20.1.1 勾股定理 课时练习-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 勾股定理同步练习通过基础、中档、提高三层设计，实现从单一计算到综合应用的知识巩固，适配新授课教学，培养抽象能力、推理意识和创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理基本计算、坐标距离|单选题1-2直接应用，填空题7基础计算| |中档|新定义应用、面积关系、动态问题|单选题4“垂美四边形”，填空题8半圆与正方形面积结合| |提高|分类讨论、构图法、定理证明|解答题11动态直角三角形分类，14勾股定理拼接证明|

20.1.1勾股定理 课时练习 一、单选题（本大题共6小题） 1.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,且BC=6,AC=5,则AD长为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.△ABC是直角三角形，∠C=90°，若AB=15,AC:BC=3:4,则这个直角三角 形的周长为() A.22 B.60 C.36 D.54 3.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 () A.49 B.64 C.225 D.289 4.对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形”，现有如图所示的垂美四边形 ABCD,对角线AC,BD交于点0.若AD=2,BC=7,则AB2+CD2=() A.45 B.49 C.50 D.53 5.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD=5,CD=4,且AC=AD.记AB长 为x,AC长为y,当x,y变化时，下列代数式的值不变的是() A.x2+y2 B.x2-y2 C.x+y D.x-y 6.如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，己知倾斜放置的3个正方形的面 积分别为1,2,3，水平放置的4个正方形的面积分别为S1,S2,S3,S4,则 S1+S2+S3+S4=() sss人 s. A.5 B.6 C.4 D.8 二、填空题（本大题共4小题) 7.在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标是(2,4)，则点P到原点0的距离 为 8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AC,AB为直径向外作两个半 圆，面积分别记为S1和S2·在Rt△BCD中，∠BCD=90°，分别以BD,CD为边 向外作两个正方形，面积分别记为S3和S4·若S1-S2=2m,S3=41,则S4的值 为 S 9.△AB的三边长分别是a,b,c,且满足a-8+(（b-6)2=0,则当c= 时，△ABC是直角三角形 10.如图，AB,BC,CD,DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A,C,E共线. 若AC=6cm,CD⊥BC,则线段CE的长度是 cm. 三、解答题（本大题共4小题) 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm,动点 P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为ts· 备用图(1) 备用图(2) (1)求BC的长： (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值： (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值. 12.图(1)、图（2)均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形 的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图 图(1) 图(2) (1)在图(1)中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数. (2)在图(2)中，画出一个面积为10的正方形. 13.综合运用： 在△ABC中，AB,BC,AC三边的长分别为5V103 ，求这个三 角形的面积.”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方 形的边长均为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小 正方形的顶点处)，如图(1)所示，这样不需要求出△ABC的高，借用网格 就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法. mi 图(1) 图(2) 图(3) (1)直接运用： ①请直接写出图(1)中△ABC的面积为 ②请在图(2)中画出一个面积为10且顶点都在格点上的等腰直角三角形 (2)若△MNP的边长分别为，m2+16n2V9m2+4n2V4m2+4n2(m>0’ n>0，且m≠)，试运用构图法在图(3)中画出相应的△MNP，并用m, n表示△MNP的面积. 14.学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法某同学提出了一 种证明勾股定理的方法：如图(1)，点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB, 得到直角三角形ACB,三边分别为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF位置， 如图(2)所示，该同学利用图(1)、图(2)的面积不变证明了勾股定理请你 写出该方法证明勾股定理的过程 CaB CaB 图(1) 图(2) 答案 1.D 解析：在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,BC=6,·CD=BD=BC=3, LADC=90°.在Rt△ADC中，AC=5,AD=VAC2-CD2=4,故选D. 2.C 解析：由题可设AC=3x,BC=4x.在Rt△ABC中，∠C=90°，则 AC2+BC2=AB2,(3x)+(4x=152,解得x=3(负值已舍去)，·AC=9, BC=12,÷这个直角三角形的周长为9+12+15=36，故选C 3.B 解析：如图，在Rt△ABC中，AB=17,AC=15,则 BC2=AB2-AC2=172-152=64.:四边形BCDE为正方形， ·DE2=BC2=64.在Rt△EFD中，DP2+EF2=DB2=64,:阴影部分面积是 64,故选B 4.D 解析：在Rt△A0B与Rt△C0D中，由勾股定理得AB2=OA2+0B2, CD2=0D2+0C2;在Rt△A0D和Rt△B0C中，由勾股定理得AD2=0A2+0D2 BC2=0B2+0C2 ·AB2+CD2=0A2+0B2+0C2+0D2=AD2+BC2=22+72=53,故选D 5.B 解析：如图，过点A作AE⊥BC,垂足为E,:∠AEB=90,:AC=AD=y, AELBC,DE=CE=CD=2.BD=5,.BE=BD+DE=5+2=7. Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=x2-49,在Rt△ADE中， AE2=AD2-DE2=y2-4,ax2-49=y2-4,ax2-y2=45.故当x,y变化时， 代数式x2-y2的值不变.故选B B 6.C 解析：如图.：在水平直线上依次摆着7个正方形， :∠ABD=∠ACB=∠BED=90°，AB=DB,·∠ABC+∠DBE=90°， ∠ABC+∠CAB=90°，·∠CAB=∠DBE.在△ABC和△BDE中， I∠ACB=∠BED, ∠CAB=LEBD,·△ABC≌△BDE AAS ,·AC=BE.在Rt△BDE中， AB-BD, DE2+BE2=BD2,DE2+AC2=BD2 S1=AC2,S2=DE2,BD2=1, ·S1+S2=1,同理可得S3+S4=3,S1+S2+S3+S4=1+3=4.故选C 7.25 解析：如图，过点P作PA⊥x轴，交x轴于点A,连接0P.:点P的坐标是(2,4)， 0A=2,AP=4,·0P=V0A+AP2=V22+4=2V5,即点P到原点0的距离 为2W5,故答案为25. 2 -10123 8.25 解析：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，÷AB2+BC2=AC2, S2+m(BC=S1,S1-S2=言π·BC2:S1-S2=2m，2m=π~BC2, :BC2=16.在Rt△BCD中，∠BCD=90°，：BC2+CD2=BD2, S4=S3-BC2=41-16=25,故答案为25. 9.10或2万 解析：根据题意可得a-8=0,b-6=0,解得a=8,b=6,所以当△ABC是 直角三角形时，c2=a2+b2=62+82=100或c2=a2-b2=82_62=28,所以 c=10或2W万. 10.8 解析：如图，作BG⊥AC,DH⊥CB,垂足分别为G,H, ÷∠BGC=∠DHC=90°，÷∠BCG+∠CBG=90::CD⊥BC,÷∠BCD=90°， ∠BCG+∠DCH=90°，∠CBG=∠DCH.在△BCG和△CDH中， I∠CBG=∠DCH, ∠BGC=∠CHD, BC=CD, ÷△BCG≌△CDH(AAS),·BG=CH.:AB=BC,BG⊥AC,AC=6, :CG=AC=3.在Rt△BCG中，由勾股定理得BG=√BC2-CG2=52-32=4 ，·CH=4.:CD=DE,DH⊥CE,÷CH=EH=4,·CE=CH+EH=8,故 线段CE的长度是8cm,故答案为8. 11 (1)解：在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=102-62=64，BC=8Cm· (2)由题意知BP=2tcm· ①如图(1)，当∠APB为直角时，点P与点c重合，·BP=BC=8cm, at=4; ②如图(2)，当∠BAP为直角时，CP=(2t-8)cm.在Rt△ACP中， AP2=62+(2t-8)2, 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2, 102+[62+(2t-8)2]=(2t)2, 解得t= 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t=4或空· C(P) 图(1) 图(2) (3)①如图(3)，当AB=BP时，2t=10,t=5; 图(3) ②如图(4)，当AB=AP时，BP=2BC=16cm，:2t=16,t=8; 图(4) ③如图(5)，当BP=AP时，AP=BP=2tcm,CP=2t-8lcm’ AC=6cm· 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2, (2t)2=62+(2t-8)2, 解得t=等 图(5) 综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t=5或8或5 12. (1)解：如图(1)所示，Rt△ABC即为所求 A 图(1) (2)如图(2)所示，正方形ABCD即为所求 图(2)》 13. ①3 ②解：如图(1)，△DEF即为所求 图(1) (2)如图(2)，由勾股定理得MN=Vm2+16n2NP=V9m2+4n2, PM=V4m2+4n2,÷△MNP即为所求， 图(2)》 △MNP的面积为 3m×4n-号×m×4n-支×2m×2n-支×3m×2n=12mn-2mn-2mn-3mn=5mn 解析： ①由网格可得s4BC=3×3-专×1×3-吉×1×2-专×2×3=号，故答案为 14.证明：如图，连接BF. :AC=b,÷正方形ACDE的面积为b2:CD=DE=AC=b,EF=BC=a, BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b.:∠CAE=90°， ∠BAC+∠BAE=90°，：∠BAC=∠EAF,·∠EAF+∠BAE=90°， :∠BAF=90°.又：AB=AF=C,△BAF为等腰直角三角形，·四边形ABDF 的面积为c2+(b-a+b)=c2+b2-a2):正方形ACD的面积与四边 形ABDF的面积相等，b2-c2+(b2-a2),b2=c2+b2-a2, a2+b2=c2,a2+b2=c2