专题20.1 数据的频数分布和集中趋势（高效培优讲义，8知识&8题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题20.1 数据的频数分布和集中趋势 教学目标 1.理解频数、频率、算术平均数、加权平均数、中位数、众数的概念，掌握各概念间的相互关系。 2.掌握频数分布表的制作步骤，会绘制频数分布直方图，并能区分直方图与条形图的差异。 3.熟练掌握算术平均数、加权平均数、中位数、众数的计算方法，理解“权”的实际意义，明确加权平均数与算术平均数的联系与区别。 4.能根据频数分布图表、各类统计量提取有效信息，进行简单的数据分析与推断，能结合实际情境合理选择统计量描述数据的集中趋势。 5.体会样本估计总体的思想，会用样本平均数估计总体平均数，提升数据应用能力。 教学重难点 教学重点 1.核心概念的理解与应用：频数、频率、加权平均数、中位数、众数的概念及计算方法。 2.数据的整理与描述：频数分布表、频数分布直方图的制作与解读。 3.数据集中趋势的分析：能根据实际情境，合理选择统计量描述数据的集中趋势，能通过统计量和频数图表提取有效信息。 教学难点 1.频数分布相关：理解频数分布直方图中矩形连续性的意义，避免与条形图混淆。 2.集中趋势相关：加权平均数中“权”的实际意义理解，极端值对平均数的影响分析；3.复杂实际情境下，统计量的合理选择（如平均数、中位数、众数的适用场景辨析）。 4.统计思想的渗透：体会样本估计总体的思想，能结合数据做出合理推断，避免数据分析中的片面性。 知识点01 频数分布表 1.频数：我们把一批数据中落在某个小组内数据的个数称为这个组的频数 . 2. 频率：如果一批数据共有 n 个，而其中某一组数据是 m 个，那么就是该组数据在这批数据中出现的频率 . 3. 频数分布表：根据频数整理得到的表格就是频数分布表 . 频数分布表反映了数据落在各个小组内的频数，从而反映了一组数据中各数据的分布情况 . 4.制作频数分布表的步骤 (1)确定数据变动范围计算某批数据中最大数与最小数的差(称为“极差”). (2)决定组距和组数 . 组距是指每个小组的两个端点间的距离 . 如果每组组距相同，那么组数 = (3)决定分点.一般将表示分点的数在原数据的基础上多 取一位小数，并把第一组的起点定为比最小的数据稍小一点的数 .确定分点的两种方法：①数据不落在分点上，即起点值比最小值略小一些；②数据落在分点上，这时需要对每个分组区间的端点值属于哪个组作出规定，常采用“上限不在内”的原则，如 x 的范围是 90~100 时，100不在内，即90 ≤x<100. (4)列频数分布表 . 【即学即练】某兴趣小组随机抽取了100名学生去年一年的课外阅读数量，得到如下频数分布表，则阅读数量x（单位：本）在范围内的人数占抽查学生总人数的百分比为（    ） 阅读数量x/本 频数 24 25 28 16 7 A．23％ B．35％ C．49％ D．51％ 【答案】D 【详解】解：∵总人数，的频数， ∴百分比． 故选：D． 知识点02 频数直方图 1. 频数直方图 画出相互垂直的两条直线，用横轴表示分组情况，纵轴表示频数，绘出相应的长方形条，就得到了频数直方图. 2.绘制频数直方图的步骤 (1)列出频数分布表；(2)画频数直方图. 3.直方图与条形图的区别 条形图 直方图 用小长方形的高度表示数据的大小 用小长方形的面积来表示此组数据的总量 横轴上的数据是独立的，相邻的数据没有联系 横轴上相邻的数据有必然联系，它表示一个范围 各个小长方形之间有间隔 相邻的小长方形之间没有间隔 侧重反映每个项目具体数目的多少 描述的是一组连续的数据，它侧重反映这些数据落在各小组内的频数的分布情况 【即学即练】如图是某校八年级2班学生的一次体检中每分钟心跳次数的频数直方图（次数均为整数）．该班李红同学参加了此次体检，她心跳每分钟68次，下列说法：①李红每分钟心跳次数落在第1小组；②第3小组的频数为0.15；③每分钟心跳次数低于80次的人数占该班体检人数的．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：由频数分布直方图可知数据68落在第1小组故①正确； 第3小组的频率＝9÷（25＋20＋9＋6）＝0.15，故②错误； 每分钟心跳次数低于80次的人数占该班体检人数的（25＋20）÷（25＋20＋9＋6）＝，故③正确． 故选：B． 知识点03 平均数 1. 定义：一般地，如果有 n 个数据， ，…， ，那么， ( ++…+)就是这组数据的平均数，记作，读作“x 拔” ，即 ̅= ( ++…+). 2. 拓展  若 x1， x2，…， xn 的平均数为，则： (1) nx1， nx2，…， nxn 的平均数为 n ； (2) x1+b， x2+b，…， xn+b 的平均数为 +b； (3) nx1+b， nx2+b，…， nxn+b 的平均数为 n +b. 【即学即练】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是，则这组数据的平均数为___________________． 【答案】4 【详解】解：这一组数据1，3，x，5，6的平均数是， ， 解得， 这组数据的平均数为， 故答案为：4． 知识点04 加权平均数 1.加权平均数 一般地，求平均数，可统一用公式：x =. 其中，，…， 分别表示数据，，…， 出现的次数，或者表示数据，，…，在总结果中的比重，我们称其为各数据的权，叫作，，…， 这k 个数据的加权平均数. 2.算术平均数与加权平均数的区别与联系 区别 联系 算术平均数 算术平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”相同，即各个数据的权相同 若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平均数的一种特例 加权平均数 加权平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的权不一定相同 3. 分布式计算 若m个数据的平均数是a，n个数据的平均数是b，则这(m+n)个数据的平均数是，这是分布式计算的最简单形式，这样的计算在形式上是加权平均数，在程序上是分别计算．分布式计算是把一个需要非常巨大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分进行处理的方式，是大数据处理的一种重要方法． 【即学即练】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）学校举办了演讲比赛．已知某同学礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为80分和90分．若依次按照，百分比确定成绩，则该同学的成绩是（   ） A．87分 B．86分 C．85分 D．84分 【答案】A 【详解】解：礼仪服装得分为80分，占，即分； 语言表达得分为90分，占，即分． 因此，该同学的成绩为分． 故选：A． 知识点05 中位数 1.中位数 一般地, 当将一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据(当数据的个数是奇数时)或正中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫作这组数据的中位数. 2.求中位数的方法 【即学即练】（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）已知一组数据的平均数是，则这组数据的中位数是______． 【答案】 【详解】解：依题意得，， 解得，， 将数据从小到大依次排序为：， ∴中位数为第3个位置的数，即， 故答案为：． 知识点06 众数 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 . 说明： (1)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关，它一定出现在这组数据中； (2)众数是描述一组数据集中趋势的量，众数只与各数据出现的次数有关，有时是我们最为关心的统计数据 . 【即学即练】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）某校在国学文化进校园活动中，随机统计了50名学生一周的课外阅读时间如下表所示，则这组数据的众数（    ） 时间／小时 10 4 8 9 5 学生数 5 8 14 19 4 A．19 B．9 C．10 D．5 【答案】B 【详解】解：由表格可知，阅读时间为10小时的学生有5人，4小时的有8人，8小时的有14人，9小时的有19人，5小时的有4人．其中，9小时对应的学生人数最多（19人），因此这组数据的众数是9． 故选B． 知识点07 选择合适的量描述数据的集中趋势 平均数、中位数和众数的联系与区别 平均数 中位数 众数 区 别 个数 唯一 唯一 不一定唯一 与组内数据的关系 与每个数据均有关 按大小排序，只与正中间的一个数据或正中间的两个数据有关 只与出现次数最多的数据有关 是否为组内的数据 不一定是 不一定是 不一定是 优点 所有数据参与运算，能充分利用数据所提供的信息 计算简单，受极端值影响较小 某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题 缺点 易受极端值的影响 不能充分利用所有数据所提供的信息 当各数据的重复次数大致相等时，研究众数没有意义 联系 都是一组数据的代表值，能从不同角度反映一组数据的集中趋势 【即学即练】学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 750 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【详解】解：∵喜欢红色的女生人数最多，是这组数据的众数，符合众数的统计意义， ∴可以用众数解释学校选用红色的现象． 知识点08 用样本平均数估计总体平均数 现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数. 用样本估计总体，样本的选取需注意两点： (1)样本的选取要具有随机性，保证样本具有代表性； (2)样本的容量不能太小，如果样本容量太小，容易造成样本与总体有较大的差异. 【即学即练】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．8 C．5 D．3 【答案】C 【详解】解：∵，，，，的平均数是4， ∴， ∴， ∴，，，，的平均数是， 故选：C． 题型01 频率分布表的应用 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小涵同学通过查看通话记录得知了他家5月份打电话的次数及通话时间，并列出如下频数分布表∶ 通话时间/min 频数(通话次数) 34 18 9 5 通话时间不超过15min的频数为，则通话时间不超过10分钟的频率为__________． 【答案】0.6 【详解】解：； 故答案为：0.6． 【变式1-1】电影《浪花朵朵》以惠安小岞林场女子种植队真实故事为蓝本，再现“林海娘子军”植树固沙的生态奇迹．某林场参照其模式种植木麻黄，共完成个造林批次，其成活率的区间分布统计如下表： 造林成活率（） 造林批次（批） 2 7 10 31 则在这个造林批次中，成活率不低于的批次占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵成活率不低于即成活率， 由表格可知，符合条件的造林批次为批，总批次为批， ∴占比为． 【变式1-2】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示： 尺码（） 销量（双） 根据上表，现有下列说法：①频数最大的尺码是；②频数最大的尺码是；③建议这家鞋店适当多进尺码为的鞋；④总销量是（双）．其中正确的说法有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【详解】解：由表格可知，尺码的销量为双，是所有尺码中销量最高的，即频数最大的尺码是， ①正确，②错误． 尺码的销量为双，占总销量的大部分， 建议适当多进该区间的鞋，③正确． 总销量是各尺码销量之和，即双，而非尺码数值之和，④错误． 综上，正确的说法是①③， 故选：D． 【变式1-3】某校在寒假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，并随机抽取了部分学生就暑假“平均每天帮助父母千家务所用时长”进行了调查，列出了下面的频数分布表： 时长（分钟） 频数 66 48 52 4 百分比 (1)在本次随机抽取的样本中，求调查的学生人数； (2)如表中，求出，的值． 【答案】(1)调查的学生人数为名 (2)， 【详解】（1）解：名， 答：调查的学生人数为名． （2）解：， ． 题型02 从频数直方图中读取信息 【例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数直方图，根据图示信息描述不正确的是（   ） A．频数直方图中组距是10 B．本次共抽取了60位同学的成绩 C．70.5~80.5这一分数段的频数为18 D．这次测试及格（不低于60分）率为 【答案】B 【详解】解：由直方图得，频数分布直方图中组距为：，故选项A正确，不符合题意； 本次抽样样本容量为：，故选项B不正确，符合题意； 这一分数段的频数为18，故选项C正确，不符合题意； 这次测试及格(不低于60分)率以上，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】某校举行规范书写大赛，100名参赛同学最后得分（得分取整数）的频数分布直方图如图所示（频数轴刻度等间隔）．根据图中的信息写出频数轴每隔代表人数（   ） A．5 B．10 C．15 D．无法确定 【答案】A 【详解】设每一个格表示人，则， 解得，， 故选：A． 【变式2-2】如图是麓山在八年级900名学生中随机调查部分学生每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．请你估计该校八年级学生每周课外阅读时间在2～4小时的约有（） A．440人 B．180人 C．160人 D．120人 【答案】B 【详解】解：估计该校八年级学生每周课外阅读时间在2～4小时的约有（人）， 故选：B． 【变式2-3】某校举办了科技创新大赛的校级预赛，将八年级参加预赛的学生成绩绘制成频数分布直方图如下（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），根据统计图，下列结论中错误的是（    ） A．成绩在分这一组的人数最多 B．八年级参加预赛的学生共有20名 C．成绩分的学生占比为 D．不及格（低于60分）的人数为2人 【答案】C 【详解】解：A．由频数分布直方图得，80-90分（含80分）这一组有7人，人数最多，故A正确，不符合题意； B．八年级参加预赛的学生共有20名，故B正确，不符合题意； C．∵成绩80分以上有9人， ∴占比为，故C错误，符合题意； D．不及格即分（包括50分）有2人，故D正确，不符合题意． 故选：C． 题型03 频数分布表与扇形统计图的综合 【例3】为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题： 表1  知识竞赛成绩分组统计表 组别 分数/分 频数 A      a B      10 C      14 D      18 (1)本次调查一共随机抽取了______个参赛学生的成绩； (2)表1中______； (3)扇形统计图中“C”对应的圆心角为______度； (4)请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有______人． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【详解】（1）解：组频数为，占比， 抽取的总人数为（个）． 故答案为：． （2）解：总人数是，组占， ． 故答案为：． （3）解：组频数是，总人数， 组频率为， “”对应的圆心角为（度）． 故答案为：． （4）解：分以上（含分）的是、组，频数和为，总人数， 其频率为， 该校九年级竞赛成绩达到分以上（含分）的学生约有（人）． 故答案为：． 【变式3-1】某校课外兴趣小组对五一学生外出参加科技馆活动使用交通工具的情况，进行了随机抽样的调查，调查后发现学生选用四种交通工具的其中一种．表示乘坐地铁出行，表示乘坐私家车出行，表示乘坐公交车出行，表示公享单车出行或其他，划分类别后的数据整理如下表： 类别 人数 比率 15 20 b 12 c d 学生外出参加科技馆活动使用交通工具统计表与扇形统计图 (1)求扇形统计图中类别为的学生数所对应的扇形圆心角的度数； (2)若该校有1600名学生，估计该校学生中类别为的人数． 【答案】(1) (2)人 【详解】（1）解：人， ∴这次一共调查了50人， ， ∴扇形统计图中类别为的学生数所对应的扇形圆心角的度数为； （2）解：人， ∴估计该校学生中类别为的人数为480人． 【变式3-2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）里约奥运会后，同学们参与体育锻炼的热情高涨，为了解他们平均每周的锻炼时间，小明同学在校内随机调查了50名同学，统计并制作了如图所示的频数分布表和扇形统计图． 组别 锻炼时间/（时/周） 频数 A 1 B 2 C m D 20 E 15 F n (1) ， ； (2)在扇形统计图中，D组所对应扇形圆心角的度数是 ； (3)全校共有名学生，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6h的学生约有 名． 【答案】(1)8，4 (2) (3) 【详解】（1）解：由统计表和扇形图可知： （人）， （人）； 故答案为：8，4． （2）扇形统计图中，D组所占圆心角的度数； 故答案为：． （3）该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生占的百分比为：， 估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生约有（名）． 故答案为：． 【变式3-3】为促进青少年体质健康，市教育局对全市初中女生进行一分钟仰卧起坐达标测试，测试成绩采用10分制，分为A、B、C、D 、E 五个等级．某校九年级抽取部分女生成绩数据后，绘制了如下不完整的统计图表： 等级 成绩（个） 频数 A 10 B 16 C 14 D E 5    (1)频数分布表中 ； (2)求扇形统计图中等级B所占的百分比； (3)通过对统计图表的分析，请你对九年级的女生提出一条好的建议． 【答案】(1)5 (2) (3)建议女生平时多加强锻炼，科学训练提高成绩达到等级．（合理即可） 【详解】（1）解：由等级可得总人数为（人）， 则等级人数, 故答案为：5； （2）解：调查学生数为：（人）， 等级所占百分比为； （3）解：建议女生平时多加强锻炼，科学训练提高成绩达到等级．（合理即可） 题型04 频数分布表与频数直方图的综合 【例4】某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解学生一年内阅读书籍的数量，随机抽取部分学生进行统计，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图． 分组 频数 频率 合计 请根据图表，解答下面的问题： (1) ________， ________， ________， ________． (2)补全频数分布直方图． (3)如果阅读书籍数量在本或以上的人数占总人数的以上，那么该校能评为“书香校园”，请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉，并说明理由． 【详解】（1）解：调查的总人数为（人）， ， 根据频数分布直方图可得， ， 故答案为：，，，； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：该校不能获得此荣誉，理由如下： 阅读书籍数量在本或以上的百分比为， ， 该校不能获得此荣誉． 【变式4-1】某市马拉松鸣枪开跑，35000名跑者在赛道上挑战自我．初一“和畅”部有50位同学参与了5公里的“欢乐跑”项目，经过调查，将50位同学的成绩绘制成了如下不完整的统计图表：            初一“和畅”部50名同学“欢乐跑”成绩 成绩x（分钟） 频数（人） 频率 5 0.1 10 0.2 a 0.24 14 b 9 0.18 (1)统计表中， ， ； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若我校参加此次“欢乐跑”比赛的共有500名同学，请估计成绩在“”范围的人数有多少？ 【详解】（1）解：， ． （2）解：补全图如下： （3）解：由题意得：（人）， 答：估计成绩在“”范围的人数有120人． 【变式4-2】江苏省首届城市足球联赛火爆出圈，今年迎来第二届“苏超”联赛．某中学在全校学生中开展了足球知识竞赛，并随机抽取了30名学生的竞赛成绩（百分制）如下：77，94，86，85，89，95，96，93，88，87，83，83，82，94，92，86，88，94，92，90，88，83，87，87，82，82，87，80，86，85． 对这30个数据按组距4进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表： 组别 A B C D E 成绩x 频数 2 a 12 4 b 以上图表，解答下列问题： (1)表格中的______， ______； (2)请补全频数分布直方图； (3)该校共有学生1200人，若成绩不低于89分为优秀，请估计该校成绩达到优秀的学生人数． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：人， 答：估计该校成绩达到优秀的学生人数为400人． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）为了解某校八年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 12 10 学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： (1)表中______，______； (2)请把频数分布直方图补充完整； (3)跳远成绩大于等于为优秀，若该校八年级共有1300名学生，估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有多少人？ （2）解：补充频数分布直方图如下： （3）解：（人）， 答：估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有780人． 题型05 平均数的灵活求法 【例5】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）五位同学的数学测试成绩中最高分是140分，最低分是110分，他们的平均测试成绩可能是（   ） A．105分 B．120分 C．140分 D．150分 【答案】B 【详解】解：由题意得．总分的最小值为：140（最高分）（最低分）（其余三人最低）分，此时平均分为分． 总分的最大值为：140（最高分）（最低分）（其余三人最高）分，此时平均分为分． 因此，平均分的范围为平均分．选项中只有120分在此范围内， 故选B． 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某单位男职工数与女职工数之比为，男、女职工的年龄分别为40岁和30岁，则该单位职工的平均年龄为（　　） A．36岁 B．岁 C．岁 D．37岁 【答案】B 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 【变式5-2】已知一组数据0，2，，3，5的平均数是，则这组数据的平均数为________． 【答案】 【详解】解：∵数据0，2，，3，5的平均数是， ∴， 解得：， ∴这组数据的平均数为； 故答案为：． 【变式5-3】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）夏天来临，某超市销售三种不同型号的手持小风扇，它们的单价分别为元，元，元，某天该超市的小风扇销售数量情况如图所示，那么这天该超市销售的小风扇每个平均价格是______元． 【答案】 【详解】解：这天该超市销售的小风扇每个平均价格为：， 故答案为：24． 题型06 中位数、众数、平均数的分类讨论问题 【例6】一次数学课堂上，老师让同学们各写一个一位数并计算各自小组所写数字的平均数和中位数，某小组有六位同学，四位同学先写出的数字为：9，8，6，9，后两位同学再写出后，发现小组的中位数变小了而平均数没变，则后两位同学所写数字可能为（   ） A．7，9 B．7，8 C．8，8 D．6，9 【答案】C 【详解】解：前面四位同学先写出的数按从小到大排序为，则其中位数为，平均数为， ∵后两位同学再写出后，平均数没变， ∴后两位同学写出的数的和为，则只有选项B和D不符合； 若后两位同学写出的数为，将六位同学写出的数按从小到大排序为，其中位数为，没变，不符合题意； 若后两位同学写出的数为，将六位同学写出的数按从小到大排序为，其中位数为，变小了，符合题意； 则后两位同学所写数字可能为． 【变式6-1】体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【详解】解：设五位同学测得的个数从小到大依次为， ∵共有个数据，中位数为， ∴第三个数， ∵众数是， ∴至少出现次， ∴， ∵平均数是， ∴五个数据的和为， ∴，整理得，即， ∵数据从小到大排列，且， ∴，且， 当和时，则数据中有两个4，两个5和两个，与众数是4不符合， ∴，且，即， 且， ∵， ∴，即， ∴， ∵是正整数， ∴可取， 则对应为， ∴成绩最好的同学测得的个数不可能是． 【变式6-2】已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为______． 【答案】或5或19 【详解】解：设丢失的数据为x，根据题意，这组数据的众数一定是4，平均数为， 若时，中位数是4，众数为4，根据题意，得， 解得； 若是中位数时，根据题意，得， 解得； 若时，中位数是6，根据题意，得， 解得； 综上所述，丢失的数据可能是或5或19； 故答案为：或5或19． 题型07 根据统计量作出决策 【例7】（24-25八年级下·安徽·期末）为增强学生的社会实践能力，某校拟实施每周半天计划，并同步建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小聪、小颖的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小聪 83 72 80 78 小颖 86 84             (1)在摄影测试中，七位评委给小颖打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分； (2)请你计算小颖的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名小记者，试分析小聪、小颖能否入选，并说明理由． 【详解】（1）解：七位评委给小颖打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74， 所以这组数据的中位数是69分，众数是69分， 平均数是：（分）； 故答案为：69，69，70； （2）解：（分）， 答：小颖的总评成绩是82分． （3）解：小颖能入选，小聪不能，理由如下： 从这20名学生的总评成绩频数分布直方图可以看出，恰好有10名同学总评成绩低于80分，因为小聪总评成绩78分，小颖总评成绩82分，又所以小颖能入选，小聪不能． 【变式7-1】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）2025年3月22日-28日是第三十八届“中国水周”，主题为“推动水利高质量发展，保障我国水安全”．为增强学生节约用水意识，某校举办了以“节水护水”为主题的活动．结合该主题活动，二中八年级数学课外活动小组随机抽取部分城镇居民家庭统计其3月份用水量，并将居民家庭的用水量（单位：）分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．再对收集到的数据进行统计、整理后，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全条形统计图，扇形统计图中圆心角__________； (2)抽取的家庭用水量的中位数落在________组； (3)若平均用水量小于7，则体现城镇居民节水意识较强，节水率达到评选文明城镇的标准．若分别用4，6，8，10，12作为A，B，C，D，E这五组用水量的平均数，估计该城镇3月份用水量的节水率是否达到评选要求，并对城镇家庭提出一条节水建议． 【详解】（1）解：(户)， 组人数为：， 补全条形图如下： ． （2）由（1）知共有200户，由题知，A、B、C、D、E这5组的用户用水量是逐渐上升的， 又A组和B组的用户总数为；A组、B组和C组的用户总数为； 抽取的家庭用水量的中位数落在C组． （3）()， ， 不达标． 建议：用洗澡水冲厕所(合理即可)． 【变式7-2】某市招聘教师，采取的是“笔试+专业测试”的形式，笔试成绩和专业测试成绩按合成报考人员的综合成绩，最终录用则依据招聘计划按综合成绩从高到低确定． 教学设计 课堂教学 答辩 甲 90 85 90 乙 80 92 85 （注：每组含最小值，不含最大值）    (1)将笔试入围的报考人员的成绩绘制成如图所示的频数分布直方图，其中成绩80分以上（包括80分）的人数占40%，则笔试入围的共有多少人？补全频数分布直方图； (2)专业测试包括教学设计、课堂教学、答辩三项测试，已知甲、乙两人的笔试成绩分别为80分，82分，在笔试入围后，参加了专业测试，两人的成绩如表格所示：（单位：分）根据招聘公告规定，专业测试成绩按教学设计占30%、课堂教学占50%、答辩占20%来计算，若按综合成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？ 【详解】（1）解：成绩80分以上（包括80分）的人数占40%， 成绩80分以下的人数占：， 参加测试的总人数为：（人）， 笔试入围的人数为：（人）， 成绩在85到90分之间的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如图：   ； （2）解：根据题意得： 甲的专业测试成绩为：（分）， 乙的专业测试成绩为：（分）， 笔试成绩和专业测试成绩按合成报考人员的综合成绩， 甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， ， 乙被录用． 【变式7-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）李老师为了解八年级1200名学生的书写水平，从八年级随机抽取了20名学生进行书写测试，测试成绩（单位：分）满分为10分，对这20名学生的得分进行统计、整理和分析，并绘制出如下统计图、表．已知成绩在这一范围内的数据：7.2，7.3，7.5，7.6，7.7． 平均数 众数 中位数 7.52 8.1 n (1)填空： ， ； (2)若成绩不低于8分为优秀，请你估计八年级1200名学生中成绩为优秀的学生有多少人； (3)李老师对数据进行分析后，决定对测试成绩前十名的学生进行奖励，其中一位学生的成绩是7.6分，请你判断该学生能不能得到奖励？并说明理由． 【详解】（1）解：， 中位数在第10，11为成绩的平均数为：， 故答案为：，； （2）解：不低于8分的人数为：（人）， ∴（人）， 答：估计八年级1200名学生中成绩为优秀的学生有540人； （3）解：该学生不能得到奖励， 理由：抽取的学生测试成绩的中位数为分， 抽取的20名学生中有10名学生的成绩高于分， ， 该学生不能得到奖励（合理即可）． 题型08 “三数”与统计图的综合应用 【例8】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）为了迎接中考体育考试，某体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别，第1组：；第2组：；第3组：；第4组：；第5组：，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下： ①将男生成绩的第2组后4个数据依次为． ②将男生测试成绩绘制成频数分布直方图，如图1； ③女生测试成绩如扇形统计图2； ④抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 166 女生 162.6 159 164 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______，并补全条形统计图； (2)根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，说明理由；（写出一条理由即可） (3)若每分钟跳绳达到160个，则成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 【详解】（1）解：第2组所占百分比为：， ， ； 男生成绩由大到小排列第25，26个数据都是162， ， 故答案为：20，162； 补全频数分布直方图如下： ； （2）解：男生跳绳成绩更好， 理由：男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生； （3）解：（人）， 答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人． 【变式8-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）李老师为了解八年级1200名学生的书写水平，从八年级随机抽取了20名学生进行书写测试，测试成绩（单位：分）满分为10分，对这20名学生的得分进行统计、整理和分析，并绘制出如下统计图、表．已知成绩在这一范围内的数据：7.2，7.3，7.5，7.6，7.7． 平均数 众数 中位数 7.52 8.1 n (1)填空：_______，_______； (2)若成绩不低于8分为优秀，请你估计八年级1200名学生中成绩为优秀的学生有多少人； (3)李老师对数据进行分析后，决定对测试成绩前十名的学生进行奖励，其中一位学生的成绩是7.6分，请你判断该学生能不能得到奖励？并说明理由． 【详解】（1）解∶ ， 中位数在第10，11为成绩的平均数为， 故答案为：6，7.65； （2）解∶ （人）． 答：估计八年级1200名学生中成绩为优秀的学生有540人； （3）解∶ 该学生不能得到奖励． 理由：∵抽取的学生测试成绩的中位数为7.65分， ∴抽取的20名学生中有10名学生的成绩高于7.65分， ， ∴该学生不能得到奖励．（合理即可） 【变式8-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）“感受数学魅力，提升数学素养”，安徽某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，将学生的竞赛成绩分为A．；B．；C．三个等级（满分：100分，不低于90分为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：78，78，84，84，84，85，90，95，95，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据：81，82，86，88，88． 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 87 a b 八年级 87 c 88 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：n＝ ，a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)若七、八年级各有200名学生参赛，请估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数． (3)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 【详解】（1）解：由题意，八年级B等级所占的百分比为， ∴，则； ∵八年级A等级人数为（名）， ∴八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，第5个数据和第6个数据分别为86和88， ∴中位数； 七年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，第5个数据和第6个数据分别为84和84， ∴中位数， 又数据84出现次数最多，故众数， 故答案为：20；84.5；84；87； （2）解：（名）， 答：估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数为140名； （3）解：八年级学生的竞赛成绩更好， 理由：七八年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级，所以八年级八年级学生的竞赛成绩更好． 【变式8-3】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）淮北市某学校开展了一场“学宪法、讲宪法”知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理，描述和分析（满分分，得分用表示，共分成四组：．；B．；C．；D．），其中分数不低于分为优秀，下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，． 八年级名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，． 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图    七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)在上述图表中： ； ； ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生宪法知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级共有人参加了此次活动．请估计该校八年级学生参加宪法知识竞赛成绩被评为优秀的总人数． 【详解】（1）根据题意七年级名学生的竞赛成绩出现次数最多的是；故； 由于八年级名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，， 故中位数应该位于第五位和第六位成绩的平均值，由题意可知在组有人；在组人；故在第五位和第六位的成绩均为95；故中位数为 八年级一共名学生的竞赛成绩在组有四人，则，故 故，， （2）此次竞赛中，八年级的学生掌握的宪法知识更好．因为八年级的众数大于七年级的众数，所以八年级更好； （3）八年级中学生成绩不低于分，即、占比为：， 估计该校八年级学生成绩被评为优秀的总人数为：（人） 答：估计成绩被评为优秀的总人数为人． 【变式8-4】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）大年初一上映两部喜剧片《热辣滚烫》和《飞驰人生2》，为了解学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校八年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 《飞驰人生2》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9． 《热辣滚烫》得分情况扇形统计图 抽取的学生对两部作品打分的统计表 喜剧片 平均数 中位数 众数 《飞驰人生2》 8.2 b 9 《热辣滚烫》 7.8 8 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______；______． (2)根据上述数据，你认为该校八年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条即可）； (3)若该校八年级1100名学生都对这两部作品进行打分，你认为这两部作品一共大约可得到多少个满分？ 【详解】（1）解：《热辣滚烫》调查得分为“10分”所占的百分比为： ，即； 《热辣滚烫》调查得分为“8分”的人数最多，因此众数是8，即； 《飞驰人生2》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是8.5，即； 故答案为：15；；8； （2）解：《飞驰人生2》， 理由为《飞驰人生2》调查得分的平均数、中位数、众数均比《热辣滚烫》高； （3）解：（人， 答：这两部作品一共可得到385个满分． 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）今年是新修订的《中华人民共和国保守国家秘密法》颁布实施一周年，某校808班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在70~90之间（含70分和90分）的频数是（   ） A．0.45 B．16人 C．18人 D．20人 【答案】C 【详解】解：不足70分的频数： （人）． 高于90分的频数：（人）． 70~90分之间的频数：（人） 因此，成绩在70~90分之间的频数为18人， 故选C． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某射击小组有20人，成绩如表所示：这组数据的众数和中位数分别是（　　） 射击（环） 5 6 7 8 9 10 人数 1 3 6 7 2 1 A．8；8 B．7；8 C．7；7.5 D．8；7.5 【答案】D 【详解】解：由表格可得射击8环的有7人，因此众数为8； 共有20个数据，则中位数为第10，11个数据的平均数，由表格可得第10个数据为7，第11个数据为8，因此中位数为， 故选：D． 3．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，，10，15．如果这组数据的众数10，则这组数据的中位数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【详解】解：∵每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，x，10，15，这组数据的众数10， ∴x的值是10 ∴将每天销售某种装饰品的个数进行排序为：10，10，10，11，11，13，15， 处于中间位置的数据是11， ∴这组数据的中位数是11． 故选：B 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某校举行经典诵读比赛，雅韵队的形象、内容、效果这三项得分依次为90，95，92，最终成绩中形象、内容、效果按的比例确定，那么雅韵队的最终成绩为______分． 【答案】 【详解】解：雅韵队的最终比赛成绩为：（分）． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．为了了解学生的睡眠情况，张老师统计了八（3）班40名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示．该班学生每天的平均睡眠时间是______h． 睡眼时间/h 8 9 10 人数/人 6 24 10 【答案】 【详解】解：（）， 故答案为： ． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）每年的12月2日为交通安全日．为提高大家的交通安全意识，某校组织开展了安全知识竞赛，从七年级260名学生和八年级280名学生中各随机抽取了20名学生参加，并对成绩数据（单位：分，百分制，成绩为整数）进行整理、描述与分析．以下给出部分信息． ①频数分布直方图如下： （数据分为4组：，，，） ②七年级学生成绩在这一组的数据如下： 80  82  84  85  86  87  87  87  87  87  89 ③七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.4 87.5 88 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：表格中____________，____________． (2)若该校七、八年级学生全部参加竞赛，估计成绩不低于90分的学生人数． (3)该校将抽取的40名学生的成绩按从高到低排列，授予前20名学生“交通安全先锋”称号．八年级的小丽成绩为88分，小丽能获得“交通安全先锋”的称号吗？请说明理由． 【详解】（1）解：将七年级成绩按从小到大排列，处在第10位和第11位的为和，故， 七年级成绩中，出现的次数最多，有次，故； （2）解：（人）， 故该校七、八年级学生全部参加竞赛，估计成绩不低于90分的学生人数为人； （3）解：小丽能获得“交通安全先锋”的称号，理由如下： ∵小丽的成绩分均大于两个年级的中位数， ∴小丽的排名超过总人数的一半，即能进入前名， ∴小丽能获得“交通安全先锋”的称号． 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）随机抽取部分八年级学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和如图①②所示的两幅不完整的统计图，已知图①中A，E两组对应的小长方形的高度之比为，m为B组所占的百分率 组别 月零花钱消费额/元 A B C D E 请回答以下问题： (1)本次调查样本的容量是 ； ； (2)补全频数分布直方图，并标明各组的频数； (3)若该学校有2000名学生，请估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量． 【详解】（1）解∶本次调查样本的容量是， ∵两组对应的长方形的高度之比为，组的人数为人， ∴组的人数为（人）， 组的人数为（人）， ∴组的人数为， ∴， 故答案为：100；； （2）解：如图所示 （3）解：估计月消费零花钱不少于300元的学生数为（人）． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）为提高学生对于数学学习的兴趣，八年级举办了“数学素养大赛”活动，为了解大赛情况，从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组：，组：，组：，组：，组：，组：，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图表信息解答以下问题： (1)本次调查随机抽取了______名参赛学生的成绩；在扇形统计图中组所在扇形的圆心角是______度． (2)补全频数分布直方图． (3)若八年级共有名学生，请根据调查数据估计八年级大赛成绩在组的学生人数． 【详解】（1）本次调查随机抽取了（名）参赛学生的成绩； 在扇形统计图中组所在扇形的圆心角是； （2）组人数为：（名）， 补全频数分布直方图如图所示； （3）八年级大赛成绩在组的学生人数为：（名） 答：若八年级共有名学生，则八年级大赛成绩在组的学生人数为名． 9．（24-25八年级下·安徽六安·期末）某校为了解八年级学生视力情况，在全校560名八年级学生中随机抽取了20名学生，并对他们进行右眼视力检查，结果如下： 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 人数（人） 1 1 2 1 2 m 1 1 3 n 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为 ，n的值为 ； (2)这组数据的中位数是 ； (3)估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数． 【答案】(1)2，4 (2) (3)252人 【详解】（1）解：统计相关数据可得，，． 故答案为：2，4． （2）解：∵共有20个数据， ∴由小到大排列，中位数为第10和第11数的平均数， ∴中位数． 故答案为：． （3）解：人． 答：估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数为252人． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）知识是人类进步的阶梯，阅读则是了解人生和获取知识的主要手段和最好途径．读书可以保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．我校响应号召，开展了以“我爱阅读”为主题的读书活动，为了解同学们的阅读情况，学校随机抽取了部分学生在某一周课外阅读文章的篇数进行统计，并制成了统计表及如图所示的统计图． 某校调查的学生阅读篇数统计表 阅读文章篇数/篇 4 5 6 7 人数 8 m 20 4 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)______，本次抽查的学生阅读文章篇数的中位数是______，众数是______； (2)求本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数； (3)学校拟将每周阅读文章篇数超过6篇（不含6篇）的学生评为“阅读达人”并予以表扬．若我校学生以1600人计算，请你估计受表扬的学生人数． 【答案】(1)18，5，6 (2)本次抽查的学生这周平均每人阅读文章篇； (3)受表扬的学生约有128人． 【详解】（1）解：由题意可得：本次抽查的总人数为：（人）， （人）， 将学生的阅读篇数从小到大排列处在25、26位都是5篇，因此中位数是5篇； 学生的阅读篇数出现次数最多的是6篇，出现20次，因此众数是6篇， 故答案为：18；5；6； （2）解：由题意可得；（篇）， 答：本次抽查的学生这周平均每人阅读文章篇； （3）解：本次抽查中阅读文章篇数超过6篇（不含6篇）的学生所占百分比为：， （人）， 答：受表扬的学生约有128人． 11．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）跳绳是我国民间的一项体育项目，它可以促进少年儿童的健康发育，也可以培养身体的平衡感，因此具有较大的锻炼价值，一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一，某校为了了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为组：（组：；组：；组：；组：；组：），学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： 被抽取的学生的跳绳个数在组的数据是：，，，，，． 八年级被抽取的学生跳绳个数的平均数、中位数、众数如表： 年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： (1)求八年级被抽取的学生的跳绳个数在的人数，并补全频数分布直方图； (2)______； (3)若该校八年级有学生名，估计全年级学生跳绳个数不少于个的人数． 【详解】（1）解：∵八年级抽取的总人数为人， 组的人数为人， 补全频数分布直方图： （2）解：∵八年级抽取的总人数为20人， ∴将数据从小到大排序后，中位数是第10，11个数据的平均数， ∵A组3人，B组6人，C组6人， ∴第10，11个数据在C组，即191，195， ∴中位数． 故答案为：193 （3）解：人， 答：估计全年级学生跳绳个数不少于个的人数为人． 12．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）在第二届“安丰塘杯”端午龙舟大赛之际，某校七、八年级组织部分学生开展了一次以“端午传古韵”为主题的传统文化体验活动，并对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6分的整数．为了解这次活动的效果，先从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 3 3 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，请根据以上信息完成下列问题： (1)在样本中，七年级活动成绩为7分的学生有 人，七年级活动成绩的众数为 分； (2) ， ； (3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，请判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【详解】（1）七年级活动成绩为10分的学生有：（人）， 七年级活动成绩为9分的学生有：（人）， 七年级活动成绩为8分的学生有：（人）， 七年级活动成绩为7分的学生有：（人） ∵， ∴七年级活动成绩的众数为8分， 故答案为：1，8； （2）∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，即为8分与9分的平均数， ∴大于等于9分的学生有5人， ∴，， 故答案为：1，2； （3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下， 七年级优秀率为，平均成绩为：， 八年级优秀率为，平均成绩为：， ∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高， ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高 13．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）【项目背景】近年来，国家一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 成绩                          整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下： …，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，89，90，… 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有______人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是______； 任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95．若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 【详解】解：任务1：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． ∴人， ∴组的人数为（人）， 则组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如图所示： 任务2：根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组， 其中组占比为，共有人， 根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ∴组的人数为人， ∴从大到小排列，第，个数据分别为，， ∴心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是； 任务三：课前， ， ∴该校开设的心理健康课能够达到“效果显果”． 14．（24-25八年级下·安徽六安·期末）某校从七年级随机抽取若干名学生，调查他们平均每周劳动时间的情况，以下是根据调查结果绘制的不完整的统计图： 请根据图中的信息，解答下列问题： (1)本次抽样的学生人数为 人，并补全频数分布直方图； (2)中位数在频数分布直方图中左起第 组范围内，该组频率为 ； (3)所抽取学生平均每周劳动时间的平均数的最小值是多少？ 【详解】（1）解：本次抽样调查的学生人数为（人）， 小时人数为（人）， 补全图形如下： （2）解：∵中位数是学生的劳动时间按从小到大排列，第25、第26两数的平均数， ∴中位数在频数分布直方图中左起第四组范围内，该组频率为； （3）解： 答：所抽取学生平均每周劳动时间的平均数的最小值2.9小时． 15．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）某校想了解九年级学生对防溺水安全知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制）整理成如下不完整的统计图表： 被抽取学生的测试成绩分布表 被抽取学生的测试成绩扇形统计图 组别 成绩/分 频数 A a B 16 C 8 D 4 备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为分． 请根据以上信息回答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量为________，________，________，________； (2)小王说：“我的成绩是85分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学，”你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)成绩不低于80分的学生防溺水安全知识掌握情况良好，若九年级学生约有480人，试估计九年级防溺水安全知识掌握情况良好的学生约有多少人． 【详解】（1）解：本次抽样调查的样本容量为； ； ； ； 故答案为：40，12，30，72； （2）解：不正确． 理由：样本数据是40个数据从高到低进行排列． 第20、21个数据分别为87，86， 这组数据的中位数为， 因为小王的成绩是85分，低于中位数分，没有超过一半的同学， 所以说法错误； （3）解：（人） 答：估计九年级防溺水安全知识掌握情况良好的学生人数约为为336人． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的初中学生人数为______，图1中m的值为______； (2)求调查的该部分初中学生每天在校体育活动时间的平均数、众数和中位数； (3)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2400名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 【答案】(1)40，25 (2)这组数据的平均数是，中位数是，众数是 (3)该校每天在校体育活动时间大于的学生人数为2160人 【详解】（1）解：依题意，（人）， ， 即， 故答案为：40，25； （2）解：， 这组每天在校体育活动时间出现次数最多的是， 因此众数是， 将这40个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是， 因此中位数是， 答：这组数据的平均数是，中位数是，众数是； （3）解：（人）， 答：该校每天在校体育活动时间大于的学生人数为2160人． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某集团校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图； b．七年级成绩在这一组的是：70，72，74，76，76，77，77，77，77，78，78． c．七，八年级成绩的平均数，中位数如表： 年级 平均数 中位数 七 m 八 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，七年级成绩在这一组的有______人，在80分以上（含80分）的有______人； (2)表中m的值为______，在这次测试中，七年级成绩的众数位于这一组，则七年级成绩的众数为______分； (3)在这次测试中，八年级学生甲与七年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级50名测试学生中的排名谁更靠前，并说明理由； (4)该校七年级学生有1000人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数分的人数． 【详解】（1）解：在这次测试中，七年级成绩在这一组的有（人）， 在80分以上（含80分）的有（人）， 故答案为：10；23． （2）解：七年级成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而这2个数据分别为77、78， 所以其中位数， 七年级成绩的众数为77， 故答案为：；77． （3）解：乙学生在该年级的排名更靠前． 理由：∵八年级学生甲的成绩小于中位数分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，七年级学生乙的成绩大于中位数分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前， ∴乙学生在该年级的排名更靠前； （4）解：∵， ∴估计七年级成绩超过平均数分的人数为580人． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.1 数据的频数分布和集中趋势 教学目标 1.理解频数、频率、算术平均数、加权平均数、中位数、众数的概念，掌握各概念间的相互关系。 2.掌握频数分布表的制作步骤，会绘制频数分布直方图，并能区分直方图与条形图的差异。 3.熟练掌握算术平均数、加权平均数、中位数、众数的计算方法，理解“权”的实际意义，明确加权平均数与算术平均数的联系与区别。 4.能根据频数分布图表、各类统计量提取有效信息，进行简单的数据分析与推断，能结合实际情境合理选择统计量描述数据的集中趋势。 5.体会样本估计总体的思想，会用样本平均数估计总体平均数，提升数据应用能力。 教学重难点 教学重点 1.核心概念的理解与应用：频数、频率、加权平均数、中位数、众数的概念及计算方法。 2.数据的整理与描述：频数分布表、频数分布直方图的制作与解读。 3.数据集中趋势的分析：能根据实际情境，合理选择统计量描述数据的集中趋势，能通过统计量和频数图表提取有效信息。 教学难点 1.频数分布相关：理解频数分布直方图中矩形连续性的意义，避免与条形图混淆。 2.集中趋势相关：加权平均数中“权”的实际意义理解，极端值对平均数的影响分析；3.复杂实际情境下，统计量的合理选择（如平均数、中位数、众数的适用场景辨析）。 4.统计思想的渗透：体会样本估计总体的思想，能结合数据做出合理推断，避免数据分析中的片面性。 知识点01 频数分布表 1.频数：我们把一批数据中落在某个小组内数据的个数称为这个组的频数 . 2. 频率：如果一批数据共有 n 个，而其中某一组数据是 m 个，那么就是该组数据在这批数据中出现的频率 . 3. 频数分布表：根据频数整理得到的表格就是频数分布表 . 频数分布表反映了数据落在各个小组内的频数，从而反映了一组数据中各数据的分布情况 . 4.制作频数分布表的步骤 (1)确定数据变动范围计算某批数据中最大数与最小数的差(称为“极差”). (2)决定组距和组数 . 组距是指每个小组的两个端点间的距离 . 如果每组组距相同，那么组数 = (3)决定分点.一般将表示分点的数在原数据的基础上多 取一位小数，并把第一组的起点定为比最小的数据稍小一点的数 .确定分点的两种方法：①数据不落在分点上，即起点值比最小值略小一些；②数据落在分点上，这时需要对每个分组区间的端点值属于哪个组作出规定，常采用“上限不在内”的原则，如 x 的范围是 90~100 时，100不在内，即90 ≤x<100. (4)列频数分布表 . 【即学即练】某兴趣小组随机抽取了100名学生去年一年的课外阅读数量，得到如下频数分布表，则阅读数量x（单位：本）在范围内的人数占抽查学生总人数的百分比为（    ） 阅读数量x/本 频数 24 25 28 16 7 A．23％ B．35％ C．49％ D．51％ 知识点02 频数直方图 1. 频数直方图 画出相互垂直的两条直线，用横轴表示分组情况，纵轴表示频数，绘出相应的长方形条，就得到了频数直方图. 2.绘制频数直方图的步骤 (1)列出频数分布表；(2)画频数直方图. 3.直方图与条形图的区别 条形图 直方图 用小长方形的高度表示数据的大小 用小长方形的面积来表示此组数据的总量 横轴上的数据是独立的，相邻的数据没有联系 横轴上相邻的数据有必然联系，它表示一个范围 各个小长方形之间有间隔 相邻的小长方形之间没有间隔 侧重反映每个项目具体数目的多少 描述的是一组连续的数据，它侧重反映这些数据落在各小组内的频数的分布情况 【即学即练】如图是某校八年级2班学生的一次体检中每分钟心跳次数的频数直方图（次数均为整数）．该班李红同学参加了此次体检，她心跳每分钟68次，下列说法：①李红每分钟心跳次数落在第1小组；②第3小组的频数为0.15；③每分钟心跳次数低于80次的人数占该班体检人数的．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 知识点03 平均数 1. 定义：一般地，如果有 n 个数据， ，…， ，那么， ( ++…+)就是这组数据的平均数，记作，读作“x 拔” ，即 ̅= ( ++…+). 2. 拓展  若 x1， x2，…， xn 的平均数为，则： (1) nx1， nx2，…， nxn 的平均数为 n ； (2) x1+b， x2+b，…， xn+b 的平均数为 +b； (3) nx1+b， nx2+b，…， nxn+b 的平均数为 n +b. 【即学即练】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是，则这组数据的平均数为___________________． 知识点04 加权平均数 1.加权平均数 一般地，求平均数，可统一用公式：x =. 其中，，…， 分别表示数据，，…， 出现的次数，或者表示数据，，…，在总结果中的比重，我们称其为各数据的权，叫作，，…， 这k 个数据的加权平均数. 2.算术平均数与加权平均数的区别与联系 区别 联系 算术平均数 算术平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”相同，即各个数据的权相同 若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平均数的一种特例 加权平均数 加权平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的权不一定相同 3. 分布式计算 若m个数据的平均数是a，n个数据的平均数是b，则这(m+n)个数据的平均数是，这是分布式计算的最简单形式，这样的计算在形式上是加权平均数，在程序上是分别计算．分布式计算是把一个需要非常巨大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分进行处理的方式，是大数据处理的一种重要方法． 【即学即练】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）学校举办了演讲比赛．已知某同学礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为80分和90分．若依次按照，百分比确定成绩，则该同学的成绩是（   ） A．87分 B．86分 C．85分 D．84分 知识点05 中位数 1.中位数 一般地, 当将一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据(当数据的个数是奇数时)或正中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫作这组数据的中位数. 2.求中位数的方法 【即学即练】（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）已知一组数据的平均数是，则这组数据的中位数是______． 知识点06 众数 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 . 说明： (1)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关，它一定出现在这组数据中； (2)众数是描述一组数据集中趋势的量，众数只与各数据出现的次数有关，有时是我们最为关心的统计数据 . 【即学即练】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）某校在国学文化进校园活动中，随机统计了50名学生一周的课外阅读时间如下表所示，则这组数据的众数（    ） 时间／小时 10 4 8 9 5 学生数 5 8 14 19 4 A．19 B．9 C．10 D．5 知识点07 选择合适的量描述数据的集中趋势 平均数、中位数和众数的联系与区别 平均数 中位数 众数 区 别 个数 唯一 唯一 不一定唯一 与组内数据的关系 与每个数据均有关 按大小排序，只与正中间的一个数据或正中间的两个数据有关 只与出现次数最多的数据有关 是否为组内的数据 不一定是 不一定是 不一定是 优点 所有数据参与运算，能充分利用数据所提供的信息 计算简单，受极端值影响较小 某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题 缺点 易受极端值的影响 不能充分利用所有数据所提供的信息 当各数据的重复次数大致相等时，研究众数没有意义 联系 都是一组数据的代表值，能从不同角度反映一组数据的集中趋势 【即学即练】学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 750 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 知识点08 用样本平均数估计总体平均数 现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数. 用样本估计总体，样本的选取需注意两点： (1)样本的选取要具有随机性，保证样本具有代表性； (2)样本的容量不能太小，如果样本容量太小，容易造成样本与总体有较大的差异. 【即学即练】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．8 C．5 D．3 题型01 频率分布表的应用 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小涵同学通过查看通话记录得知了他家5月份打电话的次数及通话时间，并列出如下频数分布表∶ 通话时间/min 频数(通话次数) 34 18 9 5 通话时间不超过15min的频数为，则通话时间不超过10分钟的频率为__________． 【变式1-1】电影《浪花朵朵》以惠安小岞林场女子种植队真实故事为蓝本，再现“林海娘子军”植树固沙的生态奇迹．某林场参照其模式种植木麻黄，共完成个造林批次，其成活率的区间分布统计如下表： 造林成活率（） 造林批次（批） 2 7 10 31 则在这个造林批次中，成活率不低于的批次占比为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示： 尺码（） 销量（双） 根据上表，现有下列说法：①频数最大的尺码是；②频数最大的尺码是；③建议这家鞋店适当多进尺码为的鞋；④总销量是（双）．其中正确的说法有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③ 【变式1-3】某校在寒假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，并随机抽取了部分学生就暑假“平均每天帮助父母千家务所用时长”进行了调查，列出了下面的频数分布表： 时长（分钟） 频数 66 48 52 4 百分比 (1)在本次随机抽取的样本中，求调查的学生人数； (2)如表中，求出，的值． 题型02 从频数直方图中读取信息 【例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数直方图，根据图示信息描述不正确的是（   ） A．频数直方图中组距是10 B．本次共抽取了60位同学的成绩 C．70.5~80.5这一分数段的频数为18 D．这次测试及格（不低于60分）率为 【变式2-1】某校举行规范书写大赛，100名参赛同学最后得分（得分取整数）的频数分布直方图如图所示（频数轴刻度等间隔）．根据图中的信息写出频数轴每隔代表人数（   ） A．5 B．10 C．15 D．无法确定 【变式2-2】如图是麓山在八年级900名学生中随机调查部分学生每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．请你估计该校八年级学生每周课外阅读时间在2～4小时的约有（） A．440人 B．180人 C．160人 D．120人 【变式2-3】某校举办了科技创新大赛的校级预赛，将八年级参加预赛的学生成绩绘制成频数分布直方图如下（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），根据统计图，下列结论中错误的是（    ） A．成绩在分这一组的人数最多 B．八年级参加预赛的学生共有20名 C．成绩分的学生占比为 D．不及格（低于60分）的人数为2人 题型03 频数分布表与扇形统计图的综合 【例3】为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题： 表1  知识竞赛成绩分组统计表 组别 分数/分 频数 A      a B      10 C      14 D      18 (1)本次调查一共随机抽取了______个参赛学生的成绩； (2)表1中______； (3)扇形统计图中“C”对应的圆心角为______度； (4)请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有______人． 【变式3-1】某校课外兴趣小组对五一学生外出参加科技馆活动使用交通工具的情况，进行了随机抽样的调查，调查后发现学生选用四种交通工具的其中一种．表示乘坐地铁出行，表示乘坐私家车出行，表示乘坐公交车出行，表示公享单车出行或其他，划分类别后的数据整理如下表： 类别 人数 比率 15 20 b 12 c d 学生外出参加科技馆活动使用交通工具统计表与扇形统计图 (1)求扇形统计图中类别为的学生数所对应的扇形圆心角的度数； (2)若该校有1600名学生，估计该校学生中类别为的人数． 【变式3-2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）里约奥运会后，同学们参与体育锻炼的热情高涨，为了解他们平均每周的锻炼时间，小明同学在校内随机调查了50名同学，统计并制作了如图所示的频数分布表和扇形统计图． 组别 锻炼时间/（时/周） 频数 A 1 B 2 C m D 20 E 15 F n (1) ， ； (2)在扇形统计图中，D组所对应扇形圆心角的度数是 ； (3)全校共有名学生，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6h的学生约有 名． 【变式3-3】为促进青少年体质健康，市教育局对全市初中女生进行一分钟仰卧起坐达标测试，测试成绩采用10分制，分为A、B、C、D 、E 五个等级．某校九年级抽取部分女生成绩数据后，绘制了如下不完整的统计图表： 等级 成绩（个） 频数 A 10 B 16 C 14 D E 5    (1)频数分布表中 ； (2)求扇形统计图中等级B所占的百分比； (3)通过对统计图表的分析，请你对九年级的女生提出一条好的建议． 题型04 频数分布表与频数直方图的综合 【例4】某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解学生一年内阅读书籍的数量，随机抽取部分学生进行统计，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图． 分组 频数 频率 合计 请根据图表，解答下面的问题： (1) ________， ________， ________， ________． (2)补全频数分布直方图． (3)如果阅读书籍数量在本或以上的人数占总人数的以上，那么该校能评为“书香校园”，请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉，并说明理由． 【变式4-1】某市马拉松鸣枪开跑，35000名跑者在赛道上挑战自我．初一“和畅”部有50位同学参与了5公里的“欢乐跑”项目，经过调查，将50位同学的成绩绘制成了如下不完整的统计图表：            初一“和畅”部50名同学“欢乐跑”成绩 成绩x（分钟） 频数（人） 频率 5 0.1 10 0.2 a 0.24 14 b 9 0.18 (1)统计表中， ， ； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若我校参加此次“欢乐跑”比赛的共有500名同学，请估计成绩在“”范围的人数有多少？ 【变式4-2】江苏省首届城市足球联赛火爆出圈，今年迎来第二届“苏超”联赛．某中学在全校学生中开展了足球知识竞赛，并随机抽取了30名学生的竞赛成绩（百分制）如下：77，94，86，85，89，95，96，93，88，87，83，83，82，94，92，86，88，94，92，90，88，83，87，87，82，82，87，80，86，85． 对这30个数据按组距4进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表： 组别 A B C D E 成绩x 频数 2 a 12 4 b 以上图表，解答下列问题： (1)表格中的______， ______； (2)请补全频数分布直方图； (3)该校共有学生1200人，若成绩不低于89分为优秀，请估计该校成绩达到优秀的学生人数． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）为了解某校八年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 12 10 学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： (1)表中______，______； (2)请把频数分布直方图补充完整； (3)跳远成绩大于等于为优秀，若该校八年级共有1300名学生，估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有多少人？ 题型05 平均数的灵活求法 【例5】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）五位同学的数学测试成绩中最高分是140分，最低分是110分，他们的平均测试成绩可能是（   ） A．105分 B．120分 C．140分 D．150分 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某单位男职工数与女职工数之比为，男、女职工的年龄分别为40岁和30岁，则该单位职工的平均年龄为（　　） A．36岁 B．岁 C．岁 D．37岁 【变式5-2】已知一组数据0，2，，3，5的平均数是，则这组数据的平均数为________． 【变式5-3】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）夏天来临，某超市销售三种不同型号的手持小风扇，它们的单价分别为元，元，元，某天该超市的小风扇销售数量情况如图所示，那么这天该超市销售的小风扇每个平均价格是______元． 题型06 中位数、众数、平均数的分类讨论问题 【例6】一次数学课堂上，老师让同学们各写一个一位数并计算各自小组所写数字的平均数和中位数，某小组有六位同学，四位同学先写出的数字为：9，8，6，9，后两位同学再写出后，发现小组的中位数变小了而平均数没变，则后两位同学所写数字可能为（   ） A．7，9 B．7，8 C．8，8 D．6，9 【变式6-1】体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式6-2】已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为______． 题型07 根据统计量作出决策 【例7】（24-25八年级下·安徽·期末）为增强学生的社会实践能力，某校拟实施每周半天计划，并同步建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小聪、小颖的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小聪 83 72 80 78 小颖 86 84             (1)在摄影测试中，七位评委给小颖打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分； (2)请你计算小颖的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名小记者，试分析小聪、小颖能否入选，并说明理由． 【变式7-1】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）2025年3月22日-28日是第三十八届“中国水周”，主题为“推动水利高质量发展，保障我国水安全”．为增强学生节约用水意识，某校举办了以“节水护水”为主题的活动．结合该主题活动，二中八年级数学课外活动小组随机抽取部分城镇居民家庭统计其3月份用水量，并将居民家庭的用水量（单位：）分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．再对收集到的数据进行统计、整理后，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全条形统计图，扇形统计图中圆心角__________； (2)抽取的家庭用水量的中位数落在________组； (3)若平均用水量小于7，则体现城镇居民节水意识较强，节水率达到评选文明城镇的标准．若分别用4，6，8，10，12作为A，B，C，D，E这五组用水量的平均数，估计该城镇3月份用水量的节水率是否达到评选要求，并对城镇家庭提出一条节水建议． 【变式7-2】某市招聘教师，采取的是“笔试+专业测试”的形式，笔试成绩和专业测试成绩按合成报考人员的综合成绩，最终录用则依据招聘计划按综合成绩从高到低确定． 教学设计 课堂教学 答辩 甲 90 85 90 乙 80 92 85 （注：每组含最小值，不含最大值）    (1)将笔试入围的报考人员的成绩绘制成如图所示的频数分布直方图，其中成绩80分以上（包括80分）的人数占40%，则笔试入围的共有多少人？补全频数分布直方图； (2)专业测试包括教学设计、课堂教学、答辩三项测试，已知甲、乙两人的笔试成绩分别为80分，82分，在笔试入围后，参加了专业测试，两人的成绩如表格所示：（单位：分）根据招聘公告规定，专业测试成绩按教学设计占30%、课堂教学占50%、答辩占20%来计算，若按综合成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？ 【变式7-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）李老师为了解八年级1200名学生的书写水平，从八年级随机抽取了20名学生进行书写测试，测试成绩（单位：分）满分为10分，对这20名学生的得分进行统计、整理和分析，并绘制出如下统计图、表．已知成绩在这一范围内的数据：7.2，7.3，7.5，7.6，7.7． 平均数 众数 中位数 7.52 8.1 n (1)填空： ， ； (2)若成绩不低于8分为优秀，请你估计八年级1200名学生中成绩为优秀的学生有多少人； (3)李老师对数据进行分析后，决定对测试成绩前十名的学生进行奖励，其中一位学生的成绩是7.6分，请你判断该学生能不能得到奖励？并说明理由． 题型08 “三数”与统计图的综合应用 【例8】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）为了迎接中考体育考试，某体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别，第1组：；第2组：；第3组：；第4组：；第5组：，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下： ①将男生成绩的第2组后4个数据依次为． ②将男生测试成绩绘制成频数分布直方图，如图1； ③女生测试成绩如扇形统计图2； ④抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 166 女生 162.6 159 164 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______，并补全条形统计图； (2)根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，说明理由；（写出一条理由即可） (3)若每分钟跳绳达到160个，则成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 【变式8-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）李老师为了解八年级1200名学生的书写水平，从八年级随机抽取了20名学生进行书写测试，测试成绩（单位：分）满分为10分，对这20名学生的得分进行统计、整理和分析，并绘制出如下统计图、表．已知成绩在这一范围内的数据：7.2，7.3，7.5，7.6，7.7． 平均数 众数 中位数 7.52 8.1 n (1)填空：_______，_______； (2)若成绩不低于8分为优秀，请你估计八年级1200名学生中成绩为优秀的学生有多少人； (3)李老师对数据进行分析后，决定对测试成绩前十名的学生进行奖励，其中一位学生的成绩是7.6分，请你判断该学生能不能得到奖励？并说明理由． 【变式8-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）“感受数学魅力，提升数学素养”，安徽某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，将学生的竞赛成绩分为A．；B．；C．三个等级（满分：100分，不低于90分为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：78，78，84，84，84，85，90，95，95，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据：81，82，86，88，88． 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 87 a b 八年级 87 c 88 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：n＝ ，a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)若七、八年级各有200名学生参赛，请估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数． (3)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 【变式8-3】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）淮北市某学校开展了一场“学宪法、讲宪法”知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理，描述和分析（满分分，得分用表示，共分成四组：．；B．；C．；D．），其中分数不低于分为优秀，下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，． 八年级名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，． 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图    七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)在上述图表中： ； ； ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生宪法知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级共有人参加了此次活动．请估计该校八年级学生参加宪法知识竞赛成绩被评为优秀的总人数． 【变式8-4】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）大年初一上映两部喜剧片《热辣滚烫》和《飞驰人生2》，为了解学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校八年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 《飞驰人生2》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9． 《热辣滚烫》得分情况扇形统计图 抽取的学生对两部作品打分的统计表 喜剧片 平均数 中位数 众数 《飞驰人生2》 8.2 b 9 《热辣滚烫》 7.8 8 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______；______． (2)根据上述数据，你认为该校八年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条即可）； (3)若该校八年级1100名学生都对这两部作品进行打分，你认为这两部作品一共大约可得到多少个满分？ 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）今年是新修订的《中华人民共和国保守国家秘密法》颁布实施一周年，某校808班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在70~90之间（含70分和90分）的频数是（   ） A．0.45 B．16人 C．18人 D．20人 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某射击小组有20人，成绩如表所示：这组数据的众数和中位数分别是（　　） 射击（环） 5 6 7 8 9 10 人数 1 3 6 7 2 1 A．8；8 B．7；8 C．7；7.5 D．8；7.5 3．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，，10，15．如果这组数据的众数10，则这组数据的中位数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．15 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某校举行经典诵读比赛，雅韵队的形象、内容、效果这三项得分依次为90，95，92，最终成绩中形象、内容、效果按的比例确定，那么雅韵队的最终成绩为______分． 5．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．为了了解学生的睡眠情况，张老师统计了八（3）班40名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示．该班学生每天的平均睡眠时间是______h． 睡眼时间/h 8 9 10 人数/人 6 24 10 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）每年的12月2日为交通安全日．为提高大家的交通安全意识，某校组织开展了安全知识竞赛，从七年级260名学生和八年级280名学生中各随机抽取了20名学生参加，并对成绩数据（单位：分，百分制，成绩为整数）进行整理、描述与分析．以下给出部分信息． ①频数分布直方图如下： （数据分为4组：，，，） ②七年级学生成绩在这一组的数据如下： 80  82  84  85  86  87  87  87  87  87  89 ③七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.4 87.5 88 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：表格中____________，____________． (2)若该校七、八年级学生全部参加竞赛，估计成绩不低于90分的学生人数． (3)该校将抽取的40名学生的成绩按从高到低排列，授予前20名学生“交通安全先锋”称号．八年级的小丽成绩为88分，小丽能获得“交通安全先锋”的称号吗？请说明理由． 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）随机抽取部分八年级学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和如图①②所示的两幅不完整的统计图，已知图①中A，E两组对应的小长方形的高度之比为，m为B组所占的百分率 组别 月零花钱消费额/元 A B C D E 请回答以下问题： (1)本次调查样本的容量是 ； ； (2)补全频数分布直方图，并标明各组的频数； (3)若该学校有2000名学生，请估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）为提高学生对于数学学习的兴趣，八年级举办了“数学素养大赛”活动，为了解大赛情况，从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组：，组：，组：，组：，组：，组：，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图表信息解答以下问题： (1)本次调查随机抽取了______名参赛学生的成绩；在扇形统计图中组所在扇形的圆心角是______度． (2)补全频数分布直方图． (3)若八年级共有名学生，请根据调查数据估计八年级大赛成绩在组的学生人数． 9．（24-25八年级下·安徽六安·期末）某校为了解八年级学生视力情况，在全校560名八年级学生中随机抽取了20名学生，并对他们进行右眼视力检查，结果如下： 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 人数（人） 1 1 2 1 2 m 1 1 3 n 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为 ，n的值为 ； (2)这组数据的中位数是 ； (3)估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）知识是人类进步的阶梯，阅读则是了解人生和获取知识的主要手段和最好途径．读书可以保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．我校响应号召，开展了以“我爱阅读”为主题的读书活动，为了解同学们的阅读情况，学校随机抽取了部分学生在某一周课外阅读文章的篇数进行统计，并制成了统计表及如图所示的统计图． 某校调查的学生阅读篇数统计表 阅读文章篇数/篇 4 5 6 7 人数 8 m 20 4 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)______，本次抽查的学生阅读文章篇数的中位数是______，众数是______； (2)求本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数； (3)学校拟将每周阅读文章篇数超过6篇（不含6篇）的学生评为“阅读达人”并予以表扬．若我校学生以1600人计算，请你估计受表扬的学生人数． 11．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）跳绳是我国民间的一项体育项目，它可以促进少年儿童的健康发育，也可以培养身体的平衡感，因此具有较大的锻炼价值，一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一，某校为了了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为组：（组：；组：；组：；组：；组：），学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： 被抽取的学生的跳绳个数在组的数据是：，，，，，． 八年级被抽取的学生跳绳个数的平均数、中位数、众数如表： 年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： (1)求八年级被抽取的学生的跳绳个数在的人数，并补全频数分布直方图； (2)______； (3)若该校八年级有学生名，估计全年级学生跳绳个数不少于个的人数． 12．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）在第二届“安丰塘杯”端午龙舟大赛之际，某校七、八年级组织部分学生开展了一次以“端午传古韵”为主题的传统文化体验活动，并对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6分的整数．为了解这次活动的效果，先从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 3 3 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，请根据以上信息完成下列问题： (1)在样本中，七年级活动成绩为7分的学生有 人，七年级活动成绩的众数为 分； (2) ， ； (3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，请判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 13．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）【项目背景】近年来，国家一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 成绩                          整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下： …，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，89，90，… 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有______人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是______； 任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95．若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 14．（24-25八年级下·安徽六安·期末）某校从七年级随机抽取若干名学生，调查他们平均每周劳动时间的情况，以下是根据调查结果绘制的不完整的统计图： 请根据图中的信息，解答下列问题： (1)本次抽样的学生人数为 人，并补全频数分布直方图； (2)中位数在频数分布直方图中左起第 组范围内，该组频率为 ； (3)所抽取学生平均每周劳动时间的平均数的最小值是多少？ 15．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）某校想了解九年级学生对防溺水安全知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制）整理成如下不完整的统计图表： 被抽取学生的测试成绩分布表 被抽取学生的测试成绩扇形统计图 组别 成绩/分 频数 A a B 16 C 8 D 4 备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为分． 请根据以上信息回答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量为________，________，________，________； (2)小王说：“我的成绩是85分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学，”你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)成绩不低于80分的学生防溺水安全知识掌握情况良好，若九年级学生约有480人，试估计九年级防溺水安全知识掌握情况良好的学生约有多少人． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的初中学生人数为______，图1中m的值为______； (2)求调查的该部分初中学生每天在校体育活动时间的平均数、众数和中位数； (3)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2400名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某集团校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图； b．七年级成绩在这一组的是：70，72，74，76，76，77，77，77，77，78，78． c．七，八年级成绩的平均数，中位数如表： 年级 平均数 中位数 七 m 八 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，七年级成绩在这一组的有______人，在80分以上（含80分）的有______人； (2)表中m的值为______，在这次测试中，七年级成绩的众数位于这一组，则七年级成绩的众数为______分； (3)在这次测试中，八年级学生甲与七年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级50名测试学生中的排名谁更靠前，并说明理由； (4)该校七年级学生有1000人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数分的人数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $