四川省成都市北师大版2025—2026学年七年级下学期数学期末考试模拟培优卷

**基本信息** 以北师大版七年级下册知识为核心，融合文化传承（祖冲之圆周率）、实际应用（池塘测距、骑行函数图象）与动态探究（双圆柱注水高度差），分层考查数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|轴对称图形、科学记数法、全等判定、函数图象等|以运动会会标（第1题）、祖冲之圆周率（第2题）为情境，考查几何直观与抽象能力| |填空题|10题40分|概率计算、折叠角度、多项式乘法、圆面积比等|结合折叠问题（第10题）、完全平方公式（第19题），体现运算能力与空间观念| |解答题|8题78分|函数图象应用、几何证明、动态几何探究等|骑行路程函数（第17题）、面积法推理（第24题）、等边三角形旋转最值（第26题），分层考查模型意识与创新意识|

2025—2026学年四川省成都市北师大版七年级下学期数学期末考试模拟培优卷 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟。 3.选择题不分，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.非选择题部分，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. A卷（100分） 一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．以下是某些运动会会标，其中是轴对称图形的是（    ） A．  B．   C．  D．   2．我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 4．下列事件中不是随机事件的是（　　） A．打开电视机正好在播放广告 B．从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球 C．从课本中任意拿一本书正好拿到数学书 D．明天太阳会从西方升起 5．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（    ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 6．一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，为直角三角形，，，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A．B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．一个不透明的袋子里装有白球、黄球共35个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.6左右，则袋子中白球的个数最有可能是______个． 10．如图，将一张长方形纸条沿折叠，已知，则的度数为______． 11．一个长方形的一条边长为，另一条边长为，它的面积为，则S与x之间的关系式为__________． 12．若与的乘积中不含的一次项，则的值为______． 13．如图，在中，，，垂足分别为，，，交于点，已知，，则的长为______． 三、解答题（48分） 14．（12分）计算下列各题： (1)； (2)． 15．（8分）先化简，再求值：，其中，． 16．（8分）一个袋中装有6个红球，18个白球，这些球除颜色外都相同，混合均匀后； (1)从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为多少？ (2)如果往袋中放入若干个红球（形状大小与袋中球完全一样），再取出相同数量的白球，从中任意摸出一个球，使摸出红球的概率是摸出白球的两倍，求放入了多少个红球？ 17．（10分）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上出行小星某天骑自行车上班从家出发到图书馆的过程中行进速度v（米1/分）随时间t（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段，和组成．设线段上有一动点，直线l过点T且与横轴垂直，梯形在直线l左侧部分的面积即为t分钟内小星行进的路程（米）．    (1)①当分钟时，速度______米/分钟，路程______米； ②当分钟时，速度______米/分钟，路程______米； (2)当和时，分别求出路程（米）关于时间（分钟）的函数解析式． 18．（10分）如图，交于点H，连． (1)求证：； (2)求；（用含α的式子表示） (3)求证：平分． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．若是一个完全平方式，则的值为______． 20．如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为，和，则白色区域面积占整个面积的比值为______． 21．已知，则_______． 22．已知，则的值是________． 23．在x+p与x2-2x+1的积中不含x，则p的值为_________． 二、解答题（30分） 24．（8分）对于一个图形，利用两种不同的．方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如，由图1可以得到等式，这样的方法称为面积法． 【直接应用】： （1）已知，，求的值； 【类比应用】： （2）已知，，求的值； 【知识迁移】： （3）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，类比图1的方法可以得到等式：______； 利用所得等式解决下题：已知，，求的值． 25．（10分）（1）如图，在长方形中，长为，宽为．除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为． 求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）； 分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积； 若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由． （2）如图1，梯形上底的长为，高，动点P以的速度从A点出发，以的路径运动，记的面积为．y与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示． 求的长； 求图2中m，n的值； 求点P在线段上运动时，y与t的关系式． 26．（12分）如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． (1)如图1，若，求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 参考答案 1．B 2．A 3．A 4．D 5．B 6．C 7．A 8．B 9．14 10． 11． 12． 13．4 14．【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．【详解】 ， 当，时， 原式． 16．【详解】（1）解：∵一只袋里放着6个红球、18个白球， ∴从袋中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中取出红球包含6种情况， ∴取出红球的概率为； （2）解：设放入红球x个， 根据题意，得， 解得， 答：放入了10个红球． 17．【详解】（1）解：①由图象可知分钟内速度由增加到米/分钟，每分钟增加米，故当分钟时，速度米/分钟，此时路程（米）； 故答案为：，；   ②由图象可知当分钟时，速度米/分钟，路程（米）． 故答案为：，； （2）①当时，设直线的解析式为，由图象可知点， ∴，解得，则． 设与的交点为，则， ∴．    ②当时，设与的交点为，则， ∴．    18．【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在中， ， ∴； （2）解：设交于点O， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）证明：过点C作于M，于N， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 19． 20． 21．4 22． 23． 24．【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：根据图形的面积，用不同方法表示，得到 ， 故答案为：， 根据公式，变形，得， 又，， 故． 25．【详解】（1）解：①大长方形的长为3m，小长方形的宽是xm， 每个小长方形的长为（m） ②由题意可得，阴影M的长为m，宽是（m）， 阴影N的长为（m），宽是（m）， ③ 当时，阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化 解得 （2）解：①由图2可知，点P从的运动时间为（s）， （cm） ②根据题意得：（）， （s） 图2中m的值为，n的值为15． ③由图2可知，点P在线段上运动时，， ， 即． 26．【详解】（1）解：， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：；证明如下： 由旋转的性质得： 如图，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴∴， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使，连接， 因，则， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 当时， 取最小值，即取最小值，此时． 学科网（北京）股份有限公司 $