精品解析：2026年江西抚州市临川区桐源乡初级中学等校中考二模九年级数学试卷

数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项数学符号是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项数学符号既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故不符合题意； C选项数学符号既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； D选项数学符号是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、积的乘方、合并同类项、单项式乘多项式的运算法则逐一判断即可. 【详解】解：A，，此选项错误； B，，此选项错误； C，不是同类项，不能合并，此选项错误； D，，此选项正确. 4. 如图，①②是两根细直木棒，现需要将其中一根截成两段，首尾相接搭成一个三角形框架，则下列说法正确的是（ ） A. 只有截①可以 B. 只有截②可以 C. 截①②都可以 D. 截①②都不可以 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断即可． 【详解】解：∵三角形的任意两边之和大于第三边， ∴两根长度分别为和的细直木棒搭一个三角形框架时，只能把长度为的木棒分为两截， 即只有截②可以． 5. 如图是某班甲、乙两位同学最近6次跳绳成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列结论判断错误的是（ ） A. 甲的跳绳成绩高于班级平均分 B. 乙的跳绳成绩与班级平均分接近 C. 班级平均分在70分与80分之间 D. 乙的跳绳成绩没有甲稳定 【答案】D 【解析】 【详解】解：由折线统计图可知：甲的跳绳成绩高于班级平均分，乙的跳绳成绩与班级平均分接近，班级平均分在70分与80分之间， ∵乙跳绳成绩的浮动没有甲的大， ∴乙的跳绳成绩比甲稳定． 所以错误的是D选项，其他选项的说法均正确． 6. 某外卖平台统计了甲、乙、丙三名骑手某天的配送数据，甲、乙、丙上午配送数据分别用表示，下午配送数据分别用表示，若定义一天的配送效率，则下列说法正确的是（ ） A. 甲的配送效率最大 B. 丙的配送效率最大 C. 甲的配送效率最小 D. 乙的配送效率最小 【答案】A 【解析】 【分析】连接，分别取的中点，设，则，则甲一天的配送效率为，同理可表示出乙的配送效率和丙的配送效率，连接，，然后问题可求解． 【详解】解：如图，连接，分别取的中点． 设，则， 则甲一天的配送效率为， 同理可表示出乙的配送效率和丙的配送效率，连接，， 由解图可得的倾斜程度的倾斜程度的倾斜程度， 即甲一天的配送效率乙一天的配送效率丙一天的配送效率． ∴A选项的说法正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】二次根式在实数范围内有意义， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于等于0是解题的关键． 8. 2025年我国新能源乘用车零售量万辆，比上年增长，其中数据万用科学记数法可以表示为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：万． 9. 按一定规律排列的代数式，第个代数式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找出规律即可． 【详解】解：∵ ∴第个代数式是． 10. 已知一元二次方程的两根为，那么的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系和根的定义得到再整体代入即可求出答案． 【详解】解：一元二次方程的两根为 ． 11. 如图，中，，四边形都是正方形，其边长分别为，且其顶点分别在的边上，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】因为是直角三角形，且有正方形在三角形边上，所以可利用相似三角形的判定定理，找出图中的相似三角形。如果能得到相似三角形，那么根据相似三角形的性质，对应边成比例，可分别列出关于a、b、c的比例关系式。因为需要求​的值，所以可通过对列出的比例式进行变形、消元，推导得出a与的关系。 【详解】∵正方形中，， ∴， ， 即， 解得 ． ∵正方形中，， ∴， ， 即， 解得． ∵正方形中，， ， ， 即， 解得 ． 12. 如图，正方形的边长为8，对角线交于点，点在边上，且，点是边上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为__________． 【答案】5或或 【解析】 【分析】过点作于点，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，进而可分当时，当时，当时，最后分类进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形，且边长为8， ， ， ． 在中，． ①当时，； ②当时，设， ， 在中，，即， 解得， ； ③当时， ， ， ∴在中，． 综上所述，的长为5或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、化简 （1）计算： ； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算乘方、绝对值、特殊角三角函数，最后算加减即可； （2）根据同分母分式加减法则计算即可. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 如图，在中，是对角线的交点，过点作对角线的垂线分别交于点，点在上，且，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先结合平行四边形的性质得，，又因为，故，证明，得出，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，最后由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ． 又， ． 在和中，， ， ． ∴四边形是平行四边形． ∵过点作对角线的垂线分别交于点， ， ∴四边形是菱形． 15. 小明和小华参加了南昌八一起义纪念馆的讲解活动，讲解员准备了A．“星火相传”小夜灯，B．“八一记忆”笔记本，C．“军旗升起”书立和D．“红色传奇”快客杯这四个文创产品，两人从中随机抽取一个作为纪念品，且每个产品被抽到的可能性相等． （1）小华最想要的纪念品是“星火相传”小夜灯，他抽到该纪念品的概率是______； （2）请你通过列表或画树状图的方法，计算小明、小华抽到“八一记忆”笔记本和“军旗升起”书立的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，进而根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共4种情况，其中“星火相传”小夜灯的情况有1种， ∴他抽到该纪念品的概率； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 由树状图可得，一共有12种等可能的结果，其中小明、小华抽到“八一记忆”笔记本和“军旗升起”书立的结果有2种， ∴小明、小华抽到“八一记忆”笔记本和“军旗升起”书立的概率为． 16. 如图，四边形中， ，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出边的中点； （2）在图2中，作出边的四等分点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，结合梯形的性质、相似三角形或中位线的相关知识，通过连线找交点的方式确定目标点； （2）利用已知条件，结合梯形的性质、相似三角形或中位线的相关知识，通过连线找交点的方式确定目标点． 【小问1详解】 解：如图所示，连接交于点， 延长交于点，连接交于点，点即为所求． ， ， ，相似比为 ， ， 分别为的中点， 则均为的中线， 根据三角形三条中线交于一点，则也为的中线， 即为的中点． 【小问2详解】 解：如图所示，如（1）所示，先作出的中点；交于点，此时，过点作交于点，点即为所求． 由（1）知，，， ，相似比为 ， ， 又，， 故四边形是平行四边形， ， ， 点即为所求． 17. 2026年1月1日起，江西接续实施消费品以旧换新政策，覆盖汽车、家电、数码等多类消费品．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的 15000元 （1）按照以旧换新补贴标准，购买______价格更低；（填序号） ①售价12.8万元的新能源乘用车；②售价13万元的2.0L燃油乘用车 （2）王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均在最高补贴范围内，且补贴后的实际花费相等，若A车的销售价格比B车高3千元，请你求出A车和B车的销售价格各是多少万元． 【答案】（1）① （2）A车的销售价格是13.5万元，B车的销售价格是13.2万元 【解析】 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元．根据题意列出方程并解方程即可． 【小问1详解】 解：万万，万， 万万，万． 万万， 按照以旧换新补贴标准，购买①价格更低． 【小问2详解】 解：设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元． 根据题意，可列方程为 ． 解得． （万元）． 答：A车的销售价格是13.5万元，B车的销售价格是13.2万元． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，为的切线，过切点作于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过直径所对的圆周角等于得到直角三角形的两个锐角互余，再利用垂直关系得到另一组互余角，从而证明两个角相等； （2）通过角度推导确定圆心角 ，再利用三角函数求半径，最后用弧长公式计算  的长． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ． ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ． ， ． 由（1）知． 与相切，为的半径， ． ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 在中，， ， 的长为． 19. 如图，点分别在反比例函数和反比例函数的图象上，的延长线交轴于点，连接，过点作，交反比例函数的图象于点，连接，已知点的纵坐标为轴且． （1）求的值及点的坐标； （2）①求直线的解析式； ②求四边形的面积． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标，再根据轴且求出点A的坐标即可； （2）①过点作交的延长线于点．设，证明，推出．则，解方程求出m的值，进而得到点D的坐标，再利用待定系数法求解即可；②求出得长，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ． ∵轴且， ∴，且 ， ∴， ； 【小问2详解】 解：①如图，过点作交的延长线于点． 由（1）知，，则反比例函数的解析式为 设， ， ， ， ∵轴， ∴， ， ， ， ，即． ． 解得（舍去），． ∴， ． 设直线的解析式为， 把代入得 解得， ∴直线的解析式为； ②， ， ． 20. 如图的海盗船是一项备受欢迎的游乐设施，主要由船体、悬臂、立柱、水平轴、站台构成．船体通过悬臂悬挂在立柱横梁上，最低点与站台齐平，运行时船体绕水平轴往复摆动，座椅随船体同步运动．图2为海盗船的正面示意图，点为水平轴，悬臂与悬臂的夹角为，点为的中点（即船体最低点），若矩形站台高2米，摆角．已知时，点离地面的高度为米． （1）求悬臂的长； （2）某乘客坐在船体最低点处，当船体由静止状态摆动到时，求该乘客竖直上升的高度．（结果精确到米．参考数据：） 【答案】（1）悬臂的长约为米 （2）该乘客竖直上升的高度约为米 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，整理得出米，，再把数值代入，进行计算，解得米，即可作答． （2）根据在中，，代入数值得（米），最后计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点．延长交地面于点． ∵ ∴四边形是矩形， 米． 米， 米， 米． ，点为的中点， ， ． 在中，， 即， 解得米， 即悬臂的长约为米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． 在中，， （米）， （米）． ∴该乘客竖直上升的高度约为米． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 探究性教学模式是对传统教学模式的一种创新，以学生的“自主、合作”学习为主要特征．某实践小组对探究性教学和传统教学两种模式进行了评教，采用由同一位优秀数学教师上这两种模式的课，并从八年级所有学生中随机抽取了20名学生对这两种教学模式进行评分（评分分数用x表示，结果为四个等级，），下面给出了部分信息． 抽取的对探究性教学模式评分为C档的所有数据：； 抽取的对传统教学模式评分的数据：． 两种教学模式评分成绩统计表 平均数 中位数 众数 D档占比 探究性教学 90 96 传统教学 85 84.5 对探究性教学模式评分扇形统计图 根据以上信息解答以下问题： （1）上述图表中，______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪种教学模式更受学生喜欢，并说明理由； （3）估计全体300名八年级学生中，对探究性教学模式和传统教学模式评分为C档及以上的人数分别是多少？ （4）请结合上述信息谈谈你对两种教学模式的看法． 【答案】（1） （2）探究性教学模式更受学生喜欢，见解析 （3）估计全体300名八年级学生中，对探究性教学模式和传统教学模式评分为C档及以上的人数分别是225人、240人 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）求出档的百分比，进而可求a的值，根据中位数、众数的定义可求b、c的值； （2）根据平均数、中位数、众数判断即可； （3）用总人数分别乘以探究性教学模式和传统教学模式评分为C档及以上的比例即可； （4）言之有理即可． 【小问1详解】 解：由题可知探究性教学模式评分为档的人数有6人，所占比例为； ， 探究性教学模式评分为A，B档的人数为（人）， ∴探究性教学模式评分C档中，从小到大排列后的第5位和第6位评分的平均数为探究性教学模式评分的中位数，即； 传统教学模式的评分中，95分出现的次数最多，为4次， ． 【小问2详解】 解：探究性教学模式更受学生喜欢． 理由如下： 探究性教学模式评分的平均数、中位数、众数均比传统教学模式高；（言之有理即可） 【小问3详解】 解：探究性教学模式：（人）， 传统教学模式：（人）． 答：估计全体300名八年级学生中，对探究性教学模式和传统教学模式评分为C档及以上的人数分别是225人、240人； 【小问4详解】 解：探究性教学模式可以提高学生的学习兴趣且更受学生喜欢，建议老师今后多开展探究性教学，同时可以适当采用传统教学模式．（言之有理即可） 22. 我们约定：在平面直角坐标系中，已知点，若，则称该点为“完美点”．若某函数图象上至少存在一个“完美点”，就称该函数为“完美函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）下列函数中，是“完美函数”的有______；（填序号） ；；；． （2）点是反比例函数图象上的点，求该函数图象上的“完美点”的坐标； （3）设关于的函数的图象上有且只有一个“完美点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“完美点”，分别为点，点，其中点在点的左侧，且． 点的坐标为______； 求的值． 【答案】（1） （2）， （3）；的值为 【解析】 【分析】（1）根据“完美函数”的定义令，列方程并求解，根据解的情况判断即可； （2）先根据待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据“完美函数”的定义进行求解即可； （3）令，根据根的判别式求得的值，再根据“完美函数”的定义求解即可；令，然后解方程求得点、、的坐标，进而表示出，，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：若，代入得，方程无解， 函数的图象上不存在“完美点”，即不是“完美函数”； 若，代入得，解得， 函数的图象上存在“完美点”，即是“完美函数”； 若，代入得，解得， 函数的图象上存在“完美点”，即是“完美函数”； 若，代入得，解得， 函数的图象上存在“完美点”，即是“完美函数”． 【小问2详解】 解：将点代入反比例函数中，得， 反比例函数的解析式为， 令，得， 解得， 该函数图象上的“完美点”的坐标为，； 【小问3详解】 解：令，则，整理可得， 函数的图象上有且只有一个“完美点”为点， ，即，解得， 函数解析式为． 令，解得， 点的坐标为． 为常数且的图象上有两个“完美点”， 令，则， 整理可得， 由求根公式，得， 可得，． ，点在点的左侧， ，，且， ， ， ， ． 即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，的值为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题背景】 有一道例题如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究，内容如下：正方形的对角线相交于点，等腰的直角顶点在线段上（点不与点重合），（为常数）．设的边分别与相交于点． （1）【特例证明】 如图1，当点与点重合时． ①的值为__________．； ②求证：；（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作边的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②） （2）【类比探究】如图2，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由； （3）【拓展运用】如图3，菱形的对角线交于点，将等腰变为等边，顶点在线段上（点不与点重合），分别交边于点．延长交边于点，连接，当，且时，求的值． 【答案】（1）①1；②见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质进行求解即可；②法一：由题意易得，然后可得，进而通过证明进行求解即可；法二：过点分别作边的垂线，垂足为，然后可知，进而问题可求解； （2）过点作交于点，则，然后可得，进而问题可求解； （3）作交于点，连接，，由题意易得四点共圆，四点共圆，然后可得，，进而可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， 当点与点重合时，即， ∴； ②证明：法一：四边形是正方形， ， ， 即， ， ； 法二：过点分别作边的垂线，垂足为，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形， ， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：．理由如下： 如图，过点作交于点， 则． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，作交于点，连接． ，且四边形是菱形， ， ， 四点共圆， ， ， ∵， ． 连接． 是等边三角形， ． ∵四边形为菱形， ． ， ， 则， 四点共圆， ， ， ， ． 在四边形中， ，， ． ， ． ， ， ， ∴在中，是斜边的中点， ， 是等边三角形， ． ∴是等边三角形， ， 是边的中点， ， ∵， ． ∵， ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，①②是两根细直木棒，现需要将其中一根截成两段，首尾相接搭成一个三角形框架，则下列说法正确的是（ ） A. 只有截①可以 B. 只有截②可以 C. 截①②都可以 D. 截①②都不可以 5. 如图是某班甲、乙两位同学最近6次跳绳成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列结论判断错误的是（ ） A. 甲的跳绳成绩高于班级平均分 B. 乙的跳绳成绩与班级平均分接近 C. 班级平均分在70分与80分之间 D. 乙的跳绳成绩没有甲稳定 6. 某外卖平台统计了甲、乙、丙三名骑手某天的配送数据，甲、乙、丙上午配送数据分别用表示，下午配送数据分别用表示，若定义一天的配送效率，则下列说法正确的是（ ） A. 甲的配送效率最大 B. 丙的配送效率最大 C. 甲的配送效率最小 D. 乙的配送效率最小 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 8. 2025年我国新能源乘用车零售量万辆，比上年增长，其中数据万用科学记数法可以表示为__________． 9. 按一定规律排列的代数式，第个代数式是__________． 10. 已知一元二次方程的两根为，那么的值为__________． 11. 如图，中，，四边形都是正方形，其边长分别为，且其顶点分别在的边上，则__________． 12. 如图，正方形的边长为8，对角线交于点，点在边上，且，点是边上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、化简 （1）计算： ； （2）化简：． 14. 如图，在中，是对角线的交点，过点作对角线的垂线分别交于点，点在上，且，求证：四边形是菱形． 15. 小明和小华参加了南昌八一起义纪念馆的讲解活动，讲解员准备了A．“星火相传”小夜灯，B．“八一记忆”笔记本，C．“军旗升起”书立和D．“红色传奇”快客杯这四个文创产品，两人从中随机抽取一个作为纪念品，且每个产品被抽到的可能性相等． （1）小华最想要的纪念品是“星火相传”小夜灯，他抽到该纪念品的概率是______； （2）请你通过列表或画树状图的方法，计算小明、小华抽到“八一记忆”笔记本和“军旗升起”书立的概率． 16. 如图，四边形中， ，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出边的中点； （2）在图2中，作出边的四等分点，使得． 17. 2026年1月1日起，江西接续实施消费品以旧换新政策，覆盖汽车、家电、数码等多类消费品．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的 15000元 （1）按照以旧换新补贴标准，购买______价格更低；（填序号） ①售价12.8万元的新能源乘用车；②售价13万元的2.0L燃油乘用车 （2）王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均在最高补贴范围内，且补贴后的实际花费相等，若A车的销售价格比B车高3千元，请你求出A车和B车的销售价格各是多少万元． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，为的切线，过切点作于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 如图，点分别在反比例函数和反比例函数的图象上，的延长线交轴于点，连接，过点作，交反比例函数的图象于点，连接，已知点的纵坐标为轴且． （1）求的值及点的坐标； （2）①求直线的解析式； ②求四边形的面积． 20. 如图的海盗船是一项备受欢迎的游乐设施，主要由船体、悬臂、立柱、水平轴、站台构成．船体通过悬臂悬挂在立柱横梁上，最低点与站台齐平，运行时船体绕水平轴往复摆动，座椅随船体同步运动．图2为海盗船的正面示意图，点为水平轴，悬臂与悬臂的夹角为，点为的中点（即船体最低点），若矩形站台高2米，摆角．已知时，点离地面的高度为米． （1）求悬臂的长； （2）某乘客坐在船体最低点处，当船体由静止状态摆动到时，求该乘客竖直上升的高度．（结果精确到米．参考数据：） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 探究性教学模式是对传统教学模式的一种创新，以学生的“自主、合作”学习为主要特征．某实践小组对探究性教学和传统教学两种模式进行了评教，采用由同一位优秀数学教师上这两种模式的课，并从八年级所有学生中随机抽取了20名学生对这两种教学模式进行评分（评分分数用x表示，结果为四个等级，），下面给出了部分信息． 抽取的对探究性教学模式评分为C档的所有数据：； 抽取的对传统教学模式评分的数据：． 两种教学模式评分成绩统计表 平均数 中位数 众数 D档占比 探究性教学 90 96 传统教学 85 84.5 对探究性教学模式评分扇形统计图 根据以上信息解答以下问题： （1）上述图表中，______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪种教学模式更受学生喜欢，并说明理由； （3）估计全体300名八年级学生中，对探究性教学模式和传统教学模式评分为C档及以上的人数分别是多少？ （4）请结合上述信息谈谈你对两种教学模式的看法． 22. 我们约定：在平面直角坐标系中，已知点，若，则称该点为“完美点”．若某函数图象上至少存在一个“完美点”，就称该函数为“完美函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）下列函数中，是“完美函数”的有______；（填序号） ；；；． （2）点是反比例函数图象上的点，求该函数图象上的“完美点”的坐标； （3）设关于的函数的图象上有且只有一个“完美点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“完美点”，分别为点，点，其中点在点的左侧，且． 点的坐标为______； 求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题背景】 有一道例题如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究，内容如下：正方形的对角线相交于点，等腰的直角顶点在线段上（点不与点重合），（为常数）．设的边分别与相交于点． （1）【特例证明】 如图1，当点与点重合时． ①的值为__________．； ②求证：；（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作边的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②） （2）【类比探究】如图2，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由； （3）【拓展运用】如图3，菱形的对角线交于点，将等腰变为等边，顶点在线段上（点不与点重合），分别交边于点．延长交边于点，连接，当，且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $