上海市宝山中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 聚焦函数与几何核心内容，通过分层问题设计考查数学抽象、运算推理及模型应用能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|函数单调性、集合运算|结合环保数据情境考查抽象能力| |填空题|4/20|立体几何体积、数列递推|设置开放结论题发展创新意识| |解答题|6/82|函数应用、空间位置关系|以航天器轨道为背景设计综合题，融合运算推理与模型意识|

2026年宝中高一下期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，共42分） 1、扇形OAB的半径为1，圆心角所对的AB长为3，则该扇形的面积是 【解行号 2.已知tana=3,则2sna+cosa 的值为一 sina-cosa 【解新1号 3.函数y=V2sin(30mx-) 的频率为 【解析】15 4.己知点A(2,3),B(6,-3),若点P满足AP=3PB,则点P的坐标为 【解析】 5.设a、万为夹角为的单位向量，求位-2= 【解析】√5 6.己知a=(5,3),b=(-1,2),则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为 【解析】 7.关于x的不等式：tanx<1的解集为 【解析】{-牙<x<k红+至keZ 8.己知0<a<<B<π，知cosB=-sin(a+B)=号，则sina的值为一 【解析】} 9.函数y=si(2x+p)的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数， 若p∈(0，π)，则p的值为 新1名 10.在△ABC中，M为边BC上不同于B、C的任意一点，点N为线段AM的 三等分点（靠近点A),若AN=xAB+yAC,则x2+y2的最小值为 【解粉志 11.设a>0,函数f(x)=x2+2(x-1)sin(ax),x∈(0,1)，若函数y=x2+x-1与 y=f(x)的图像有且仅有三个不同的公共点，则a的取值范围是■ 【解析】 13π17π 66 12.如图，在△ABC中，A丽+AD=AE-AD,BC=2BD，lAD=2, 则AC.AD= 【解析】4√2 由A正+AD=AE-A而，可知AB+AD=AE-AD, AB.AD=0,则AB1AD, AC.AD=(AB+BC⊙·AD=AB.AD+BC.AD=BC·AD =V2BD.AD=V2AD=4V2. 二.选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13.三角形ABC中，"A=B”是“sinA=sinB”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 2 【解析】A 14.下列说法正确的是() A.若l>11,则a>5 B.(a·b)·c=a·(b.c) C.若a/5,1/c,则a/ D.若a=b,b=c,则a=c 【解析】D 15.下列条件判断三角形解的情况，正确的是( ) A.a=8,b=16,A=30°，有两解 B.b=18,c=20,B=60°，有一解 C.a=15,b=2,A=90°，无解 D.a=40,b=30,A=120°，有一解 【解析】D 16.如果对一切正实数x、y不等式名-2cos2x之a(sinx-2)-号恒成立，则实数 a的取值范围是() A.[-1,+∞) B.[8-6V2,8+6Vc.(-∞，8+6W2D.[8-6V2,+o) 【解析】因为对一切正实数x,y,不等式兰-2cos2x≥a(sinx-2)-号恒成立， 即+号≥-2sim2x+(sinx-2)a+2恒成立，令f0)=学+号， 则-2sin2x+(sinx-2)a+2≤fy)min, 因为y>0f01=+≥2层=3 当且仅当兰=号，即y=6时，取“=”，所以fymn=3; 所以-2sin2x+(sinx-2)a+2≤3， 即(2-sinx)a≥-1-2sin2x恒成立. 因为x>0,sinx∈[-1,1]，所以2-sinx∈[2,3]， 所以a≥-2-2sn恒成立， 2-sinx 令t=2-sinx,则t∈[1,3]，所以sinx=2-t, 所以a≥1-22-9-2心@-（倪+2刘）+8恒成立. 令g=-?-2t+8,te1,3],则a≥gelm.因为te[1,3), 所以+2≥222=62，当且仅当？=2t,即t=9e1,时，等号成立 则gt)≤-6V2+8,所以g(t)max=8-6W2所以a≥8-6V2, 所以实数a的取值范围为[8-6V2,+∞). 三.简答题（本大题共5题，共8+8+8+10+12=46分） 17.已知0为坐标原点，向量0A=(-2,m),0B=(n,1),0C=(5,-1),若 A、B、C三点共线，且m=2n,求实数m、n的值. 【解析】 己知OA=(-2,m),OB=(m,1),0C=(5,-1)。 可得AB=(n+2,1-m),BC=(5-n,-2)。 因为A,B,C三点共线，所以AB与BC共线， 则有(n+2)×(-2)-(5-n)×(1-m)=0。 己知m=2n,将其代入(n+2)×(-2)-(5-)×(1-m)=0中， 得到：(n+2)×(-2)-(5-n)×(1-2n)=0 整理得：-2n2+9n-9=0,则(2m-3)(n-3)=0,则2n-3=0或n-3=0。 解得n=或n=3。 当n=号时，m=2n=2×号=3： 当n=3时，m=2n=2×3=6。 m=3 综上， n=或 Sm=6 2 (n=3 18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若acosB+bcosA= 2ccosA. (1)求A的大小：(2)若a=7,b+c=13,求△ABC的面积. 【解析】 (1)因为acosB+bcosA=2 ccosA, 由正弦定现可得sinAcosB+sinBcosA=2 sinCcosA, sin(A+B)=2sinCcosA, 在△ABC中，sin(A+B)=sinC>0,所以cosA-号， 因为AE(O,m,所以A=于； (2)出(1)知，c0sA=三，因为a=7,b+C=13, 由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccosA=(b+c2-3bc 即49=132-3bc,得bc=40, 所以△ABC的面积S=besinA=×40×号=0Ng, 19.已知函数f(x)=2V3 sinxcosx-2sin2x, (1)若角a的终边与单位圆交于点P(,)，求f()的值； (2)当x∈【，到时，求f)的单调递增区间和值域。 【解析】 ():角a的终边与单位圆交于点P(怎)，一 3 5 4 5 3 sina cOSa= ③+ ③+ f@=25 B.tnwcoa-2sma:2g×g×号-2x(图 24W3-32 25 (2)f(x)=2v3sinxcosx-2sin2x=V3sin2x-(1-cos2x) =V3stn2x+cos2x-1=2sin(2x+君）-1 当-君≤x≤号时，-君≤2x+培s 当-君≤2x+号≤号即-≤x≤君 当2x+号=-号即x=-名时，f树有最小值为-2： 当2x+管=号即x=时，f有最大值为1 20.如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D 为顶端，AC长35米，BC长80米.设A、B在同一水平面上，从A、B看D 的仰角分别为a、B· (1)设计中CD是铅垂方向，若要求《=2B，求CD的长（结果精确到0.01米）： (2)施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现实际测得a=39.82°，B=19.48°，求CD 的长和∠ACD的大小（结果精确到0.01米和0.01°）. 【解析】 (1)根据题意可知，AC长35米，BC长80米， 设CD的长为x米，则tana=若，tanB=品 0=28tana =tan2B>tana =mp 2tanβ 600之，解得：x=20W2≈28.28米， 160x 故CD的长为28.28米： (2)由题设∠ADB=180°-a-B=120.T 根据正孩定理得品-m2,即DB:8565米 sin120.7 6 ·CD2=DB2+BC2-2DB·BC·cosB =85.652+802-2×85.65×80×c0s19.48°≈816.37，则CD≈28.57米， 又AD2=AB2+BD2-2AB·BD·c0sB,则cOS∠ACD=AC24cD2-AD2 2AC+CD 352+802-1152+2×85.65×35×c0s19.482×35×28.57≈0.0262， 故CD的长为28.57米，∠ACD≈88.50° 21.已知函数f(x)=Asin(Gx+p)(A>0,lpl<m)的图像如图所示，点B、D、F 为f(x)与x轴的交点，点C、E分别为f(x)的最高点和最低点，而函数f(x) 在x=-子处取得最小值。 ()求参数p的值： (2)若A=1，求向量2BC-CD与向量BC+3CD夹角的余弦值： (3)若点P为f(x)函数图像上的动点，当点P在C、E之间运动时（包含端 点C、E),BP.PF≥1恒成立，求A的取值范围. 【解析】 解：(1)由函数fx)=Asin(任x+p)A>0,lp<m）在x=-三处取得最小值， 可得p-=-+2km,keZ,所以9=2km-,kEZ, 又lp<π，则p=-; (2)因为A=1,所以fx)=sin(Gx-9， 则BG,0,c(,1),D(E0), 则2BC-CD=(1,3),BC+3CD=4,-2, 则c00=2c-D(8c+3C而.4-6=-互 |2BC-CDBC+3CD1V10×√20-10 即向最2C-C币与向最8C+3CD夹角的余弦值为-号： (3)因为p是fw上动点，f)=Asinx-),B⑤，0），F(,0), 又B丽.p币≥1恒成立，设Px,Asx-) 则丽-(x-Asn(传x-》,所=（侵-x-Asin自x-》 则B丽.p币=(x-)尼-x)-Asin(x-·Asm号x-) -2+5x-名-rGx-8, 易知y=-2+5x-号，x∈司在x=号或x=子处有最小值 y=Asin2(仔x-),xe在x=号或x=7处有最大值， 所以当x=或x=子时，B丽.P示有最小值， 即当P在C或E时，BP·PF有最小值，此时P(,A)或P(仔，-A), 当P为(（，A）时，BF=(1,A),PF=3-A, 由BP·PF=3-A2≥1，得-V2≤A≤V2, 义A>0,则0<A≤V2, 当P为(G-A)时，BF=(3,A),PF=(1,A), 由BP·PF=3-A2≥1，解得0<A≤2， 综上，A∈(0，V2] 62026年宝中高一下期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，共42分） 1、扇形0AB的半径为1，圆心角所对的AB长为3，则该扇形的面积是 2.已知tana=3,则2sinr+cos 的值为 sina-cosa 3.函数y=V2sin(30mx-)的频率为 4.己知点A(2,3),B(6,-3),若点P满足AP=3PB,则点P的坐标为 5.设a、万为夹角为的单位向量，求位-2= 6.己知a=(5,3),=(-1,2),则向量d在向量方向上的投影向量的坐标为 7.关于x的不等式：tan2x<1的解集为 8.已知0<a<<B<π，知cosB=-号sin(a+B)=日，则sina的值为一 9.函数y=si(2x+p)的图像向左平移？个单位长度后，得到的新函数为偶函数， 若p∈(0，π)，则p的值为 10.在△ABC中，M为边BC上不同于B、C的任意一点，点N为线段AM的 三等分点（靠近点A),若AN=xAB+yAC,则x2+y2的最小值为 11.设a>0,函数f(x)=x2+2(x-1)sin(ax),x∈(0,1)，若函数y=x2+x-1与 y=f(x)的图像有且仅有三个不同的公共点，则a的取值范围是 12.如图，在△ABC中，AB+AD=AB-AD,BC=V2BD,|ADl=2, 则AC.AD= D 二.选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13.三角形ABC中，"A=B”是"sinA=sinB”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 14.下列说法正确的是() A.若|a>1,则a>5 B.(a..c=a.(b.c) c.若a/b,1/e,则a/ D.若a=b,b=c,则a=c 15.下列条件判断三角形解的情况，正确的是( ) A.a=8,b=16,A=30°，有两解 B.b=18,c=20,B=60°，有一解 C.a=15,b=2,A=90°，无解 D.a=40,b=30,A=120°，有一解 16.如果对一切正实数x、y不等式￥-2cos2x≥a(sinx-2)-号恒成立，则实数 a的取值范围是() A.【-1,+o) B.[8-6V2,8+6√2C.(-∞，8+62D.[8-6V2,+∞) 三.简答题（本大题共5题，共8+8+8+10+12=46分） 17.已知0为坐标原点，向量0A=(-2,m),0B=(n,1)，0C=(5,-1)，若 A、B、C三点共线，且m=2n,求实数m、n的值. 18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若acosB+bcosA= 2ccosA. (1)求A的大小：(2)若a=7,b+c=13,求△ABC的面积. 19.已知函数fx)=2V3 sinxcosx-2sin2x, (1)若角a的终边与单位圆交于点P(,)，求f()的值： (2)当x∈【司时，求f)的单调递增区间和值域。 20.如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D 为顶端，AC长35米，BC长80米.设A、B在同一水平面上，从A、B看D 的仰角分别为a、B· (1)设计中CD是铅垂方向，若要求a=2B,求CD的长（结果精确到0.01米）： (2)施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现实际测得a=39.82°，B=19.48°，求CD 的长和∠ACD的大小（结果精确到0.01米和0.01°）. 0 21.已知函数fx)=Asin(仁x+p)(A>0,lpl<)的图像如图所示，点B、D、F 为f(x)与x轴的交点，点C、E分别为f(x)的最高点和最低点，而函数f(x) 在x=一处取得最小值. ()求参数p的值： (2)若A=1,求向量2BC-CD与向量BC+3CD夹角的余弦值： (3)若点P为f(x)函数图像上的动点，当点P在C、E之间运动时（包含端 点C、E),BP.PF≥1恒成立，求A的取值范围.