交的延长线于E，交的延长线于F，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 12. 如图，函数为常数，与均为常数且都不为的图象相交于点，则关于的不等式的解集为______． 13. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为______． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点E恰好落在边上，若，则旋转角为___________． 15. 如图，在中，，，E，F分别是边，上的点，且，连接，分别取，的中点M，N，连接，则的长为_______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解不等式组：． 17. 如图，中，． （1）用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）在（1）条件下，连接，当，时，求的长． 18. 如图，的各顶点坐标分别为． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点O为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点O为旋转中心，画出将和分别按顺时针方向旋转90°后的和； （2）y轴上有C，D两点，点C在点D下方，且，则四边形周长最小值为 ． 19. 已知：如图，，，是的角平分线．求证：． 20. 2025 年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进A，B两种类型的冰箱贴共60套进行销售，若购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，若购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元． （1）求 A，B两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元． （2）若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过2600元，且A 型冰箱贴的售价定为50元/套，B型冰箱贴的售价定为65元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 21. 如图，中， 对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，且，求线段的长． 22. 将两块大小不同的等腰和等腰，按图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转连接、，延长交于点，连接．进行如下探究： 【初步探究】 （1）如图2，当时，则_____； （2）如图3，当点、重合时，请直接写出、、之间的数量关系：__________； 【深入探究】 （3）如图4，当点E、F不重合时，（2）中的结论_____；（填“成立”或“不成立”） 【拓展延伸】 （4）如图4，若，，则_____． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，过点的直线交轴正半轴于点，且面积为5． （1）求直线的解析式； （2）如图1，设点为线段中点，在轴上点的上方取一点，以为边向右侧作等腰，其中，当点落在直线上时，求点的坐标； （3）如图2，若为线段上一点，直线交轴于点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $