微专题07一次函数与三角形的综合问题（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 以“题型-方法-典例”三层架构系统整合一次函数与三角形综合问题，通过步骤化方法提炼与梯度化例题设计，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形|6题|定三点→分情况→距离公式→验解|一次函数坐标运算→等腰三角形分类讨论| |直角三角形|6题|定直角顶点→斜率垂直/勾股定理→列方程|函数斜率性质→直角三角形判定方法| |等腰直角三角形|6题|定直角顶点+腰相等→坐标平移/旋转→求参数|图形变换→坐标计算→函数解析式应用| |全等三角形|6题|找对应关系→坐标表边长/斜率表角度→列全等条件|全等判定→函数与几何量的转化| |综合问题|6题|拆分小模型→设动点→列方程→验解|多知识点融合→问题转化与系统求解|

微专题07一次函数与三角形的综合问题 题型一 一次函数与等腰三角形问题 1.定三点：找出已知两点、设动点坐标。 2.分三种情况： 两腰：PA=PB 两腰：PA=AB 两腰：PB=AB 3.用两点距离公式列等式。 4.解方程，舍去重合 / 不合理点。 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点C． (1)求的值和点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)； (3)或 【分析】本题考查一次函数的交点求解、三角形面积计算及勾股定理求平面直角坐标系中的线段长，关键是灵活运用一次函数解析式求点坐标，结合等腰三角形的边长关系列方程． （1）将点的坐标代入直线，代入计算可求出的值；联立两条直线的解析式组成二元一次方程组，解方程组即可得到交点的坐标； （2）先求出直线与轴交点的坐标，计算出线段的长度，再以为底，点的纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算面积； （3）设点的坐标为，先根据两点间距离公式计算的长度，由以为底的等腰三角形可知，据此列出关于的绝对值方程，求解得到的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴代入得，解得； 联立，解得， ∴点的坐标为； （2）解：∵函数的图象与轴交于点，令，则，解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵点的纵坐标为，即中边上的高为， ∴； （3）解：设点的坐标为， ∵点，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 2．如图，一次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数交于点，． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在线段AB上是否存在点P，使是以OA为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在， 【分析】（1）求出A、C点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）△BOC的面积； （3）作OA的垂直平分线交x轴于点D，与直线AB的交点即为点P，再求P点坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，点A的坐标为（6,0） 将C（m，4）代入，得，解得m＝－2 ∴点C坐标为（－2，4） ∵一次函数的图象过A（6,0），C（－2，4） ∴ 解得，k＝，b＝3 ∴一次函数的表达式为． （2）令x＝0，则 ∴点B的坐标为（0,3），OB＝3 ∴△BOC的面积＝＝． （3）存在 作OA的垂直平分线交x轴于点D，与直线AB的交点即为点P ∴OD＝OA＝3 即 ∴ ∴点P的坐标为（3，）． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级下·福建泉州·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，、、． (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在一个点D，使得是以为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由． (3)在第二象限有一个，使得，请你求出的值． 【答案】(1)3 (2)存在， (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，勾股定理，等腰三角形的定义以及坐标与图形性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）根据，，求得的面积； （2）设，则， ，根据，，由勾股定理得 ，即 ，进而得出点坐标； （3）在轴负半轴上取点，过作轴的垂线 ，则点在该垂线上，过作，交于点，则，先求直线的表达式，再求直线的表达式即可． 【详解】（1）解：、、 ， ，， 的面积； （2）解：存在一个点，使得是以为底的等腰三角形． 如图所示，    设，则，， ，， ∴在中，， ， 解得， ； （3）解：如图示，在轴负半轴上取点，过作轴的垂线 ，则点在该垂线上， 过作，交于点，则，    、， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为， 设直线解析式为， 把代入，可得 ， 解得， 直线解析式为， 当时，． 4．如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)存在，点Q的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何的综合应用，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，求出点A和点B的坐标； （）设，由（）得点的坐标为，点的坐标为，则，，，然后由即可求出的值，从而求解； （）分当时和当时进行分析即可； 【详解】（1）解：由得， 当时；当时，，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：设， 由（）得点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴，即 ， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由：如图， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 当时， ∴的坐标为，的坐标为， 当时， ∴， ∴的坐标为． 综上所述：存在，点Q的坐标为或或 5．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、勾股定理、等腰三角形的定义、利用平方根解方程等知识，熟练掌握一次函数的定义是解题关键． （1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，则，的边上的高为2，利用三角形的面积公式建立方程，求出的值，由此即可得； （3）设点的坐标为，先分别求出的长，再分两种情况：①和②，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将点和点代入得：，解得， 所以一次函数的解析式为． （2）解：如图，点在轴上， 设点的坐标为， ∵，， ∴，的边上的高为， ∵的面积为3， ∴， 解得或， 所以点的坐标为或． （3）解：设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 由题意，分以下两种情况： ①当时，是以为一腰的等腰三角形， 则， 解得或， 此时点的坐标为或； ②当时，是以为一腰的等腰三角形， 则，即， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 综上，在轴上存在点，使得是以为一腰的等腰三角形，此时点的坐标为或或． 6．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．    (1)求点的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且． ①求点的坐标． ②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点，点； (2)①；②存在，或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定等知识，求出直线解析式和分类讨论是解题的关键． （1）将点代入先求出b的值，即可得点A，点B坐标； （2）①过点P作于F，由折叠的性质可得 ，，可得则，即可求解；②求出点E的坐标，利用勾股定理得，再分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，有，解得：， ∴点，点 （2）解：①过点P作于F，    ∵将沿直线翻折得到， ∴, ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ②如图：    ∵， ⋅ ∵，直线与交于点E， ∴，解得， ∴点E的坐标, ∴， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴, ∴点Q的坐标为 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴， ∴点Q的坐标为， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或． 题型二 一次函数与直角三角形问题 1.找直角顶点：分三类：∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°。 2.用斜率垂直：k₁・k₂= −1；或勾股定理：a²+b²=c²。 3.设动点坐标，代入列方程。 4.求解，检验合理性。 1．（23-234八年级上·陕西西安·期末）如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在直线上． (1)求，的值； (2)已知是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数图像上点的坐标特征，可求出直线的解析式及点，的坐标，分及两种情况考虑：①当时，轴，结合点的坐标可得出点的坐标；②当时，设点的坐标为，利用勾股定理，可求出的值，进而可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：交轴于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， ∴，． （2）∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 可分以下两种情况考虑： ①当时，轴， ∴点的坐标为； ②当时，设点的坐标为， ∴， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，两点间距离，直角三角形的性质以及勾股定理．分及两种情况求出点的坐标是解题的关键． 2．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，勾股定理等， （1）先求出点的坐标，再依据点是的中点，可求出点的坐标； （2）根据（1）中的结论得出，的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案； （3）存在，点在轴上时，设点的坐标为，分两种情况讨论：①，②；点在轴上时，设点的坐标为，分两种情况讨论：①，②，由勾股定理可求解； 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2）∵，，， ∵，，， ∴， ∴， 即的面积为； （3）存在， 点在轴上时，设点的坐标为， ①时，点与原点重合，此时点坐标为； ②时，则， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 点在轴上时，设点的坐标为，， ①时，点与原点重合，此时点坐标为； ②时，则， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，当点的坐标为或或时，是直角三角形． 3．如图，将边长为3的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使边落在轴的正半轴上，直线：经过点且与轴交于点． （1）求点坐标； （2）求的面积； （3）若直线与轴交于点，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，，. 【分析】（1）由正方形的性质可知点C的纵坐标为3，把y=3代入即可求出点C的坐标； （2）先求出点E的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）分四种情况求解即可：①当FCP1=90°时，②当CFP2=90°时，③当CP3F=90°时，④当CP4F=90°时． 【详解】（1）∵正方形的边长为3， ∴AD=AB=3， 当y=3时，， ∴x=4， ∴； （2）把代入得，∴， 又∵，∴， ∴； （3）当x=3时，， ∴， ∵，， ∴CE=，CF=， ∴EF=CE=． ①当FCP1=90°时，设P1(x，0)， ∵CP12=BC2+BP12=EP1-CE2， ∴9+(x-4)2=(x-2)2-13， 解得 x=， ∴; ②当CFP2=90°时， 与①同理可求； ③当CP3F=90°时， ∵EF=CE=， ∴EP3=EF=CE=， ∴OP3=2+， ∴; ④当CP4F=90°时， 与③同理可求． 综上可知，，，，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答（3）的关键． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（拓展：若平面直角坐标系内有两点和，则两点间的距离） 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】这道题考查一次函数的综合应用，涵盖求函数解析式、三角形面积计算以及直角三角形存在性问题，数形结合是解题关键． （1）利用点在直线上的坐标关系，先求出点坐标，再用待定系数法确定直线解析式； （2）通过求出直线与坐标轴交点，结合图形，用割补法（或利用三角形面积公式结合坐标差）计算面积； （3）设出点坐标，依据勾股定理，分和两种情况列方程求解，判断轴上满足条件的点是否存在并求出坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将点，代入， 得解得， 直线的解析式为． （2） 如解图1，记直线与轴的交点为点， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入，得，解得， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， ． （3）存在．理由如下： 设点的坐标为， 根据（1），得， 根据（2），得， ，， ． 分以下两种情况讨论： ①如解图2，当时， 在中，存在， 即，解得：， 点的坐标为， ②如解图3，当时， 在中，存在， 即，解得， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点与y轴交于点点C是直线上的一点，它的坐标为经过点C作直线轴交y轴于点D． (1)求点C的坐标； (2)已知点P是直线上的动点， ①若的面积为4，求点P的坐标； ②若为直角三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法可得直线的解析式为，把代入 ，得，即可求出点C的坐标； （2）①利用三角形的面积公式求出的长即可解决问题；②分两种情况进行讨论：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）设直线的解析式为 ∵直线与x轴交于点与y轴交于点 ∴， 解得， ∴直线的解析式为 把代入得 ∴ ∴ （2）①∵ ∴， ∵直线轴交y轴于点D， ∴ ∴ ∴ ②∵一定不是直角， 当时，点P恰好在点D， ∴ 当时， ， 由题可得，， ∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述，所有满足条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、三角形面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 6．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，点A在线段上，点B在x轴的正半轴上，且，点B关于点的对称点为点C，连接，设点A的横坐标为t． (1)求k的值，并写出当时x的取值范围． (2)当点A在线段上运动时，设的长为S． ①求S关于t的函数表达式． ②当时，求的长． (3)当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)， (2)①② (3)的值为或3或 【分析】（1）把Q坐标代入正比例函数解析式求出k的值，根据y的范围求出x的范围即可； （2）①把A横坐标代入正比例解析式表示出纵坐标，利用勾股定理表示出，根据表示出，即为S与t的关系式，并求出t的范围即可； ②把代入求出t的值，确定出，以及P的坐标，利用两点间的距离公式求出的长即可； （3）当为直角三角形时，分三种情况：①如图1，当时；②如图2，当时；③如图3，当时分别进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴． 当时，． （2）解：过点A作轴于点Q， ①由题意可得，，则． ∵， ∴． ②当时，． 解得． ∴，，． ∴由勾股定理可得，． （3）解：①如图1，当时，， ∴．解得． ②如图2，当时，， ∵点B关于点P的对称点为点C， ∴． ∴，解得． ③如图3，当时，，， ∴． ∵在中，点P是BC中点， ∴． ∵在中，， ∴． 解得． ∴综上所述，当是直角三角形时，的值为或3或． 【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求正比例函数解析式，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，对称的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 题型三 一次函数与等腰直角三角形问题 1.先确定：直角顶点 + 两腰相等。 2.构造 “水平竖直” 辅助线，证全等。 3.用坐标平移 / 旋转求点： 顺时针 90°：(x,y)→(y,−x) 逆时针 90°：(x,y)→(−y,x) 4. 代入直线解析式，求参数。 1．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，直线解析式． (1)求点A、B、C的坐标； (2)D为y轴上一点，当线段最短时，求点D的坐标及的面积； (3)P为线段上一点，过P向x轴作垂线交于Q，在y轴上是否存在一点M，使为等腰直角三角形？若存在，求直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点M坐标为，， 【分析】（1）当时，，当时，，即可得点A，点B坐标，联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标； （2）点关于轴对称点,进而可得当共线时，线段最短，求出直线的解析式，得到点坐标，再由求解； （3）分三种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， 点，点， 解方程组得， ∴点； （2）解：点，点，点关于轴对称的点为， 则，, 故当共线时，线段最短， 设直线的解析式为， ，解得， ，时，， ， ； （3）解：设点，则点， ， 如图1，当时， ， ， ， 点， 点， 如图2，当时， ， ， ， 点， 点， 如图3，当时，过点作， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点， 综上所述：点坐标为，，． 2．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴，y轴交于点，直线与直线交于点D，直线过点A，与y轴交于点C，点C的纵坐标是． （1）求直线的解析式； （2）在直线上是否存在点P，点P在直线的左侧，使得，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，点Q是线段的动点，过点Q做 轴，交直线与点M，在x轴上是否存在点N，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，N（-，0）或（，0）或（，0）． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解； （2）设直线AC交直线x=-1于点F，则F（-1，-2），设，由，得到，代入公式计算即可； （3）过点Q作x轴，QN1⊥x轴，过点M作MN3⊥x轴，作∠QN2M=90°交x轴于N2，求出直线PD的解析式，设Q（），得到，根据为等腰直角三角形，分三种情况：若∠NQM=90°，则N与N1重合， 若∠NMQ=90°，则N与N3重合，MN3=QM，若∠QNM=90°，则N与N2重合，依据等腰直角三角形的性质列方程求出t的值即可得到点N的坐标． 【详解】解：（1）令y=-x+3中y=0，解得x=3， ∴A（3,0）， 设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（3,0），C（0，）代入， 得，解得， ∴直线AC的解析式为， （2）存在， 设直线AC交直线x=-1于点F，则F（-1，-2）， ∵直线与直线交于点D， ∴D（-1,4）， ∵直线y=-x+3，与y轴交于点B， ∴B（0,3）， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得a=-6， ∴； （3）存在 过点Q作x轴，QN1⊥x轴，过点M作MN3⊥x轴，作∠QN2M=90°交x轴于N2， 设直线PD解析式为y=mx+n，将，D（-1,4）代入， 得，解得， ∴直线PD解析式为， 设Q（）， ∵ 轴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， 若∠NQM=90°，则N与N1重合，∴QN1=QM， ∴， ∴t=-， ∴N1（-，0）； 若∠NMQ=90°，则N与N3重合，∴MN3=QM， ∴， ∴t=-， ∴， ∴N3（，0）； 若∠QNM=90°，则N与N2重合， ∴ 得， ∴， ∴N2（，0）； 综上，存在，N（-，0）或（，0）或（，0）． 【点睛】此题考查的是一次函数的综合题，一次函数与几何图形的面积，待定系数法求函数解析式，以及等腰直角三角形的性质的应用，综合掌握各知识点并应用是解题的关键． 3．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，直线经过、两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒， (1)求直线的表达式； (2)当______时，； (3)将直线沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积； (4)在第一象限内，是否存在点P，使A、B、P三点构成等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)； (3)四边形BAEF的面积是30； (4)存在，点或或 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）当 ， ，已知时，则，求解即可得到答案； （3）找准，即可求解； （4）分类讨论，利用三角形全等求长度，即可得到P点坐标． 【详解】（1）设直线l的表达式为， 将、代入得，解得， ∴直线的表达式为； （2）由A、B的坐标可知OA=6、OB=8 则由勾股定理得AB=10 设运动时间为t秒 ， 当时，则 解得 ； （3）由平移可得：直线，∴设直线EF的关系式为， ∵直线沿x轴向右平移3个单位长度． ∴点，代入得，∴． 当时，，∴， ∴，，，， ∴． 答：四边形BAEF的面积是30． （4）存在，理由如下： 当 时，如图所示，过点P作 轴于点M 可证 当 时，如图所示，过点P作 轴于点M 可证 当 时，如图所示，过点P作 轴于点M， 轴于点N 可证 综上，点或或． 【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、图形的平移、面积的计算等，渗透数学分类讨论的思想，难度偏大． 4．（23-24八年级下·湖南岳阳·月考）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，，点P是直线上的一点． (1)求直线的解析式； (2)若动点P从点B出发沿射线方向匀速运动，速度为个单位长度/秒，连接，设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； (3)若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、 M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点Q和点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)、或、或、 【分析】（1）先求得点A坐标，进而求得点C、B坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）分点P在线段上和点P在射线上两种情况，可画出图形，利用或求解即可； （3）分、、三种情况，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形性质求解即可． 【详解】（1）解：令，由得，则，， ∵，∴，则， ∵，， ∴，则， 设直线的表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：当点P在线段上时，过P作轴于H，如图，    ∵，，， ∴，又，， ∴ ， ∵， ∴； 当点P在射线上时，如图，    同理可得 ，， 综上，S与t之间的函数关系式为； （3）解：将代入中得， ∴直线的表达式为 设，，， ①当时，当点M在x轴上方，如图，    分别过Q、B作y轴的平行线，分别交过点M与x轴平行的直线于点G、H， 则， ∴， ∴，又， ∴， ∴，， 则，， 解得，，又， ∴，； 同理，当点M在x轴下方时，，， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，如图，    过Q作y轴的平行线，交过点M与x轴平行的直线H，交x轴于点G， 则， ∴， ∴，又， ∴， ∴，， 则，， 解得，，又， ∴，； ③当时，如图，    同理证明， ∴，， 则，， 解得，，又， ∴，， 综上，满足题意的点M、Q坐标为；、或、或、． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形等知识，理解题意，添加辅助线构造全等，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期末）（1）模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．求证：； （2）模型应用：已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，在左侧过点作线段，使，，过点，作直线，求直线的解析式； （3）如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或 【分析】本题为一次函数的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第（3）问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． （1）由条件可求得，利用可证明； （2）过作轴于点，由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，，从而可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）分三种情况考虑：当时，，分点与点重合，点与点不重合，当时，，由全等三角形的性质可得点坐标． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过作轴于点， 直线与轴交于点，与轴交于点， 令可得 解得， 令可求得， ，， 同（1）可证得， ，， ， ，且， 设直线解析式为， 把点坐标代入可得， 解得， 直线解析式为； （3）解：的坐标为，矩形， ，， 如图，当，过点作，交于，交于，则， ，， ，且，， ， 设， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图，当时，，点不与点重合时，过点作，交于，交于，则， 同理可得， ，， 设点， ，， ， ， ， 点的坐标为； 如图，当时，，过点作，交于，过点作于，则， 同理得， ，， 设点， ，，， ， ， ， 点的坐标为； 综上所述：点坐标为：或或． 6．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图1，直线分别与轴，轴交于两点，已知点，． (1)求出点的坐标； (2)经过点的直线将分成面积比为的两部分，求该直线的函数关系式； (3)如图2，直线平移后分别交轴，轴于点，，过点作平行于轴的直线，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）分别令和即可求出点的坐标； （2）首先求出，，当直线与交于点E时，分两种情况讨论：和，分别求解即可； （3）首先由平移设直线的解析式为，表示出，，然后分情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵直线分别与轴，轴交于两点， ∴当时， ∴ 当时，，解得 ∴； （2）∵， ∴， 设经过点的直线的表达式为 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 如图所示，当直线与交于点E时， 设 ∵经过点的直线将分成面积比为的两部分， ∴当时， ∴，即 ∴ ∴ ∴将代入得， 解得 ∴； 当时， ∴，即 ∴ ∴ ∴将代入得， 解得 ∴； ∵， ∵ ∴经过点的直线不能和相交 综上所述，经过点的直线的函数关系式为或； （3）∵直线的解析式为 ∴由平移得，设直线的解析式为 ∴当时， ∴ 当时，，解得 ∴ ①当点是直角顶点时，， 当点在原点上方时，如图4所示， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴，即 解得 ∴ ∴ ∴； 当点在原点下方时，如图5所示， 同理可证， ∴，即 解得 ∴ ∴ ∴； 当P是直角顶点时， 当点在原点上方时，过点P作轴于点H，如图6 同理可证， ∴， ∴； 当点在原点下方时，过点P作轴于点H，如图7 同理可证， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和三角形面积公式等知识，解题的关键是正确分类讨论． 题型四 一次函数与全等三角形问题 1.找对应边、对应角：先确定全等顶点顺序。 2.用坐标表示边长、斜率表示角度。 3.列全等条件： 边相等：距离公式； 角相等：斜率相等或垂直。 4.解方程求动点，验证对应关系。 1．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．    (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，并求此时M点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)(秒)时, ；(秒)时, 【分析】此题考查了根据函数图象求坐标，通过动点变化求函数关系式，三角形全等的性质，分情况讨论是解答本题的关键． （1）由直线L的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； （2）由面积公式求出S与t之间的函数关系式； （3）若，，则t时间内移动了，可算出t值，并得到M点坐标． 【详解】（1）解：对于直线：， 当时，，当时，， 点，点； （2），， ， 当时，，， 当时，，， 的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）当M在上时，， ， 动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需时间（秒）， ； 当M在的延长线上时，， 则，此时所需要的时间为（秒） 综上所述，M点的坐标是或． 2．（22-23八年级上·山东济南·期中）如图，直线交y轴于点A，交x轴负半轴于点B，且，P是直线AB上的一个动点，点C的坐标为，直线交y轴点于D，O是原点． (1)求k的值； (2)直线上是否存在一点P，使得与是全等的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P在射线上运动时，连接，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)存在； (3)存在；或 【分析】（1）在中，可得，，又，即知，，用待定系数法可得k的值是3； （2）由，，可知与全等，只需，即，用待定系数法得直线解析式为，解，即可得点P的坐标为； （3）设，且，有，，，分三种情况列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴，， ∵， ∴，， 把代入得： ， 解得； ∴k的值是3； （2）解：存在一点P，使得与是全等的，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴与全等，只需， ∴， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 由（1）知， ∴直线解析式为， 由得，， ∴点P的坐标为； （3）解：存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设，且， ∵，， ∴，，， ①当时，， 解得或（舍去）， ∴； ②当时，， 解得， ∴； ③当时，， 方程无实数解； 综上所述，P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形全等，等腰三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△ACB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E． （1）求点C的坐标； （2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标 　 　（不包括这两个三角形重合的情况）． 【答案】（1）C（0，）；（2）（﹣2，0）或（2，3）或（﹣） 【分析】（1）首先求出A（3，0），B（0，4），得出AB＝5，设OC＝x，则BC＝4﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解方程即可； （2）首先可证∠BEC＝∠COD＝90°，分当点D与P重合，当CQ＝BC＝时，当PC＝BE＝2，，时，再分别根据图形性质求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1） ， 令 则 令 则 A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∵∠AOB＝90°， 由勾股定理得，AB＝， ∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处， ∴AD＝AB＝5， ∴OD＝2， 设OC＝x，则， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2， 解得x＝， ∴C（0，）； （2）设为 解得： 所以直线CD的解析式为， ∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵∠BCE＝∠DCO， ∴∠BEC＝∠COD＝90°， ①当点D与P重合时，OP＝2，OC＝， CP＝ 而 则△CPQ△CBE，此时重合， ∴P（﹣2，0）； ②当CQ＝BC＝时，则点Q的纵坐标为﹣1时，如图， 当△CPQ△CEB时， 解得： ∴； ③当PQ＝BE＝2，，时，如图， 点P（2，3）， 综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（2，3）或． 【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解（2）的关键. 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，的面积被直线分成的两部分，求此时点C的坐标； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，C的坐标为，， 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与三角形面积的综合应用、全等三角形的判定与性质、一次函数动点问题，分类讨论思想（面积比例的两种分割情况、全等三角形的不同对应情况）： （1）将直线与坐标轴的交点坐标代入一次函数解析式，求解系数和，得到直线表达式． （2）先计算的面积，再根据“面积被分为”的两种比例情况，结合动点在直线上的坐标特征，分别求出点的坐标． （3）根据全等三角形的对应边关系，结合一次函数解析式，分类讨论不同的全等对应情况，筛选出与、不重合的动点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入： 代入得：； 代入得：，解得． 故直线AB的解析式为：； （2）解：的面积为：． 直线OC将其分为两部分，即两部分面积分别为2和4． 设，分两种情况： 情况1： 解得，对应，即． 情况2： ，同理解得，对应，即． 故点C坐标：或； （3）解：是直角三角形（直角在O），边长为， 中，D在y轴上，故是y轴上的线段，需使为直角三角形（与全等），分两种直角位置讨论： 情况1：直角在点（轴） 此时， 则， ∴，， ∵，符合题意， 故； 情况2：直角在点 此时，， 则， 则或． 设，则，解得， 当时，，即，此时应该为， 则，符合题意； 同理，当时，，， 则，符合题意； ∴C为或； 综上所述，满足条件的C点有，，． 5．（23-24八年级下·四川泸州·阶段检测）已知直线与轴和轴分别交于A、两点，另一直线过点A和 ． (1)求直线对应的函数解析式； (2)若直线与轴交于点，求证是直角三角形； (3)若点是直线上一个动点，点是轴上的一个动点，当以，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点所有可能的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，，， 【分析】（1）在中，令，则，求得，设直线对应的函数关系式为，解方程组即可得到结论； （2）过点C作轴于点D．构造全等三角形解决问题即可； （3）根据勾股定理得到，①当时，如图1，由全等三角形的性质得到，于是得到，，②当时，如图2，根据全等三角形的性质得到，于是得到，，③当时，这种情况不存在． 【详解】（1）解：在中， 令，则， ， ， 设直线对应的函数关系式为， ∴， ， ∴直线对应的函数关系式为； （2）证明：过点C作轴于点D． ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在中， 令，则， ，， 由勾股定理得， ①当时，如图1， ， ， ，， ②当时，如图2， ， ， ，． ③当时，这种情况不存在， 综上所述：点Q的坐标为：． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏． 6．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，绕O点旋转到的位置，直线交直线于点E． (1)直接写出A点坐标　　　　　　，B点坐标　　　　　　，C点坐标　　　　　　，D点坐标　　　　　　，直线的函数表达式为　　　　　　； (2)如图2，连接，过点O作交直线于点F，求证：； (3)若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，，，， (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征即可求出两点的坐标，由旋转的性质得出结论，易得得出，即可得出点C，D坐标，用待定系数法即可得出结论； （2）证明，即可得出是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）分三种情况讨论，结合全等三角形的性质，一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、点B， 当时，，当，则， ∴， ∴， ∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵，将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：∵， ∴， 如图，当，此时轴，， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，当，此时，， ∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 当点Q在点D的右侧时，， ∴点Q的坐标为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：， ∴点P的坐标为； 当点Q在点D的左侧时，， 同理可得直线为， ∴， ∴同理可得：点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】重点注意分类讨论的思想，不要遗漏每一种情况． 题型五 一次函数与三角形的综合问题 1.先把已知点、直线解析式、交点坐标全部求出来。 2.拆分条件：把问题拆成等腰 / 直角 / 等腰直角 / 面积 / 全等小模型。 3.设动点坐标，用距离公式、斜率、勾股、面积公式列方程。 4.解方程，检验、舍去不合题意的点。 5.结合图像验证，写出最终答案。 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求点C的坐标． (4)直接写出折痕BC所在直线的表达式． 【答案】(1) A(4,0),B(0,4)； (2) P点坐标为(2,2)； (3) C(4−4,0)；(4) 折痕BC的解析式为y=-(1+)x+4. 【分析】（1）利用直线解析式，容易求得A、B的坐标； （2）作线段OA的垂直平分线，交x轴于点E，交AB于点P，则P点即为所求，可求得E点坐标，则容易求得P点坐标； （3）可设C（t，0），由折叠的性质可得到CD=t，AC=4-t，在Rt△ACD中，由勾股定理可得到关于t的方程，可求得t的值，则可求得C点坐标； （4）利用待定系数法可求得直线BC的解析式． 【详解】解：(1)在y=−x+4中，令x=0可得y=4，令y=0可求得x=4， ∴A(4,0)，B(0,4)； (2)如图1，作线段OA的垂直平分线，交x轴于点E，交AB于点P， 则OP=PA，即P点即为满足条件的点， ∵OA=4， ∴OE=2， 在y=−x+4中，当x=2时，可得y=2， ∴P点坐标为(2,2)； (3)设C(t,0)，则AC=OA−OC=4−t， ∵OA=OB=4， ∴AB=4， 由折叠的性质可得BD=OB=4,CD=OC=t,∠ADC=∠BOC=90∘， ∴AD=AB−BD=4−4， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC2=AD2+CD2,即(4−t)2=t2+(4−4)2, 解得t=4−4， ∴C(4−4,0)， (4) 设直线BC解析式为y=kx+b， ∵B(0,4)，C(4−4,0) ∴ 解得： 折痕BC的解析式为y=-(1+)x+4 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、待定系数法、方程思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，过点C作CD⊥x轴于点D，求点C的坐标； （2）如图2，在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图3，点M为直线AB上一动点，点为x轴上一定点，当点M在直线AB上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△QMN是以MN为底边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点P的坐标为或或或；（3）存在，点Q的坐标为或． 【分析】（1）证明△ADC≌△BOA（AAS），则AD=OB=6，CD=OA=3，即可求解； （2）分PA=PB、PA=AB、PB=AB三种情况，分别求解即可； （3）证明△MGQ≌△QHN（AAS），则MG=QH，GQ=NH，即|2m+6-n|=4，-m=|n|，即可求解． 【详解】解：（1）对于直线y＝2x+6，当x=0时，y=6， ∴B（0，6） 当y=0时，x=-3， ∴A（-3，0） ∵∠CAD+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠CAD＝∠ABO， ∴∠ADC＝∠BOA＝90°，AB＝AC， ∴△ADC≌△BOA（AAS）， ∴AD＝OB＝6，CD＝OA＝3， ∴OD=OA+AD=3+6=9， 故点C的坐标为（﹣9，3）； （2）设点P（x，0）， ∵A（-3，0），B（0，6）， ∴， PB2＝x2+36， AB2＝=45， 当PA＝PB时，即，所以，，解得x＝4.5； 当PA＝AB时，即，所以， ，由平方根的意义得x＝﹣3±3； 当PB＝AB时，即，所以，，由平方根的意义可得x＝3或﹣3（舍去）， 故点P的坐标为（4.5，0）或（﹣3+3，0）或（﹣3﹣3，0）或（3，0）； （3）存在，理由：设点M（m，2m+6），点Q（0，n）， 过点Q作x轴的平行线交过点M与y轴的平行线于点G，交过点N与y轴的平行线于点H， ∵△QMN是以MN为底边的等腰直角三角形，则MQ＝NQ，∠MQN＝90°， 则∠MQG+∠NQH＝90°，∠NQH+∠QNH＝90°， ∴∠MQG＝∠QNH， ∵∠MGQ＝∠QHN＝90°，MQ＝NQ， ∴△MGQ≌△QHN（AAS）， ∴MG＝QH，GQ＝NH， 即|2m+6﹣n|＝4，﹣m＝|n|， 则2m+6﹣n＝4，﹣m＝﹣n或n﹣2m﹣6＝4，﹣m＝n， 解得或， 故点Q的坐标为（0，﹣2）或（0，）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、三角形全等、等腰三角形的性质等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（m，6）（m>0）．点P是OA边上一点，将△CPO沿CP翻折，使点O落在点Q处． (1)若m=8， ①如图1，当点P与点A重合时，连接AQ交BC于点D，求点D的坐标； ②如图2，当以B、C、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△ABQ的面积； (2)在OA边上是否存在点P，使得△ABQ是以AB为底的等腰三角形？若存在，请直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在，且时，使得△ABQ是以AB为底的等腰三角形． 【分析】（1）①由折叠的性质和平行线的性质可证CD=AD，由勾股定理可求CD的长，即可求解；②分两种情况讨论，等腰三角形的性质和勾股定理求出BE的长，即可求解； （2）可证△COQ是等边三角形，分别求出特殊位置时，m的值，即可求解． 【详解】（1）①当m=8， ∴点B的坐标为（8，6）， ∴BC=OA=8，OC=AB=6， ∵BCOA， 由折叠可得：∠CAO=∠DAC， ∴∠BCA=∠DAC， ∴CD=AD， ∵， ∴， ， ∴， ②如图2，当CQ=BQ时，过点Q作QE⊥BC于E，QF⊥AB于F， ∵CQ=BQ，QE⊥BC， ∴CE=BE=4， ∵QE⊥BC，QF⊥AB，∠ABC=90°， ∴四边形QEBF是矩形， ∴QF=BE=4， ∴； 如图3，当BC=BQ=8时，过点Q作EQ⊥CB于E， ∵将△CPO沿CP翻折，使点O落在点Q处． ∴CO=CQ=6， ∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述：当以B、C、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，△ABQ的面积为或； （2）存在， 如图4，过点Q作QN⊥OC于N， ∵△ABQ是以AB为底的等腰三角形， ∴AQ=BQ， ∴点Q在AB的垂直平分线上， 又∵四边形OABC是矩形， ∴点Q在CO的垂直平分线上， ∴CQ=OQ， 又∵CO=CQ， ∴CQ=OQ=CO=6， ∴△COQ是等边三角形， ∵QN⊥CO， ∴ON=3，∠OQN=30°， ∴NQ=ON=3， ∵将△CPO沿CP翻折，使点O落在点Q处． ∴∠PCO=∠PCQ=30°， ∴CO=OP=6， ∴OP=2， 当m≥2时，点Q能落在AB的垂直平分线上， 当m=3时，点Q落在AB上， 综上所述：当m≥2且m≠3时，使得△ABQ是以AB为底的等腰三角形． 【点睛】本题考查了四边形综合，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）． （1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标； （2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标； （3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）OD＝8，点A的坐标（8，6）；（2）（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）（16，0）或（10，0）或（-10，0） 【分析】（1）通过证明△BOC≌△CDA，可得CD＝OB＝2，即可求OD的长，进而即可得到A的坐标； （2）分三种情况：①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C；作△OAC关于直线x=3的对称图形得到△OP2C；③作△OP2C关于x轴的对称图形得到△OP3C， 分别求解，即可； （3）分三种情况：①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰；②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时；③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）， ∴OB＝2，OC＝6， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCO＋∠ACD＝90°，且∠BCO＋∠OBC＝90°， ∴∠ACD＝∠OBC，且AC＝BC，∠BOC＝∠ADC＝90°， ∴△BOC≌△CDA（AAS）， ∴CD＝OB＝2， ∴OD＝OC＋CD＝8，AD=OC=6， ∴点A的坐标（8，6）； （2）①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C， ∴△OAC△OP1C， ∴P1（8，-6）； ②∵点O，C关于直线x=3对称， ∴作△OAC关于直线x=3的对称图形得到△OP2C， ∴△OAC△CP2O， ∴P2（-2，6）； ③作△OP2C关于x轴的对称图形得到△OP3C， ∴△OP2C△OP3C，即：△OP3C△OCA， ∴P3（-2，-6）， 综上所述：P的坐标为：（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）； （3）①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰， ∵AD⊥x轴， ∴点Q1，O关于直线AD对称，即：Q1（16，0）； ②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时， 则OQ2=OA=10， ∴Q2（10，0）； ③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时， 则OQ3=OA=10， ∴Q2（-10，0）， 综上所述：Q的坐标为：（16，0）或（10，0）或（-10，0）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理，掌握分类讨论思想方法是本题的关键． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，平面直角坐标系中，正方形的四个顶点都在坐标轴上，直线的解析式为，E是边上的一点，连接交于K点，的面积等于面积的． (1)求点E的坐标； (2)过A点作于F点，交于Q点，求Q点的坐标； (3)在（2）的条件下，第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标或 【分析】（1）先求得、求得，根据正方形的性质得到，即，如图：过E作于H，根据等腰直角三角形的性质得到，再根据的面积等于面积的求得，进而得到，从而确定点E的坐标； （2）如图：过Q作于G，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，即可确定点Q的坐标； （3）①当，，过P作轴于M；②当，，过P作平行于y轴的中线，过A作于M，过Q作于N，延长交y轴于G，则轴，四边形是矩形；③当时，，分别根据全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则，令，则， ∴、， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， 如图：过E作于H， ，， ， 是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积等于面积的， ，即， ∴， ∴ ∴． （2）解：如图：过Q作于G， ∵四边形是正方形， ，， ∵， ， ， ， ， ∴，， ， ， ，， ， ， ，, ， ， ∴． （3）解：存在， ①当，，过P作轴于M； ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴； ②当，，过P作平行于y轴的直线，过A作于M，过Q作于N，延长交y轴于G，则轴，四边形是矩形， ，， 同理，， ， ， ，， ． ③当时，，如图，这种情况不符合题意， 综上，存在点P，使为等腰直角三角形，点P坐标或． 6．（23-24八年级上·江苏常州·期中）（1）操作思考：如图1．在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为 　；②点的坐标为 　　；（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点在处，点，点为轴上一点．当是以为底的等腰三角形时，直接写出点坐标为 　　； （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点，是线段上的一个动点，点是平面内一点，且坐标为．问是否存在以点为直角顶点的等腰，若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在； 【分析】本题考查了一次函数与三角形的全等； （1）由可得，，，，易证，，，因此； （2）同（1）可证，，，，求得．代入求出直线的解析式，再求出点的垂直平分线解析式，令，即可求出点坐标； （3）分两种情况讨论①当点的横坐标小于5时，②当点的横坐标大于5时．根据等腰构建一线三直角，从而求解． 熟练掌握一次函数的性质与三角形全等判定是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1，作轴，轴． ， ，，， ，， ， ，， ． 故答案为：，； （2）如图2，过点作轴． ，， ， ，， ， ． 设直线的表达式为， 将和代入得， ， 解得， 直线的函数表达式． 是等腰直角三角形， 点在的垂直平分线上， 设线段的垂直平分线的解析式为， 代入点得：， 线段的垂直平分线的解析式为， 令，则， 点的坐标为． 故答案为：； （3）∵， ∴点在直线上， ①当点的横坐标小于5时，如图3， 当时，， ， 当点在点时，存在以点为直角顶点的等腰直角三角形， 此时，解得， ②当点的横坐标大于5时，如图④，设点的坐标为， 在和中， ， ， ，， ， 将点坐标代入，得， 解得， ， ， 故当点的横坐标大于5小于12 时，不存在以点为直角顶点的等腰直角三角形． 综上分析，只有点和点重合时存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，此时． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题07一次函数与三角形的综合问题 题型一 一次函数与等腰三角形问题 1.定三点：找出已知两点、设动点坐标。 2.分三种情况： 两腰：PA=PB 两腰：PA=AB 两腰：PB=AB 3.用两点距离公式列等式。 4.解方程，舍去重合 / 不合理点。 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点C． (1)求的值和点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 2．如图，一次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数交于点，． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在线段AB上是否存在点P，使是以OA为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·福建泉州·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，、、． (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在一个点D，使得是以为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由． (3)在第二象限有一个，使得，请你求出的值． 4．如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 6．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．    (1)求点的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且． ①求点的坐标． ②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二 一次函数与直角三角形问题 1.找直角顶点：分三类：∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°。 2.用斜率垂直：k₁・k₂= −1；或勾股定理：a²+b²=c²。 3.设动点坐标，代入列方程。 4.求解，检验合理性。 1．（23-234八年级上·陕西西安·期末）如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在直线上． (1)求，的值； (2)已知是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 2．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，将边长为3的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使边落在轴的正半轴上，直线：经过点且与轴交于点． （1）求点坐标； （2）求的面积； （3）若直线与轴交于点，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（拓展：若平面直角坐标系内有两点和，则两点间的距离） 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点与y轴交于点点C是直线上的一点，它的坐标为经过点C作直线轴交y轴于点D． (1)求点C的坐标； (2)已知点P是直线上的动点， ①若的面积为4，求点P的坐标； ②若为直角三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标． 6．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，点A在线段上，点B在x轴的正半轴上，且，点B关于点的对称点为点C，连接，设点A的横坐标为t． (1)求k的值，并写出当时x的取值范围． (2)当点A在线段上运动时，设的长为S． ①求S关于t的函数表达式． ②当时，求的长． (3)当为直角三角形时，求t的值． 题型三 一次函数与等腰直角三角形问题 1.先确定：直角顶点 + 两腰相等。 2.构造 “水平竖直” 辅助线，证全等。 3.用坐标平移 / 旋转求点： 顺时针 90°：(x,y)→(y,−x) 逆时针 90°：(x,y)→(−y,x) 4. 代入直线解析式，求参数。 1．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，直线解析式． (1)求点A、B、C的坐标； (2)D为y轴上一点，当线段最短时，求点D的坐标及的面积； (3)P为线段上一点，过P向x轴作垂线交于Q，在y轴上是否存在一点M，使为等腰直角三角形？若存在，求直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴，y轴交于点，直线与直线交于点D，直线过点A，与y轴交于点C，点C的纵坐标是． （1）求直线的解析式； （2）在直线上是否存在点P，点P在直线的左侧，使得，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，点Q是线段的动点，过点Q做 轴，交直线与点M，在x轴上是否存在点N，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，直线经过、两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒， (1)求直线的表达式； (2)当______时，； (3)将直线沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积； (4)在第一象限内，是否存在点P，使A、B、P三点构成等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（23-24八年级下·湖南岳阳·月考）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，，点P是直线上的一点． (1)求直线的解析式； (2)若动点P从点B出发沿射线方向匀速运动，速度为个单位长度/秒，连接，设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； (3)若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、 M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点Q和点M的坐标． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期末）（1）模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．求证：； （2）模型应用：已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，在左侧过点作线段，使，，过点，作直线，求直线的解析式； （3）如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 6．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图1，直线分别与轴，轴交于两点，已知点，． (1)求出点的坐标； (2)经过点的直线将分成面积比为的两部分，求该直线的函数关系式； (3)如图2，直线平移后分别交轴，轴于点，，过点作平行于轴的直线，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型四 一次函数与全等三角形问题 1.找对应边、对应角：先确定全等顶点顺序。 2.用坐标表示边长、斜率表示角度。 3.列全等条件： 边相等：距离公式； 角相等：斜率相等或垂直。 4.解方程求动点，验证对应关系。 1．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．    (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，并求此时M点的坐标． 2．（22-23八年级上·山东济南·期中）如图，直线交y轴于点A，交x轴负半轴于点B，且，P是直线AB上的一个动点，点C的坐标为，直线交y轴点于D，O是原点． (1)求k的值； (2)直线上是否存在一点P，使得与是全等的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P在射线上运动时，连接，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△ACB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E． （1）求点C的坐标； （2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标 　 　（不包括这两个三角形重合的情况）． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，的面积被直线分成的两部分，求此时点C的坐标； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 5．（23-24八年级下·四川泸州·阶段检测）已知直线与轴和轴分别交于A、两点，另一直线过点A和 ． (1)求直线对应的函数解析式； (2)若直线与轴交于点，求证是直角三角形； (3)若点是直线上一个动点，点是轴上的一个动点，当以，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点所有可能的坐标． 6．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，绕O点旋转到的位置，直线交直线于点E． (1)直接写出A点坐标　　　　　　，B点坐标　　　　　　，C点坐标　　　　　　，D点坐标　　　　　　，直线的函数表达式为　　　　　　； (2)如图2，连接，过点O作交直线于点F，求证：； (3)若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 题型五 一次函数与三角形的综合问题 1.先把已知点、直线解析式、交点坐标全部求出来。 2.拆分条件：把问题拆成等腰 / 直角 / 等腰直角 / 面积 / 全等小模型。 3.设动点坐标，用距离公式、斜率、勾股、面积公式列方程。 4.解方程，检验、舍去不合题意的点。 5.结合图像验证，写出最终答案。 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求点C的坐标． (4)直接写出折痕BC所在直线的表达式． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，过点C作CD⊥x轴于点D，求点C的坐标； （2）如图2，在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图3，点M为直线AB上一动点，点为x轴上一定点，当点M在直线AB上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△QMN是以MN为底边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（m，6）（m>0）．点P是OA边上一点，将△CPO沿CP翻折，使点O落在点Q处． (1)若m=8， ①如图1，当点P与点A重合时，连接AQ交BC于点D，求点D的坐标； ②如图2，当以B、C、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△ABQ的面积； (2)在OA边上是否存在点P，使得△ABQ是以AB为底的等腰三角形？若存在，请直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 4．如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）． （1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标； （2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标； （3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，平面直角坐标系中，正方形的四个顶点都在坐标轴上，直线的解析式为，E是边上的一点，连接交于K点，的面积等于面积的． (1)求点E的坐标； (2)过A点作于F点，交于Q点，求Q点的坐标； (3)在（2）的条件下，第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24八年级上·江苏常州·期中）（1）操作思考：如图1．在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为 　；②点的坐标为 　　；（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点在处，点，点为轴上一点．当是以为底的等腰三角形时，直接写出点坐标为 　　； （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点，是线段上的一个动点，点是平面内一点，且坐标为．问是否存在以点为直角顶点的等腰，若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $