专题10 特殊平行四边形中的最值模型之瓜豆原理（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级下册

该初中数学讲义以瓜豆原理为核心，系统梳理特殊平行四边形中的最值模型，通过“模型解读-证明-运用-易错点总结”框架呈现知识脉络，明确两动一定、定角定比的核心条件，区分直线与圆弧轨迹类型，构建从原理到应用的递进体系。 讲义亮点在于结合矩形、菱形、正方形等载体设计例题，如2024泰安中考菱形动点最值题，通过“找定点-定主动-判两定-推轨迹-求最值”步骤培养推理意识与几何直观。配套分层练习题覆盖不同难度，易错点总结助力学生规避轨迹判断等常见错误，支持教师实施精准复习教学。

专题10 特殊平行四边形中的最值模型之瓜豆原理 几何双动点最值问题抽象性强、变化灵活，而瓜豆模型是破解此类问题的“万能钥匙”。当瓜豆模型与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形结合时，可依托图形的边长、角度、对角线性质，快速判断从动点轨迹，实现复杂最值问题的简化求解。本专题就特殊平行四边形中的瓜豆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹） 2 【模型解读】 2 【模型证明】 3 【模型运用】 3 【模型运用】 4 【易错点总结】 12 【模型小结】 12 12 模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹） 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N， ∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1， ∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线． 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）为其他已知轨迹的线段求最值。 例1（2024•泰安）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，△是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】 【分析】法一：由动点可识别瓜豆模型，构造△△，进而再证△△，所以可知，进而求出最小值即可． 法二：作，则点、、、四点共圆，从而得到，因为，所以求出的值即可得解． 【解答】解：法一：如图，过作，过作的垂线交于点， 则， ， ， △△， ， ， ， △△， ， ， 过作于点，则， 点是上的一点， 时最小，此时， 最小值为； 法二：如图，过作于点，作于点，作于点， ，点、、、四点共圆， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 最小值是． 故选：． 例2如图，正方形的边长为5，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边△，连接，则的最小值为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】 【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【解答】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动， 将△绕点旋转，使与重合，得到△△， ，，， △为等边三角形，点在垂直于的直线上， 作，则即为的最小值， 作，可知四边形为矩形， ， ， 则， 故选：． 例3（2025•昆山市模拟）如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，连接，则可得，进而可知为定值，因此时，最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出、，即可求出结果． 【解答】解：如图，过点作于点，连接， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即在点的运动过程中，的大小不变且等于， 当时，最小， 设此时， ， ， ， ， ， 代入，解得， ， ， ， 故答案为：． 例4（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 例5（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，对角线相交于，．点关于的对称点为，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，连接CF，则线段长的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，，，，由矩形性质可得，，，，然后证明是等边三角形，则，又点与关于对称，所以，，从而可得四边形是菱形，所以，又将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，所以，，证明，所以，要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵点与关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴线段长的最小值为． 例6（2022·福建漳州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论： ①；②；③直线；④点E运动的路程是． 其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，即可得出结论①正确； ②如图，连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确； ③通过等量代换即可得出结论③正确； ④如图，延长至 ，使，连接 ，通过，，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段 运动到，从而得出结论④错误． 【详解】 解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA， ∴△OAD为等边三角形， ∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD， ∵△DFE为等边三角形， ∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE， ∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°， ∴∠BDE＝∠ADF， ∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°， ∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°， ∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°， ∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°， ∴∠ADF＝∠EFC， ∴∠BDE＝∠EFC， 故结论①正确； ②如图，连接OE， 在△DAF和△DOE中， ， ∴△DAF≌△DOE（SAS）， ∴∠DOE＝∠DAF＝60°， ∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠COE＝∠DOE， 在△ODE和△OCE中， ， ∴△ODE≌△OCE（SAS）， ∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE， 故结论②正确； ③∵∠ODE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF， 故结论③正确； ④如图，延长OE至，使＝OD，连接， ∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°， ∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到， ∵＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝4•tan30°＝ ， ∴点E运动的路程是， 故结论④错误． 故答案为①②③． 【点睛】 本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 找错定点：误将动点当作定点，导致轨迹判断完全错误； 混淆旋转角：未结合特殊平行四边形内角，旋转角度数判断失误； 轨迹判断失误：忽略特殊平行四边形边界，误判从动点轨迹范围； 比例用反：缩放比k分子分母颠倒，导致长度计算错误； 模型混淆：将军饮马、胡不归、瓜豆模型不分，盲目套用辅助线。 【瓜豆模型通用解题步骤】 找定点：锁定运动中始终不变的定点； 定主动：确定自主运动的主动点及其轨迹（直线 / 线段）； 判两定：确定旋转角（定点与两动点连线夹角）、缩放比（定点到两动点线段长度比）； 推轨迹：由主动点轨迹，推出从动点轨迹（直线型瓜豆轨迹为线段）； 求最值： 线段最值：定点到从动点轨迹的垂线段最短； 端点最值：从动点轨迹两端点与定点连线长度。 1．如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于．首先证明，推出点的在射线上运动，推出当时，的值最小． 【解答】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于． 四边形是矩形， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 点的在射线上运动， 当时，的值最小， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：． 2．（2025·四川绵阳·一模）如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，设直线交于点，证明，推出，得到点在直线上运动，当在线段上即时，此时线段有最小值，据此即可求解. 【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点， 设直线交于点， ∵点是中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当在线段上即时，此时线段有最小值， 同理可得四边形是矩形， ∴， 故选：D. 3．（2025秋•工业园区校级期中）如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为 ． 【答案】． 【分析】由题可识别瓜豆模型，从而先找出点的轨迹，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，易证△△，可得点在直线上运动，当时有最小值，据此求解即可． 【解答】解：直线，垂足为点， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到线段，连接， 作直线，交直线于点，交直线于点， 由旋转可知，，， ， △△， ， ， ， 点在直线上运动，当时有最小值， 在△中，，， ， ， 在△中，，， ，即的最小值为； 故答案为：． 4．（2025•西安校级自主招生）在矩形中，，，为边中点，连接，点为直线上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】． 【分析】由题可识别胡不归问题，所以将，构造直角三角形，转化，由点在直线运动，点随动而动可识别为瓜豆模型，进而可知点在线段上运动，过作直线交于，使，作于，则，所以，过作于，则，最后解△即可得解． 【解答】解：如图，取的中点，连，， 是中点， ，即， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，，三点共线， 点在线段上运动， ，， ，即△为等腰直角三角形， 过作直线交于，使，作于，则， ，当且仅当、、三点共线时取等， 过作于，则， 在△中，，， ， 即， ， 故答案为：． 5．（2025•广西模拟）如图，在菱形中，，，点为边中点，点为菱形四条边上的一个动点，沿的方向运动，连接，以为边作直角三角形，其中，，在点运动的过程中，线段长度的最大值为 　　 ． 【答案】． 【分析】要求的最大值，则需要知道的运动轨迹，而随点运动而运动，就是我们常说的主从联动瓜豆模型，而的运动轨迹是菱形，所以点的运动轨迹也是菱形，进而发现，当与重合时，有最大值，连接，可分△和△两个等边三角形，然后由等边三角形的性质及勾股定理可得答案． 【解答】解：由题可知△是含有的直角三角形， 如图，我们先探索点的运动轨迹，找几个特殊点， 当点在上运动时， ， ， 此时点就在直线上运动，当运动到点时，运动到点， 当在上运动时，我们取运动到点，此时， 在延长线上的点处，并且满足， 当点在上运动时，我们依然取运动到点，此时和重合， ， ， 即此时点运动到延长线上的点处， 所以我们发现点的运动轨迹是如图所示的菱形， 很明显是运动过程中的最长线段， 因此如图，当点运动到点重合时，有最大值，连接，， ，， ， 点，点，点三点共线，， 四边形是菱形， ，， △是等边三角形， 点是的中点， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 6．（2023秋•金牛区校级期中）如图四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、、，求的最小值 　　． 【答案】． 【分析】动点在上运动，带动矩形的变化，由瓜豆原理可知点的运动轨迹是一直线．又注意到，且相似比为，所以将缩小3倍解决． 【解答】解：延长至，使．并过作直线于． ． 在矩形中，，，；在矩形中，． ，， ． ， ， 即：． ． ，． ， 又， ． ． ． ， ． 为垂直平分线． 连接，． 综上：， 当在线段上时，取最小值． 7．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，已知正方形的边长为1，点是线段上的动点，过点作，使，连接交于点，交于点．以下结论正确的是 　①④　． ①； ②； ③点到直线的距离最大值为； ④点到直线的距离最大值为． 【答案】①④． 【分析】①根据相似三角形的判定定理确定． ②点是线段上的动点，和都随点的变化而变化，若两角相等变化规律必然相同． ③作出到的距离，同时完成了直角三角形的构造，利用可以通过全等可以将到的距离转化为的长，再观察的变化，求其最大值． ④由③的相关结论，发现到直线的距离等于，那么只要找到的最大值即可，再用相似得出与之间的数量关系，借助函数确定． 【解答】解：①正方形中，． ， ． 如图：，； ． ．故①正确． ②当点向左移动时，逐渐减小，而增大；故②错误． ③延长至，使，连接． ， ，． ，， ． ， ， ． ． ． ． 过作的延长线于． ． ． 点是线段上的动点，，故③错误． ④过作于． ， ， ． ， ；即：， 设，则：， 当时，取得最大值：．故④正确； 故答案为：①④． 8．如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，可得点在直线上运动，则当时，有最小值为，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转30度，得到，连接，过点作于，过点作于， 将绕着点顺时针旋转到的位置，将绕点顺时针旋转30度，得到， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在直线上运动， 当时，有最小值为， ，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，， ， ，， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 9．（2025•南阳三模）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为 　　 ． 【分析】如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于．首先证明，推出点的在射线上运动，推出当时，的值最小． 【解答】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于． 四边形是矩形， ，， ， ， ，， △△， ， 点的在射线上运动， 当时，的值最小， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 解法二：如图，延长交的延长线于点． △是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ． 10．如图，正方形的边长为7，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　． 【答案】． 【分析】把绕点顺时针旋转得到，如图，延长交于，过点作，过点作，根据旋转的性质得，，，易得四边形为矩形，则，，接着计算出，从而得到的长，然后利用垂线段最短得到的最小值． 【解答】解：为等边三角形， ， 把绕点顺时针旋转得到，如图，延长交于，过点作，过点作， ，，， 即点在过点且垂直于的线段上， 易得四边形为矩形， ，， ， ， ． 的最小值为． 故答案为． 11．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，则点运动的路程长是 　　． 【答案】． 【分析】连接，利用证明，得，，则点在射线上运动，且，当点在线段上从点至点运动时，故点的运动路程是，利用勾股定理求出的长即可． 【解答】解：连接， 四边形是矩形， ，， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 又，， ， ，， 点在射线上运动，且， 当点在线段上从点至点运动时， 点的运动路程是， 在中，设，则， ， 解得（负值舍去）， ， 即点的运动路程为， 故答案为：． 12．如图，菱形的边长为4，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为　　． 【分析】如图取的中点，连接，，，延长交于，作于．首先证明是等边三角形，利用全等三角形的性质证明，利用圆周角定理证明，推出，推出点在直线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可解决问题． 【解答】解：如图取的中点，连接，，，延长交于，作于． 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 点在直线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， 在中，，，， ， 的最小值为， 故答案为． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接，交于H，根据正方形的性质和勾股定理即可求出；设，则，根据求出，证明，可得，则点N在直线上运动，当时，的值最小，再证明可得，即可得解． 【详解】解：过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接交于H， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， 线段绕点C顺时针旋转得， ， ， ， ， ， 点N在直线上运动， 过D作， 当时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 14．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理及垂线段最短等知识．解题的关键是利用瓜豆原理确定点的运动轨迹，再通过矩形的性质转化线段长度，求出最小值．由旋转确定定点与定比，推出从动点的轨迹为直线；再根据点到直线的距离垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：如图，矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， 将线段绕点逆时针旋转至， ，， ，即 在上取点，使，连接， 在和中， ， ， ，即， 点的运动轨迹在过点且垂直于的直线上， 过点作于，过点作直线于， 则当与重合时，取得最小值，最小值为的长， ， ，解得， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ，即的最小值为． 故答案为：． 15．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________． 【答案】 【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动． 过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长． 如图，当点E与点A重合时， 过点G作于点M，过点F作于点N， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ，， ∴在中， ∵， 又， ∴， ∴， ∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是． 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确找出点G的运动轨迹，根据三角形的面积求解是解题的关键． 16．（24-25八年级下·重庆大足·期末）已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先由得，从而得出的值，再根据勾股定理得，然后在中，可得，最后再根据勾股定理即可解答； （2）由菱形中，可得，延长，在上取点，作，可证，可证得， ，从而得出，进而证得，从而得出； （3）由旋转可得，可证，当时取最小值，作交于点，如图，再证可证，最后由三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴ ， ∵ 在中，， ∴ ，则，根据勾股定理得： ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）∵菱形中， ∴ ，， ∵， ∴ ∴ 如图；延长，在上取点，作 ∵ ， ∴ ， ∵ 是菱形的对角线， ∴ 在与中 ∴ ∴， 在与 ∴ ∴ ∵ ∴ （3）如图；∵点E为直线上的一点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当时取最小值； ∴ ∵ ∴ ∴ ，即： ∴   ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 作交于点， ∵ ， ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，直角三角形的性质和判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 17．（2025•洛阳一模）综合与实践 （1）【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 　　 ； （2）【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． ①求的度数； ②当时，求的长； （3）【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作△，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）． 【分析】（1）证△△即可得解； （2）①过作于点，证△△即可得解；②先求出的值，再利用相似比求解即可； （3）参考（2）中思路构造三垂直相似，分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）菱形中，， ，，， 由旋转可知，，， ， △△， ； 故答案为：； （2）过作于点， 四边形是正方形，是对角线， ，即△为等腰直角三角形， ，， 由旋转可知△是等腰直角三角形， ，， ，， △△， ； ②在△中，， ， 由①知△△， ， ； （3）在△中，， ， ， ， 过作于点，过作于点，则， 在△中，， ①当在上方时， 同理可得△△， ， ， ； ②当在下方时， 同理可得， ； 综上，的长为． 18．（2024秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形． （Ⅰ）如图①，点在轴正半轴上时，求旋转角的度数及点的坐标； （Ⅱ）如图②，点在射线上时，求旋转角的度数及点的坐标； （Ⅲ）已知，记直线与交点为，直接写出长度的最大值与最小值． 【答案】（Ⅰ）旋转角，； （Ⅱ）旋转角，； （Ⅲ）最大值为，最小值为． 【分析】（Ⅰ）由点对应点落在轴上可知旋转角为，再根据长度得出点坐标即可； （Ⅱ）先由线段长度可求得，进而求得旋转角，过点作轴于，易得，再解△即可得解； （Ⅲ）先证点是中点，因为的运动轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以根据瓜豆模型，点的运动轨迹也是圆，进而根据点圆最值求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）在矩形中，，， ，， 又点在轴正半轴上， 故矩形中， 旋转角， ，， ； （Ⅱ）连接， 同（Ⅰ）理，矩形中，，， 在△中，， ， ，同理， 由，故，旋转角， 在△中，， ，，， 过点作轴于， 在△中，， ， ，， ； （Ⅲ）如图，连接、交于点，延长、交于点， ， ， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 连接和，取中点，连接，则为△中位线， ， 由（Ⅱ）知， ， 即点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 当、、三点共线时有最大值和最小值，如图最大值为的长，最小值为的长， ，，， ， ， ，， 综上，最大值为，最小值为． 19．（2024秋•锦江区校级期中）如图，在△中，，，为的中点，为平面上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，当在上时，连接，，求证：； （2）如图2，当在上时，连接，相交于点，若，求线段的长； （3）如图3，连接，有，连接，当线段取得最小值时，请求出的值． 【答案】（1）证明：由旋转的性质可得，， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 在△中，由勾股定理可得； （2）； （3）． 【分析】（1）证出△△，即可得证； （2）由（1）可得，，，进而可得是△的中位线，设，则，进而可得，最后利用线段和差求解； （3）过作，且，连接，易证△△，可得点轨迹，利用三边关系可得，当且仅当、、三点共线时取等，据此求解即可． 【解答】（1）证明：由旋转的性质可得，， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 在△中，由勾股定理可得； （2）解：如图，连接， 由（1）思路可得△△，， ，， 是中点， 为△的中位线， 设，则， ， ， ； （3）解：如图，过作，且，连接， 则， ， 在△和△中， ， △△， ， 为中点， 可设， ，当且仅当、、三点共线时取等， ， ， ， 由勾股定理得， ， ， ． 20．（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，在中，为对角线，，点为上一点，连接． （1）如图1，若，，，求的面积； （2）如图2，过点作交于点，垂足为点，连接交于点，若，求证：； （3）如图3，若于点，为中点，为直线上一点，连接，将△沿所在直线翻折到所在平面内得到△，连接，再将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点为直线上一点，连接，，若，当取得最小值时，直接写出△的面积． 【答案】（1）； （2）证明过程详见解析； （3）． 【分析】（1）通过和特殊角构造直角三角形，进而求解即可； （2）要证，含有肯定和会有关系，而恰好，所以过点作于点，这样就推出，再通过构造的一半等于，然后利用全等即可证明； （3）这一题是典型的“瓜豆模型”由题易得点的运动轨迹是以为圆心，3为半径的圆上，线段绕点顺时针旋转得到线段，所以构造全等，得到点的运动轨迹也是圆上，从而得到最小值时点的位置，进而求解即可． 【解答】（1）解：如图，过点作于点， 在△中，，，， ，， 在△中，，， ，， ， ； （2）证明：过点作于点，过点作于点， ， ， 在△中，，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ，，， 在△和△中， ， △△， ， ， 设， ， 在△中，， ， 在△中，， ， 为△的外角， ， 在△中，， ， ， ，， ，， ，， 在△和△中， ， △△， ， 在△中，，， ，， ； （3）如图，连接，过作，且，连接， 是中点，， ， ， ， ，， △△， ， 点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆上， 如简化示意图， 作关于的对称点则， 点的轨迹是在上， 当、、三点共线时最小，此时也最小． ，， ， 过作交延长线于点，连接， ， ，， △△， ，， ，，， 四边形是矩形， ， ， △是等腰直角三角形， ，， ，， ，且△和△都是等腰直角三角形， ，， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 特殊平行四边形中的最值模型之瓜豆原理 几何双动点最值问题抽象性强、变化灵活，而瓜豆模型是破解此类问题的“万能钥匙”。当瓜豆模型与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形结合时，可依托图形的边长、角度、对角线性质，快速判断从动点轨迹，实现复杂最值问题的简化求解。本专题就特殊平行四边形中的瓜豆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹） 2 【模型解读】 2 【模型证明】 3 【模型运用】 3 【模型运用】 4 【易错点总结】 12 【模型小结】 12 12 模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹） 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N， ∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1， ∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线． 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）为其他已知轨迹的线段求最值。 例1（2024•泰安）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，△是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 例2如图，正方形的边长为5，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边△，连接，则的最小值为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 例3（2025•昆山市模拟）如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为 　　． 例4（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 例5（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，对角线相交于，．点关于的对称点为，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，连接CF，则线段长的最小值为______． 例6（2022·福建漳州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论： ①；②；③直线；④点E运动的路程是． 其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号） 找错定点：误将动点当作定点，导致轨迹判断完全错误； 混淆旋转角：未结合特殊平行四边形内角，旋转角度数判断失误； 轨迹判断失误：忽略特殊平行四边形边界，误判从动点轨迹范围； 比例用反：缩放比k分子分母颠倒，导致长度计算错误； 模型混淆：将军饮马、胡不归、瓜豆模型不分，盲目套用辅助线。 【瓜豆模型通用解题步骤】 找定点：锁定运动中始终不变的定点； 定主动：确定自主运动的主动点及其轨迹（直线 / 线段）； 判两定：确定旋转角（定点与两动点连线夹角）、缩放比（定点到两动点线段长度比）； 推轨迹：由主动点轨迹，推出从动点轨迹（直线型瓜豆轨迹为线段）； 求最值： 线段最值：定点到从动点轨迹的垂线段最短； 端点最值：从动点轨迹两端点与定点连线长度。 1．如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·一模）如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025秋•工业园区校级期中）如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为__________ ． 4．（2025•西安校级自主招生）在矩形中，，，为边中点，连接，点为直线上的动点，为中点，则的最小值为_________ ． 5．（2025•广西模拟）如图，在菱形中，，，点为边中点，点为菱形四条边上的一个动点，沿的方向运动，连接，以为边作直角三角形，其中，，在点运动的过程中，线段长度的最大值为 　　 ． 6．（2023秋•金牛区校级期中）如图四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、、，求的最小值 　　． 7．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，已知正方形的边长为1，点是线段上的动点，过点作，使，连接交于点，交于点．以下结论正确的是 　 　． ①； ②； ③点到直线的距离最大值为； ④点到直线的距离最大值为． 8．如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为 　　． 9．（2025•南阳三模）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为 　　 ． 10．如图，正方形的边长为7，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　． 11．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，则点运动的路程长是 　　． 12．如图，菱形的边长为4，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为　　． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 14．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 15．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________． 16．（24-25八年级下·重庆大足·期末）已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 17．（2025•洛阳一模）综合与实践 （1）【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 　　 ； （2）【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． ①求的度数； ②当时，求的长； （3）【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作△，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长． 18．（2024秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形． （Ⅰ）如图①，点在轴正半轴上时，求旋转角的度数及点的坐标； （Ⅱ）如图②，点在射线上时，求旋转角的度数及点的坐标； （Ⅲ）已知，记直线与交点为，直接写出长度的最大值与最小值． 19．（2024秋•锦江区校级期中）如图，在△中，，，为的中点，为平面上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，当在上时，连接，，求证：； （2）如图2，当在上时，连接，相交于点，若，求线段的长； （3）如图3，连接，有，连接，当线段取得最小值时，请求出的值． 20．（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，在中，为对角线，，点为上一点，连接． （1）如图1，若，，，求的面积； （2）如图2，过点作交于点，垂足为点，连接交于点，若，求证：； （3）如图3，若于点，为中点，为直线上一点，连接，将△沿所在直线翻折到所在平面内得到△，连接，再将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点为直线上一点，连接，，若，当取得最小值时，直接写出△的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $