精品解析：上海华东师范大学附属周浦中学2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷

华东师范大学附属周浦中学 2025学年第二学期高一期中考试数学试卷 命题人：朱宏 审题人：张辉 命题时间：2026.4 一、填空题（共36分，每题3分） 1. 已知是虚数单位，则_________. 2. 若，，则_________. 3. 在锐角中，若，则角的大小为________. 4. 已知向量、，若，则实数的值为_________. 5. 在中，若，，，则________． 6. 已知，，则在方向上的投影向量为__________（写成坐标形式）. 7. 在中，，则其外接圆的半径为___________． 8. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数解析式为___________． 9. 将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的最小值是______. 10. 设，若函数在上严格增，则的取值范围是________. 11. 小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为2米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45米.则斜面的底角________.（结果用角度制表示，精确到0.01°） 12. 已知平面向量，满足：，，，，则的取值范围是_______. 二、单选题（共16分，每题4分） 13. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量 14. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 15. 在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 16. 八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共48分） 17. 已知复数，其中为虚数单位，. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围. 18. 已知，，且与的夹角， （1）求 （2）若与垂直，求的值. 19. 已知函数，其中. （1）求函数的最小正周期及单调减区间. （2）求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值. 20. 如图，在梯形中，，且，设，. （1）试用和表示； （2）若点满足，且，，三点共线，求实数的值； （3）若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量. （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学附属周浦中学 2025学年第二学期高一期中考试数学试卷 命题人：朱宏 审题人：张辉 命题时间：2026.4 一、填空题（共36分，每题3分） 1. 已知是虚数单位，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】 2. 若，，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以. 3. 在锐角中，若，则角的大小为________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，又因为，则. 4. 已知向量、，若，则实数的值为_________. 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以，解得. 5. 在中，若，，，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】由余弦定理得：， 所以 6. 已知，，则在方向上的投影向量为__________（写成坐标形式）. 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 则，， 所以在方向上的投影向量为. 7. 在中，，则其外接圆的半径为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由三角形面积公式求得，从而判断出三角形是等边三角形，再结合正弦定理得外接圆半径. 【详解】由题意，，所以是等边三角形，则， 所以其外接圆的半径为， 故答案为：. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由图象得的最大值为3，最小值为，所以， ，解得，所以， 又过点，代入可得，所以， 则，解得， 因为，所以，所以. 9. 将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得向右平移个单位后的解析式，根据所得解析式为奇函数以及诱导公式，列方程，解方程求得的值，并求得的最小正值. 【详解】函数的图象向右平移个单位得到, 因为为奇函数，所以，所以. 又，所以时，取最小值是. 故答案为： 10. 设，若函数在上严格增，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 所以, 又函数在上严格增， 所以，解得， 所以， 故的取值范围是. 11. 小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为2米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45米.则斜面的底角________.（结果用角度制表示，精确到0.01°） 【答案】 【解析】 【分析】先根据在处的杆子算出阳光和水平面的夹角的正切值，然后结合处的杆子算出斜面的底角. 【详解】设阳光与水平面的夹角为，则， 设与斜面的接触点为的杆子为，为长度为1.45米的影子， 过点作于点，其中与水平面平行，设， 则，解得， 则. 12. 已知平面向量，满足：，，，，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由及向量模长公式表示出，由数量积性质得到的范围，再根据向量模长公式及数量积性质求的取值范围. 【详解】由得，， 又，则， 因为，则， 即 ，解得 ， ，因为， 又，， 所以， 因为 ，所以. 二、单选题（共16分，每题4分） 13. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，则与的模相等，但方向无法确定，故A错误； 对于B，零向量的长度是0，故B正确； 对于C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 对于D，方向相同或相反的向量称为共线向量，规定零向量与任意向量共线，故D错误. 14. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助正切函数性质计算即可得. 【详解】， 由题意，，， 所以，. 15. 在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理及倍角公式得到，结合，解得或，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 即，故， 因为，且属于三角形内角，所以，所以或， 解得或， 所以为等腰或直角三角形. 故选：C 16. 八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正八边形的边长为2，求出外接圆的半径OF和内切圆的半径OM，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果． 【详解】正八边形中， ， 所以， 连接，过点O作，交、于点、，交于点， ，设，由余弦定理得， 中， ，， 中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当P与M重合时，在上的投影向量为，此时取得最小值为， 当P与N重合时，在上的投影向量为，此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是. 故选：A． 【点睛】方法点睛：由图形可得，为定值，研究在上的投影向量的大小和方向即可. 三、解答题（共48分） 17. 已知复数，其中为虚数单位，. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，由纯虚数的定义列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由复数的几何意义列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由z是纯虚数，则 ，，故. 【小问2详解】 由z在复平面内对应的点在第一象限， ，，所以或. 18. 已知，，且与的夹角， （1）求 （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模长公式求解；（2）由已知得到，计算求解. 【小问1详解】 由已知条件得， 则， 所以. 【小问2详解】 若与垂直，则， 即，即， 所以. 19. 已知函数，其中. （1）求函数的最小正周期及单调减区间. （2）求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值. 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数的周期公式及单调性列式求解. （2）利用三角函数恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质求出指定区间上的最大值. 【小问1详解】 函数的最小正周期， 由，得， 所以函数单调减区间为. 【小问2详解】 依题意， 所以， 由，得，则当，即时，函数取得最大值2， 所以最大值为2，此时. 20. 如图，在梯形中，，且，设，. （1）试用和表示； （2）若点满足，且，，三点共线，求实数的值； （3）若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）梯形中线段和的位置关系和长度关系得到，再利用向量的线性运算； （2）因为，，三点共线，所以，且； （3）设，用，和表示和，所以可转化成关于的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【小问1详解】 因为，且，所以， 则. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，，三点共线，所以，解得. 【小问3详解】 因为，，，所以， ， ， 设， 则， ， 所以 ， 因为，所以当时，的最小值为. 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量. （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先将函数化简为的形式，从而得到伴随向量的坐标，再根据向量模的计算公式即可求出； （2）先根据伴随函数的定义求出的表达式，进而求出的值，再利用正弦定理求出，最后根据余弦定理即可求出； （3）先根据伴随函数的定义求出函数的表达式，再化简方程，分类讨论并画出的图象，然后将问题转化为两个函数有交点问题，最后根据函数图象的交点情况即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意得 ， ，. 【小问2详解】 函数为向量的伴随函数， ， ，或， 即或（舍）， 又，由正弦定理得， ，即，， 所以，即， 由余弦定理得，即， 即. 【小问3详解】 函数为向量的伴随函数，， 又关于的方程为， ，即 记 ∴ 作出函数的图像，如图所示，   方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 图象与直线有四个交点， ，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $