2025-2026学年高二下学期期中考试数学模拟练习（北师大版）

**基本信息** 以数列与导数为核心，融合《九章算术》文化传承与粮食储藏实际应用，梯度设计考察数学眼光、思维与语言，适配高二期中能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|等差公差、导数定义、函数最值|基础巩固，如第3题导数定义辨析| |多选|3/18|周期数列、导数极值、数学建模|能力提升，如第11题粮食容器费用优化| |填空|3/15|切线方程、等比求和、不等式恒成立|简洁综合，如第14题导数求参数范围| |解答|5/77|等差通项与求和、导数应用、数列证明|创新应用，如第19题数列与不等式证明，考察逻辑推理与表达|

高二第二学期期中考试试题 数学 教材版本：北师大版选择性必修二 命题范围：数列、导数及其应用 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数列的一个通项公式为(    ) A. B. C. D. 2.已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为(    ) A. B. C. D. 3.设，则曲线在点处的切线的斜率为(    ) A. B. C. D. 4.下列导数运算错误的是(    ) A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 5.函数在上的最大值为(    ) A. B. C. D. 6.等比数列中，，则与的等比中项是(    ) A. B. C. D. 7.九章算术是中国古代数学名著，其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目：一座塔共有层，从第层起，每层悬挂的灯数都比前一层少盏，已知塔上总共悬挂盏灯，则第层悬挂的灯数为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.数列满足，，则(    ) A. B. 为递增数列 C. 为周期数列 D. 10.下列关于函数的判断正确的是(    ) A. 的单减区间是 B. 是极小值，是极大值； C.  没有最小值，也没有最大值 D.  有最大值，没有最小值． 11.国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，年全国夏粮总产量达万吨，创历史新高粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定某粮食加工企业设计了一种容积为立方米的粮食储藏容器，如图所示，已知该容器分上下两部分，上部分是底面半径和高都为米的圆锥，下部分是底面半径为米高为米的圆柱体，如图所示经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面底面每平方米的建造费用为元，设每个容器的制造总费用为元，则下面说法正确的是(    ) A.   B. 的最大值为 C. 当时， D. 当时，有最小值，最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数在点处的切线方程为          ． 13.若数列中，，且，则其前项和          ． 14.不等式对任意的恒成立，则的取值范围为              四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设为等差数列的前项和，，． Ⅰ求的通项公式； Ⅱ若，，成等比数列，求． 16.本小题分 设函数． 求函数在区间上的最值； 若函数有且只有两个零点，求的值． 17.本小题分 已知等比数列满足，． 求的通项公式及前项和 设，求数列的前项和 18.本小题分 已知函数． 求曲线在点处的切线方程； 求的单调区间； 求的极值． 19.本小题分 已知正项数列的前项和为，且满足． 证明：为等差数列． 求的值和的通项公式． 若数列满足，其前项和为，证明：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第二学期期中考试试题 数学 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 数列，即，由此可得通项公式． 【解答】 解：数列，即的一个通项公式为： ， 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式，属于基础题． 设等差数列的公差为，则，即，结合已知进而得出结果． 【解答】 解：设等差数列  的公差为， ， ， 又， ， ， 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】根据题意，利用导数的定义，得到，结合导数的几何意义，即可求解． 【详解】因为，可得 根据导数的定义，可得，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为． 4.【答案】  【解析】解：对于，因为  ，故A正确； 对于，    ，故B错误； 对于，  ，故C正确； 对于，  ，故D正确． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，属于基础题． 先对函数求导，通过导函数的正负性来分析函数的单调性，注意函数的定义域，即可求解． 【解答】 解：因为函数， 所以， 所以当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值，也是最大值，． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等比数列的通项公式以及等比中项的概念，属于基础题． 根据等比数列的通项公式可得，结合等比中项的概念即可求解． 【解答】 解：等比数列中， ，，，  ， ， 的等比中项为  故选 ． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查等差数列的运用，考查求和公式以及通项公式，属于基础题． 根据题目条件设出等差数列，求出首项，进而求解即可． 【解答】 解：从第一层开始各层悬挂的灯数构成一个等差数列，其公差为，前项和， 设第层的灯数为，则由等差数列前项和公式得，解得， ， 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了导数的定义，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查导数中的恒成立问题，属于中档题． 根据已知不等式得到，进而得到在上单调递增，对函数求导，进而可知在上恒成立，分离参数得在上恒成立，构造新函数，利用导数判断其单调性，求出最小值，进而可得的取值范围． 【解答】 解：， ， ， ，即在上单调递增， 在上恒成立， 即在上恒成立， 构造函数，则， 令，则，此时函数单调递增，令，则，此时函数单调递减； ， 即． 故选B． 9.【答案】  【解析】解：由题可知：，，，， 所以可知：AC正确，B错误，数列的最小正周期为，所以，故 D错误． 故选： 10.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查运用导数研究函数单调区间与极值最值问题，属于基础题． 首先要求导判断单调性，然后确定极值与最值即可． 【解答】 解：对于，由，得， 当时，， 是的单调递增区间，故A错误 对于，由知，在，上是减函数，在上是增函数， 是的极小值，是的极大值，故B正确 对于，，当时，恒成立， 且在单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值，又当时，， 无最小值，故C错误，D正确． 故选BD． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题以粮食储存问题为背景，主要考查组合体体积与表面积的求解，制造总费用的最值的求解，考查求解能力逻辑思维能力创新能力，难度属于中档题 根据已知，利用圆柱和圆锥的体积公式求得，结合可得的范围，则可判断的对错；根据与的关系即可利用的范围求的最大值，则可判断的对错；分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，底面积，然后得到总费用的表达式，进而将代入，即可判断选项的对错；在的基础上，利用导数求解最值即可判断的对错． 【解答】 解：由题意可得，所以，由，得，解得，所以，故项不正确． 易知随的增大而减小，所以当时，取得最大值，且最大值，故项正确． 圆锥的母线长，故圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积，圆柱的底面积， 所以总费用 ． 当时，，项正确． ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为，项正确． 故本题选BCD 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义的应用，考查了切线方程的求解方法，属于基础题． 由题意求导，从而可知切线的斜率，写出切线方程． 【解答】 解：因为， 所以， ， 所以函数的图象在点处的切线方程为： ， 即． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题． 根据题意可知数列是首项为，公比为的等比数列，得出其通项公式，再由等比数列求和公式即可求解． 【解答】 解：因为数列中，，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即， 所以． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查不等式恒成立问题，涉及导数法判断单调性以及求极值，属于中档题． 问题可化为对任意的恒成立，记函数，，通过导数手段得出，由恒成立可得的取值范围． 【解答】 解：因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 记函数，， 可得，由可得， 可得在单调递增，在单调递减， 故当时， 可得的取值范围为． 故答案为． 15.【答案】解：Ⅰ由题意得 故的通项公式为． Ⅱ由Ⅰ知，． ，，成等比数列， ，即， 因为，则解得， 故．  【解析】本题考查等差数列的通项公式、求和公式、等比数列的性质，属于基础题． Ⅰ由题意得即可求解 Ⅱ由，，成等比数列，则得，即可求解． 16.【答案】解：， 令可得：或， 因为， 所以时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 又因为，，， 所以，  令， 可得，设， 则， 令，得或，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的大致图象如下：     要使有且只有两个零点， 只需直线与的图象有两个不同交点， 所以或．  【解析】本题考查的是导数的最值以及函数零点问题，属于中档题． 利用导数求函数的单调性，从而求得最值； 求导，得出单调区间，极值，作出函数图像，解得的值． 17.【答案】解：设等比数列的公比为， 因为，且， 所以，得， 又因为，所以， 得，， 所以， 所以． 因为，所以， 所以， 所以数列的前项和 ．  【解析】本题考查等比数列的性质和通项公式与求和，同时考查裂项相消法求和，属基础题． 先根据等比数列的性质计算，再结合的值计算公比，从而得出通项公式和前项和公式． 化简，利用裂项相消法求和即可． 18.【答案】  单调递增区间为和，单调递减区间为  极大值为，极小值为  【解析】由，可知， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即； ，的定义域为， 由，得，或， 当或时，，在上均单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为， 由知函数在处取得极大值，极大值为； 在处取得极小值，极小值为． 对求导，求出，，利用点斜式即可求解切线方程； 利用导数与单调性的关系求解即可； 由可得函数的极值． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题． 19.【答案】解：证明：， 当时，， 得， 故， 故， 为正项数列，故， 所以， 即， 所以为公差为的等差数列； 由知，为公差为的等差数列， ，故， 中， 令 ，得， 即， 将代入上式得，解得， 的通项公式为； 证明：， ， 故， 得， ， 故．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $