精品解析：湖南永州市蓝山县2025-2026学年下学期期中学业质量监测八年级数学（试题卷）

2026年上期期中学业质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，24个小题．如有缺页，考生须声明． 亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 年月日，在永州体育场举办的“永港之星·日升站”青少年足球友谊赛开幕式上，响起了这句歌词：“个民族朵花，个民族兄弟姐妹是一家”．此次友谊赛促进了永州与香港的文化、足球交流，我国五十六个民族团结一体，各具特色．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：题中服饰图案是中心对称图形的是A选项，其余B、C、D图案均不是中心对称图形． 2. 已知点，则点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特征，解题的关键是掌握相关基础知识． 根据关于轴对称的点的坐标规律，即纵坐标不变，横坐标变为相反数，直接求解即可. 【详解】解：∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， 故选：A 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 四条边相等 C. 四个角相等 D. 对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，平行四边形的对角线互相平分，矩形和菱形都属于平行四边形，是两者共有的性质，不符合题意； 选项B，四条边相等是菱形具有的性质，矩形不具有，不符合题意； 选项C，矩形四个角都是直角，因此四个角相等，菱形仅对角相等，四个角不一定相等，符合题意； 选项D，对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不具有，不符合题意． 4. 如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时，四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 5. 如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，即可得出，，根据等角对等边得出，，根据线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 6. 平面直角坐标系内，点A(，n)一定不在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 点的坐标为(，n)，计算得． ∴ 点的纵坐标一定比横坐标大． 若点在第四象限，则需满足，由得，与矛盾，不存在满足条件的n，因此点一定不在第四象限． 对其余象限验证： 若点在第一象限，需满足，解得 ，存在满足条件的n，故点可以在第一象限． 若点在第二象限，需满足，解得，存在满足条件的n，故点可以在第二象限． 若点在第三象限，需满足，解得，存在满足条件的n，故点可以在第三象限． 因此点一定不在第四象限． 7. 如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点，交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质． 证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求得，即，即可得到；依据，，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形的中位线定理可得出，则可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ，即， ，故①符合题意； ，， ， 平分，故②符合题意； 中，， ，故③不符合题意； 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 故④符合题意， 所以正确的有：①②④． 故选：C． 8. 如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 9. 如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确； ②先证四边形是平行四边形，再证是等边三角形，得，则四边形是菱形，②正确； ③由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出③正确． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中位线， ，故①正确； ， 是等边三角形， ， 平行四边形是菱形，故②正确； 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形与四边形面积相等，故③正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、图形旋转的性质和坐标规律探究，掌握通过多次旋转操作归纳坐标周期规律，再利用规律求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过前几次旋转找到点​的坐标规律，最后根据规律计算的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为 ，点的坐标为 ，点为坐标原点 ∴， ∴在中，根据勾股定理可得： ∵ 将绕点顺时针旋转到​，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将 绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点在的正上方，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点的坐标为，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为  ∵ 将绕点顺时针旋转到 ∴ ，点在的正上方，所以点的坐标为 通过观察点和 的坐标，可以发现规律： 对于偶数下标点，其坐标恒为，坐标为 即点的坐标为 ∵的下标为，是偶数 ∴令，解得 ∴点的坐标为 ∴点的坐标为． 故选：B． 二、填空题（本答题共6个小题，每小题3分，共18分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若点与点关于轴对称，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用关于x轴对称“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求得m的值． 【详解】解：∵点A(2，m)与点B(2，-3)关于x轴对称， ∴-3+m=0， ∴m=3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了关于x轴对称点的坐标变化，掌握关于轴对称坐标变化法则是解题关键． 12. 如图，两条宽为1cm的长纸条倾斜地重叠成一个四边形．如果，那么这个四边形的周长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据勾股定理求出的长，证明四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 由勾股定理得， 由题意可知，，且， ∴四边形为平行四边形， 在和中， ∴， ∴， ∴为菱形， ∴四边形的周长为． 13. 长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，由A，D横坐标相同，可得轴，进而可得轴，结合即可求解． 【详解】解：， 轴， 四边形是长方形， 轴， ，， 点的坐标为，即， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，点在边上由点向点运动，点在边上由点向点运动，两点同时运动同时停止，若点与点的速度分别为和，则经过_____后，四边形成为矩形． 【答案】 【解析】 【分析】设运动时间为秒，用含的式子表示和，再根据矩形对边相等的性质列方程求解得到时间． 【详解】解：设经过后，四边形为矩形， 四边形为矩形，， ， 点与点的速度分别为和， ，， ， ，解得． 15. 如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据平行四边形的性质求出，，根据勾股定理逆定理求出，即可判定四边形 是菱形，根据菱形的性质求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意知， ，， ∵ ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴平行四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， 即点 O 到的距离为． 16. 如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接EF，给出四种情况： ①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则； ③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．正确的有______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】此题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则 ，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小，利用求得，即得线段的最小值为，即可判定正确；熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴ 四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即的值为定值，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有，共个， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题8分，第19、20、21、22题每小题9分，第23、24题每小题10分，共72分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 已知点． （1）若点P在轴上，求点P的坐标； （2）若点，轴，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查x轴上和平行于y轴上点坐标的特征，根据此特征确定点的横坐标或纵坐标是解答此题的关键． （1）根据x轴上点的纵坐标为，得，求m值即可得P点坐标； （2）根据题意直线，可得P、Q的横坐标均为，由此得，确定m值可得P点的横坐标，进而计算长． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得， ∴， ； 【小问2详解】 解：轴， ， ， ， ． 18. 如图，解答下列问题： （1）写出三点的坐标A________，B________，C_________； （2）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点，所得的与关于________对称； （3）已知P为x轴上一点，若的面积是的面积的4倍，________和点P的坐标________． 【答案】（1），， （2）画图见解析，x （3）5，或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称．熟练掌握轴对称的性质，分割法求面积，是解题的关键． （1）根据点的位置，直接写出点的坐标即可； （2）确定点的坐标，描点后，观察即可得出关系； （3）利用分割法求的面积；设的高为h，P点坐标为，面积公式求出的值，进而求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：由图可知：A，B，C三点的坐标分别是，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：如图所示，由图可知：与原的位置关系是关于x轴对称． 【小问3详解】 解：． 设边上的高为h，P点坐标为， ∵， ∵的面积是的面积的4倍， ∴， 解得 ∴当点P在x轴负半轴时，； 当点P在x轴正半轴时，， ∴点P的坐标为或． 故答案为：5，或． 19. 如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到、，结合对顶角相等，证明与全等，进而证得； （2）由平行四边形对边相等得，结合可知为直角三角形，用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形面积公式计算面积。 【小问1详解】 证明：在中，，， ， ， ． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， 是直角三角形． 根据勾股定理，． ∴． 20. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）连接、，证四边形是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质，求得长即可． 【小问1详解】 证明：连接，． 点，分别为，的中点， ，． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 与互相平分， ； 【小问2详解】 解：在中， 为的中点，， ． 又四边形是平行四边形， ． 21. 如图，湘超冠军永州队的训练战术板为矩形，球员林昊沿跑位，防守队员谷文杰沿拦截，点是边上一点，，于点． （1）求证：． （2）若分米，分米，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）10分米 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质以及证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：矩形， ，，， ， ， ， 又， ， ． 【小问2详解】 解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， 分米． 22. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）证明四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴在中，， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接，∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 又∵四边形是菱形，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 23. 定义：若一个点到某条直线和某条坐标轴的距离相等，则称这个点为这条直线和这条坐标轴的“等距点”如图，在下图的平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，点的坐标为，点在轴正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且． （1）点坐标为____________，点的坐标为____________． （2）若的面积为6，求点的坐标． （3）若点是直线和轴的“等距点”，且点在轴上，则点坐标为_____________． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出即可求得点A的坐标；再利用勾股定理求得，即可确定点C的坐标； （2）设点P的坐标为，则，再利用的面积求出6，列绝对值方程求得m的值，即可求出P的坐标； （3）根据坐标距离结合面积公式得出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点A在y轴正半轴上， ∴． 在中，， ∴， ∴点C的坐标为． 【小问2详解】 解：设点P的坐标为，则， ∵， ∴， ∴或， ∴P的坐标为或． 【小问3详解】 解：设点P的坐标为，则点P到y轴的距离为，； 设点P到直线的距离为h， ∵， ∴， ∵点P到直线和y轴的距离相等， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或． 24. 图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①求证：； ②若，则正方形的周长为_________； 【数学理解】（2）如图2，正方形的边长为4，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，则的长为__________； 【拓展研究】（3）如图3，正方形的边长为4，点是边上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，则长的最小值为___________． 【答案】（1）①见解析；②60；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形三边的关系，勾股定理及应用等知识，解题关键是掌握全等三角形判定与性质． （1）①先根据正方形的性质得出，再根据旋转的性质得出，，，，然后证明，根据全等三角形性质与线段的和差得到结论成立；②先根据勾股定理求得，再求得，从而可求得，再求出正方形的边长，从而可求得正方形的周长； （2）在上截取，连接，证明，得到，利用勾股定理求解即可； （3）在上截取，连接，同（2）证明，得到，得到点在射线上，则当时，长取得最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至， ∴，，，， ∴，， ∴点M在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为； （2）在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）在上截取，连接， 同（2），同理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上， ∴当时，长取得最小值，此时是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期期中学业质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，24个小题．如有缺页，考生须声明． 亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 年月日，在永州体育场举办的“永港之星·日升站”青少年足球友谊赛开幕式上，响起了这句歌词：“个民族朵花，个民族兄弟姐妹是一家”．此次友谊赛促进了永州与香港的文化、足球交流，我国五十六个民族团结一体，各具特色．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，则点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 四条边相等 C. 四个角相等 D. 对角线互相垂直 4. 如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（  ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 平面直角坐标系内，点A(，n)一定不在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 7. 如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点，交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本答题共6个小题，每小题3分，共18分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 若点与点关于轴对称，则_______． 12. 如图，两条宽为1cm的长纸条倾斜地重叠成一个四边形．如果，那么这个四边形的周长为______cm． 13. 长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为__________． 14. 如图，在矩形中，，点在边上由点向点运动，点在边上由点向点运动，两点同时运动同时停止，若点与点的速度分别为和，则经过_____后，四边形成为矩形． 15. 如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ． 16. 如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接EF，给出四种情况： ①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则； ③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．正确的有______． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题8分，第19、20、21、22题每小题9分，第23、24题每小题10分，共72分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 已知点． （1）若点P在轴上，求点P的坐标； （2）若点，轴，求线段的长度． 18. 如图，解答下列问题： （1）写出三点的坐标A________，B________，C_________； （2）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点，所得的与关于________对称； （3）已知P为x轴上一点，若的面积是的面积的4倍，________和点P的坐标________． 19. 如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 20. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，湘超冠军永州队的训练战术板为矩形，球员林昊沿跑位，防守队员谷文杰沿拦截，点是边上一点，，于点． （1）求证：． （2）若分米，分米，求的长． 22. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）证明四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 23. 定义：若一个点到某条直线和某条坐标轴的距离相等，则称这个点为这条直线和这条坐标轴的“等距点”如图，在下图的平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，点的坐标为，点在轴正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且． （1）点坐标为____________，点的坐标为____________． （2）若的面积为6，求点的坐标． （3）若点是直线和轴的“等距点”，且点在轴上，则点坐标为_____________． 24. 图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①求证：； ②若，则正方形的周长为_________； 【数学理解】（2）如图2，正方形的边长为4，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，则的长为__________； 【拓展研究】（3）如图3，正方形的边长为4，点是边上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，则长的最小值为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $