6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量应用，核心内容为直线的方向向量、平面的法向量及平面方程，从空间向量基础引入，搭建从向量概念到空间几何应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合正方体、长方体等实例，通过讲练结合与规律总结（如求法向量四步法、平面方程两种方法），培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。学生能掌握方法提升解题能力，教师可直接用于教学提高效率。

6.3 空间向量的应用 6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 1 【课标要求】 1.了解直线的方向向量与平面的法向量. 2.会用待定系数法求平面的法向量. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.直线的方向向量 把直线上的向量以及与共线的非零向量叫作直线 的方向向量. 名师点睛 （1） 在空间中,一个向量成为直线 的方向向量,必须具备以下两个条件：①是非 零向量；②向量所在的直线与 平行或重合. （2）与直线平行的任意非零向量都是直线的方向向量,且直线 的方向向量有无 数个. 4 知识点2.平面的法向量 如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面 ,那么称向量 垂直于平面 ,记作 ,此时,我们把向量叫作平面 的法向量. 名师点睛 （1）平面 的一个法向量垂直于平面 内的所有向量. （2）一个平面的法向量有 无数个,它们相互平行. 5 知识点3.平面方程的表示 1.在空间直角坐标系中,平面可以用关于,, 的三元一次方程来表示. 2.平面 经过点,是平面 内任意一点,则平面 的法向量为 的平面方程为 . 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】直线的方向向量 例1（1） 已知直线的一个方向向量,且直线过和 两 点,则 ( ) A A.0 B.1 C. D.3 8 [解析] 和 , . 直线的一个方向向量为 , 可设, , 解得 . （2）在如图所示的空间直角坐标系中, 为正方 体,棱长为1,则直线的一个方向向量为_______,直线 的一 个方向向量为______________________. （答案不唯一） [解析] 因为, , 故直线的一个方向向量为 . 因为, , 故直线的一个方向向量为 . 题后反思 理解直线方向向量的概念 （1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量. （2）直线的方向向量不唯一. 10 跟踪训练1 已知向量和都是直线的方向向量,则 的值 是( ) A A. B.1或 C. D.1 [解析] 由题意得,所以解得 . 11 【题型二】平面的法向量 例2 如图,在长方体中,, , ,是的中点.以为原点,,, 所在直线分别为 轴、轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求平面 的法向量； 解 因为轴垂直于平面,所以是平面 的一个法向量. 12 （2）求平面 的法向量. 解 因为,,,是 的中点, 所以,,的坐标分别为,, , 因此, . 设是平面 的一个法向量, 则, , 所以所以 取,则,,于是是平面 的一个法向量.（答案不唯一） 13 规律方法 求平面法向量的步骤 一 设出平面的法向量为 二 找出（求出）平面中两个不共线的向量的坐标, 三 根据法向量的定义建立关于,,的方程组 四 解方程组,取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数个,因此可在方程 组的解中取一个较简单的作为平面的一个法向量） 14 跟踪训练2 在正方体中,,分别为棱 , 的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求： （1）平面 的一个法向量； 解 设正方体 的棱长为2, 则,,,, . 连接（图略）, 平面 , 为平面 的一个法向量. 15 （2）平面 的一个法向量. 解 , . 设平面的一个法向量为 . 令,得, . 即为平面 的一个法向量.（答案不唯一） 16 【题型三】平面方程的表示 例3（1） 在空间直角坐标系中,经过点,且法向量为 的平面的方 程为( ) A A. B. C. D. [解析] 在平面上任取一点 , . 平面的一个法向量为 , , .故选A. 17 （2）在空间直角坐标系中,已知点,,,试求出经过,, 三点的 平面的方程. 解 设所求平面方程为 , 将点,, 分别代入上式, 得 , 不妨取,得,, , 经过,,三点的平面的方程为 . 18 规律方法 求平面方程的两种方法 法向量 法 利用法向量与平面内的任一向量垂直,即求解,其中为平面的法向量, 为平面内的任一向量 待定系 数法 设所求平面方程为 ,然后代入相关点的坐标解方程（组） 19 跟踪训练3 在空间直角坐标系中,设平面 经过点,平面 的一个法向量为 ,是平面 内任意一点,求,, 满足的关系式. 解 由题得 . 因为是平面 的一个法向量,所以 , 从而 , 即 , 得到 . 20 $