上海师范大学附属宝山罗店中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 以函数与几何综合题为载体，通过分层设问考查运算能力与推理意识，融入科技情境体现数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/75|函数单调性证明、立体几何体积计算|结合卫星轨道模型考查模型意识，体现真题对实际应用的命题趋势|

2026年罗店高一下期中考试数学试卷 一、填空题（每题3分） 1.函数y=sin(x+p)，pe[O,是偶函数，则实数p=一 2.在复数范围内分解因式x2-6x+10= 3.已知a为第三象限角，sna=-普，则tan(r-)= 4.己知a=(3,4),b=(10,0)，则五在a上的数量投影为 5.若a,B为锐角，且sina=号，cosB=号，则cos(a+f)= 6.设向量立、方满足=1，=2，凤，=红，则2a+= 7.己知A、B、C三点共线（该直线不过原点0），且0A=m0B+2n0C(m> 0,n>0),则二+的最小值为 8.已知m是实数，若复数2=网的实部和虚部互为相反数，则= 9.已知关于x的实系数一元二次方程x2+(1-k)x+k2-1=0有两个虚根x1、 x2,且x+x2=2，则满足条件的实数k的值为 10.若i是虚数单位，复数z满足z=2，则1z+4-3别的取值范围是 11.定义在区间[-2π，2π]上的函数y=sinx与y=cos2x的图象的交点个数为 12.“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动 联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒 久不息的魅力。顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF。若正六边形的 边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则A下.AC的取值范围为 D 二、选择题（每题3分） 13.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为) A.I B.2 C.1或2 D.-1 14.向量a=(-3,4),则下列能使a=1e+e(几，u∈R)成立的一组向量e,e 是() A.E=(0,0),e=(2,1) B.g=(1,1),e=(2,2) C.e=(-1,2),e=(3,-1) D.e1=(-2,4),e=(1,-2) 15.我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是山两个半径不同的同心圆，按照一定的 圆心角裁剪而成.如图所示，该扇面的圆心角为智，弧AB长为gcm,弧CD长 为10mcm,则扇而ABDC的而积为）cm2. 15题图 A B.350 C. D.350m 9 16.在△ABC中，Q、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若SAABC= a2+b2-c2 (其中SMABC表示△ABC的面积，且（扁+ AB AC ·BC=0,则△ABC的形状是 () A.有一个角为30°的等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 三、解答题 17.(8分)已知0为坐标原点，0A=(2,3),0B=(4,2),0C=(x,3), (1)若A、B、C三点共线，求x的值： (2)若AB与OC夹角为钝角，求x的取值范围。 18.(8分)关于x的方程x2+mx+13=0(m∈R)的两个根为x1和x2 (1)若x1=一3+2i,求实数m的值： (2)若x1-x2=3,求实数m的值. 19.(10分)己知a,b∈R,i是虚数单位，21=a-1,z2=2+bi在复平面上对应的 点分别为A,B. (1)若z2+z22是实数，求A的最小值： (2)设0为坐标原点，记0C=0A+0B,若0A10B,且点C在y轴上，求 (OA,AB). 20.(12分)已知函数f()=sin(x+君). (1)求函数f(x)的振幅、频率、初始相位，以及在x∈[0,2π]上的增区间： (2)将函数f()的图像向左平移个单位，得到函数9()的图像，函数h()= f)+g.当xe(（作，），且名≠时，有hx,)=hc),求n+x) 的值 21.(14分)设复平面中向量0P对应的复数为z印，给定某个非零实数z,称向量 z(OP=(Re(z·zp),Im(z·zp)为Op的z向量. (1)已知0A=(xo,yo)，求z(0A): (2)设的z向量分别为0V,0正，0示，已知SAOVE=1,SAOVF=2,求元的坐标结 果用z表示)： (3)对于满足SA0An=1的所有A,B,z(OA·0所+z(O园·0丽能取到的最小值为 8,求实数z的值。2026年罗店高一下期中考试数学试卷 一、填空题（每题3分） 1.函数y=sin(x+p)，p∈[0，π是偶函数，则实数p= 【解折】月 2.在复数范围内分解因式x2-6x+10= 【解析】(x-3+ix-3-i) 3.已知a为第三象限角，sina=-S,则tan(r-四)= 5 【解折】-方 4.己知a=(3,4),b=(10,0),则b在d上的数量投影为 【解析】6 5.若&B为锐角，且sina=多，cosB=号，则cos(a+B)= 【解行1号 6.设向量五、方满足回=1，=2，@，=受，则2a+= 【解析】2 7.己知A、B、C三点共线（该直线不过原点0），且0A=m0B+2n0C(m> 0,n>0),则2+号的最小值为 m n 【解析】8 8.已知m是实数，若复数z=m的实部和虚部互为相反数，则2= 1+2i 【解析】2√2 9.已知关于x的实系数一元二次方程x2+(1-k)x+k2-1=0有两个虚根x1、 x2,且x+x2=2,则满足条件的实数k的值为 【解析】√2 10.若i是虚数单位，复数z满足1z=2，则z+4-3的取值范围是 【解析】3，] 11.定义在区间[-2π，2π]上的函数y=sinx与y=cos2x的图象的交点个数为 【解析】6（画图即可） 2 0 12.“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动 联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒 久不息的魅力。顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF。若正六边形的 边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则AP·AC的取值范围为 【解析】[0,3] 二、选择题（每题3分） 13.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为) A.I B.2 c.1或2 D.-1 【解析】B 14.向量a=(-3,4),则下列能使d=e+e2(2,u∈R)成立的一组向量e,e 是() A.e=(0,0),e=(2,1) B.e=(1,1),e=(2,2) C.e=（-1,2),e2=(3,-1) D.e1=（-2,4),e2=(1,-2) 【解析】C(向量的基底要求不平行即可) 15.我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是山两个半径不同的同心圆，按照一定的 圆心角裁剪而成.如图所示，该扇面的圆心角为号，弧AB长为gcm,弧CD长 为10mcm,则扇面ABDC的面积为 ）cm2. 15题图 A. 3 B.350n 3 C.125m3 D.350m2 9 9 【解析】A 16.在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若S△Bc= a2+b2-c2 (其中SaMc表示△ABC的面脚，且（隔+） BC=0,则△ABC的形状是 () A.有一个角为30°的等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】D 由余弦定理，得SAARG=-=。 4 abcosC. SAABC=absinC,sinC=cosC.:C∈(0，)，C=. 3 如图所示取而隔，C正=焉则AD=AE.以AD和AE 为邻边可作出菱形ADFE,连接DE· 由向量加法的平行四边形法则，得AF=AD+AE,且AF⊥DE. 又（隔+） BC=0,即(AD+AE·BC=AF.BC=O,AF⊥BC.BC/DE. AD=AE,AB=AC.∠C=牙， :LA=子÷△ABC为等腰直角三角形，故选D. 三、解答题 17.(8分)已知0为坐标原点，0A=(2,3),0B=(4,2),0C=(x,3)· (1)若A、B、C三点共线，求x的值； (2)若A丽与OC夹角为钝角，求x的取值范围。 【解析】 (1)AB=(2,-1)nBC=0C-0B=(x-4,1) :A、B、C三点共线，·AB与BC共线， 即2×1+(x-4=0,解得x=2. (2)AB=(2,-1) ~AB与0C夹角为钝角，AB·0C=2x-3<0 :AB与0C夹角不平行，∴-x≠6 “x的取值范围是(-∞，-6)U(-6,引) 4 18.(8分)关于x的方程x2+mx+13=0(m∈R)的两个根为x1和x2 (1)若x1=-3+2i,求实数m的值： (2)若x1-x2=3,求实数m的值. 【解析】 (1)由题意知，方程有一对共轭复数根，所以x2=一3-2i, 所以x1+x2=-3+2i+(-3-2)=-6=-m,所以m=6. (2)①当△=m2-4×1×13≥0，即m2≥52时，方程有两个实数根， 所以x1+x2=-m,x1x2=13, 则lx-x2l=x1+x2)2-4xx2=√-m2-4×13=3, 解得m=±√61： ②当△=m2-4×1×13<0, 即m2<52时，方程有两个虚数根， 即x=-mtv52-m 不妨设七1=-mW52-m X2=-m-52-m 2 则x1-x2l= m*52--m-52-m到=V52-m=3, 2 解得m=±V43 综上，实数m的值为±√61或±√43 5 19.(10分)己知a,b∈R,i是虚数单位，z1=a-i,z2=2+bi在复平面上对应的 点分别为A,B. (1)若2+z22是实数，求AB的最小值： (2)设0为坐标原点，记0C=0A+0B,若0A10B,且点C在y轴上，求 (OA,AB). 【解析】 (1)因为z1=a-i,22=2+bi,所以z=a2-1-2ai,z3=4-b2+4bi， 则z+z3=(a2-b2+3)+(4b-2a)i。由于z+z是实数， 所以4b-2a=0,即a=2b。又A(a,-1),B(2,b), 所以1AB1=√(2-a2+(b+102=V(2-2b2+(b+12=V5b2-6b+5。 当b=时，AB取得最小值5。 (2)因为0A=(a,-1),0B=(2,b),且0A10B,所以2a-b=0,即b=2a。 又点C在y轴上，0C=(a+2,b-1),所以a+2=0,解得a=-2,b=-4。 则0A=(-2,-1),AB=(4,-3),0A·AB=-5 ,网：5，网=5所以cas0两-9即风两=rco(） 6 20.(12分)已知函数f(x)=sin(x+写. (1)求函数f(x)的振幅、频率、初始相位，以及在x∈[O,2π)]上的增区间： (2)将函数f(x)的图像向左平移子个单位，得到函数9(x)的图像，函数()= f)+g().当x,x2∈(）)，且x≠x2时，有h(x)=h(x),求h(x+x2) 的值. 【解析】 (1)在函数f=sin(x+君)中，A=1,w=1,9=君，则频率f=云。 令2km-≤x+8≤2km+,keZ, 解得2km-号≤x≤2km+5,k∈Z。 当k=0时，增区问为【-子引，与[o,2m的交集为o,到： 当k=1时，增区间为2-至，2m+到=经，到与[o,2加的交集为昏，2元。 所以，函数fx)的振幅为1，频率为云初始相位为君在xE[o,2m上的增区间为 o,到和号，2m。 (2)将函数fx)=sin(x+)的图象向左平移写个单位，得到gx)=sin(x++ 习=sin(x+习=cosx的图象。 已知h)=f+g),则h)=sin(+)+cosx。 所以hl=9sinx+号cosx+cosx=号sinx+号cosx=V5sn(x+)。 已知x,名为∈(（低，），且x1≠名2时，hx)=h(x), 即V3sin(x+)=V3sinx2+,所以sin(x+）=sin(x+)。 所以x1+骨+x2+督=2×要=3π，即x1+x2=3π-蛋=行。 将x+x=召代入h=V3 sin(+导，可得h(x,+x)=V3sin(+)= V3sin警=V5x号=号。所，以hx+)的值为号。 21.(14分)设复平面中向量0P对应的复数为zp,给定某个非零实数z称向量 z(OP=(Re(z·zp),Im(z·zp)为OP的z向量.。 (1)已知0A=(xo,y0)，求z(0A: (2)设的z向量分别为0V,0正，OF,已知SAov=1,SAOVF=2,求立的坐标结 果用z表示： (3)对于满足SA0AB=1的所有A,B,z(O:0A+z(O丽)0丽能取到的最小值为 8,求实数z的值。 【解析】 解：(1)：0A=(xo,yo),则2A=xo+yod .Z.ZA=z(xo+yoi)zxo+zyoi, 向量z(OA=(Re(z·z),1m(z·z)为的0A的z向量， 故z(0A)=(zxo,2yo)· (2)由1)可得：z(=(zx,zy),z(①=(z,0,z)=(0,z）,即0V=(zx,zy), 0E=(z,0),0F=(0,z2), 故SAOVE=×Izl×|l2y=1,SAOVF=号×Izl×zx=2, x>0,y>0,z*0,则x=京y=房a=(后). (3)Z=2(过程略) 8