精品解析：山东省烟台市蓬莱区（五四制）2025-2026学年七年级下学期期中数学试题（五四学制）

蓬莱区2025—2026学年第二学期期中学业水平考试 初二数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式：概率等于所求事件的结果数除以所有等可能结果的总数即可计算． 【详解】解：∵从5位数学家中随机选取一位，所有等可能的结果共有5种， 其中赵爽被选中的结果只有1种， ∴赵爽被选中的概率为． 2. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了举例说明假命题．熟练掌握举例说明假命题是解题的关键． 由 ，，可知是说明命题“若，则”是假命题的反例，然后作答即可． 【详解】解：∵ ，， ∴是说明命题“若，则”是假命题的反例， 故选：D． 3. 在，，，中，是二元一次方程组的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 命题不一定是定理，但定理一定是命题 B. 定理不可能是假命题 C. 真命题是定理 D. “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题、定理的定义、基本事实的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．命题包含真命题和假命题，因此命题不一定是定理，定理是经过证明的真命题，因此定理一定是命题，故A选项说法正确； B．定理是被证明为正确的命题，即定理不可能是假命题，故B选项说法正确； C．只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理，并不是所有真命题都是定理，故C选项说法错误； D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是初中几何公认的基本事实，故D选项说法正确． 5. 由关于的二元一次方程组，可得与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代入消元法消去参数m，整理即可得到x与y的关系. 【详解】解： 把①代入②，得， 整理，得. 6. 如图，下列①；②；③；④；⑤．能判定的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解决本题的关键是根据同位角相等、两直线平行，内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项进行判断． 【详解】解：和是、被 所截形成的内错角， 当时， 根据同旁内角互补，两直线平行，可证， 故①能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 但是不能判定， 故②不能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 故③能判定； 和是、被所截形成的同位角， 根据同位角相等，两直线平行，可证， 故④能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 但是不能判定， 故⑤不能判定； 综上所述，能判定的条件有个． 故选：C． 7. 小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（ ） A. 转动转盘后，出现比5小的数 B. 转动转盘后，出现奇数 C. 转动转盘后，出现能被5整除的数 D. 转动转盘后，出现3的倍数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为0.4，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为0.5，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为0.2，不符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有3种，故概率为0.3，符合题意． 8. 图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 的度数无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组．解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决． 设“”“”“”的质量分别为，，，由图列出方程组解答即可解决问题． 【详解】解：设“”“”“”的质量分别为，，． 由题图可列方程组 解得 ，即“”的个数为． 故选：A． 10. 若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A. 直线与直线的交点在第一象限 B. 直线与直线的交点为 C. 直线不经过第一象限 D. 直线交轴于负半轴 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的解之间的联系，得到两直线平行是解题的关键． 根据方程组无解得出两直线平行，求出k的值，再逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵关于的方程组无解， ∴直线与直线平行， 即，解得， 两直线平行，无交点，故A、B错误； 将代入，得， ∵斜率，截距， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C正确； 将代入，得，当时，， 即直线交y轴于正半轴，故D错误． 故选：C． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 ①. 两个角是同旁内角 ②. 这两个角互补 ③. 假 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两个角是同旁内角”， 由已知事项推出的事项是“这两个角互补”，所以“两个角是同旁内角”是命题的题设部分，“这两个角互补”是命题的结论部分，这是一个假命题， 故答案为：两个角是同旁内角，这两个角互补，假． 12. 方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得，，即或， 又∵， ∴， ∴． 13. 如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与所有相等的角有，，． 14. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据绝对值和算术平方根的非负性得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 得，， ∴， ∴． 15. 如图，从一个大正方形中截去面积为16和9的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，求一个数的算术平方根，根据概率公式计算概率等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出大正方形的边长，从而可求得大正方形的面积，再求出阴影部分面积，然后利用概率公式求解． 【详解】解：从一个大正方形中截去面积为16和9的两个小正方形， 所以两个正方形的边长分别为4和3， 所以大正方形的边长为， 所以大正方形的面积为， 所以阴影部分的面积为， 所以随机向大正方形内投一粒米，米粒落在图中阴影部分的概率为， 故答案为：． 16. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）将原方程组化简整理可得：，然后利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 由①得：③， 将③代入②得：，解得：， 将代入③得：， 故原方程组的解为． 【小问2详解】 解：将方程两边同乘以，得，整理得， 故原方程组化简整理可得： 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 故原方程组的解为． 18. 如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，请填写的理由． 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴． 【答案】同位角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；，，同角的补角相等；，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】先由垂直的定义得到同位角相等，证出 ；再利用平行线的性质得到同旁内角互补，结合已知条件推出内错角相等，证出 ；最后由平行线的性质得到 ，并补全每一步的推理依据． 【详解】证明：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， ∵ ， ∴ （同角的补角相等）， ∴ （内错角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）． 19. 若方程组的解互为相反数，求的值和方程组的解． 【答案】原方程组的解为，的值为 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解二元一次方程组． 根据相反数的定义得到，得，求解后将x的值代入计算即可． 【详解】解：由方程组的解互为相反数， 得，将代入原方程组，得， 解得 ． ∴原方程组的解为，的值为． 20. 火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【答案】火车长，隧道长 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设火车长，隧道长，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设火车长，隧道长 根据题意，得 解得： 答：火车长，隧道长． 21. 某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： （1）若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ （2）若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ （3）若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 【答案】（1）1 （2）， （3）使转盘上共有6份为红色区域即可，见解析． 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用，概率公式，掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题的关键． （1）由中奖率，可得获得购物券的概率是； （2）由转盘共分为等份，获得元的购物券的只有种情况，获得元的购物券的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）由指针落在红色区域的概率为，可得红色区域为块，继而求得答案． 【小问1详解】 解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是． 【小问2详解】 解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会． ∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份， ∴她获得元、元购物券的概率分别是，． 【小问3详解】 （份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可． 如图所示： 22. 已知关于的方程组． （1）无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【小问1详解】 解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； 【小问2详解】 解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 23. 某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价元张，每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张，每次凭卡另收元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元． （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式 （2）在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标 （3）请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算． 【答案】（1）银卡消费：，普通票消费： （2），，， （3）当时，普通票消费更划算；当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当时，银卡消费更划算；当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当时，金卡消费更划算 【解析】 【分析】（1）根据银卡售价元/张，每次凭卡另收元，以及游泳馆普通票价元/张，设游泳次时，分别得出所需总费用即为与的关系式； （2）利用函数交点坐标求法分别求解即可； （3）利用（2）的各点的坐标并结合函数图像得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得： 选择银卡消费时，所需总费用与之间的函数关系式为， 选择普通票消费时，所需总费用与之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：由题意可得： 当，时，得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，得：， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示：由，，的坐标可得： 当时，普通票消费更划算； 当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当时，银卡消费更划算； 当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当时，金卡消费更划算． 24. 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，点、、、在同一直线上，，，，． （1）若三角板如图1摆放时，则________，________． （2）现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； （3）将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为秒，请求出符合条件的值． 【答案】（1）15，150 （2） （3）2或6或8 【解析】 【分析】（1）如图1，过点作，证明，可得结论； （2）同法可证，利用角平分线的定义求出，，可得结论； （3）分三种情形：当时，当时，当时，分别求出的度数，即可求出的值． 【小问1详解】 解：如图1，过点作， ，， ． ，． ． ， ． ， ． 【小问2详解】 解：同法可证， ， ． ． ， ． ，分别平分，， ，． ． 【小问3详解】 如图3-1，当时，设与交于点， ． ． ． ， ∴． ． ． 如图3-2，当时， 此时， ． ． 如图3-3，当时，过点作， ． ，． ． ． 综上所述，满足条件的t的值为2或6或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2025—2026学年第二学期期中学业水平考试 初二数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A. B. C. D. 3. 在，，，中，是二元一次方程组的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列说法错误的是（ ） A. 命题不一定是定理，但定理一定是命题 B. 定理不可能是假命题 C. 真命题是定理 D. “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 5. 由关于的二元一次方程组，可得与的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列①；②；③；④；⑤．能判定的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（ ） A. 转动转盘后，出现比5小的数 B. 转动转盘后，出现奇数 C. 转动转盘后，出现能被5整除的数 D. 转动转盘后，出现3的倍数 8. 图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 的度数无法确定 9. 设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A. 直线与直线的交点在第一象限 B. 直线与直线的交点为 C. 直线不经过第一象限 D. 直线交轴于负半轴 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 12. 方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 13. 如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 14. 若，则的值为______． 15. 如图，从一个大正方形中截去面积为16和9的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为_____． 16. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，请填写的理由． 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴． 19. 若方程组的解互为相反数，求的值和方程组的解． 20. 火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 21. 某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： （1）若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ （2）若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ （3）若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 22. 已知关于的方程组． （1）无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 23. 某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价元张，每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张，每次凭卡另收元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元． （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式 （2）在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标 （3）请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算． 24. 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，点、、、在同一直线上，，，，． （1）若三角板如图1摆放时，则________，________． （2）现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； （3）将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为秒，请求出符合条件的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $