专题02 勾股定理应用模型之翻折模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级下册

专题02 勾股定理应用模型之翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决与翻折问题相关的题目中，要注意隐含的已知条件较多：翻折前后的图形全等，由此会出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，会出现多个直角三角形，这也是我们运用勾股定理的关键；翻折问题本质是轴对称问题，因此翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分，折痕还会平分翻折所形成的两个角。 其实翻折问题并不复杂，只要把这些隐含已知条件熟记于心，再结合勾股定理的核心知识，就能让此类问题迎刃而解。本专题将系统梳理勾股定理中翻折模型的核心隐含条件、解题通法，结合例题与习题，帮助大家掌握“图形翻折→隐含条件→直角三角形→勾股定理→方程求解”的完整解题思路，轻松应对中考相关考点。 2 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 3 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 4 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 5 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 6 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 7 7 8 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 例1如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．若AB＝6，AD＝8，那么点E到BD的距离为（　　） A． B． C． D． 例2如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 ______ . 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 例1如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处．若AB＝8，DE＝5，则AD的长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 例2如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上．若△AEF的周长为6，△CDF的周长为12，则AF的长为（　　） A．2 B． C． D．1 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 例1把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D点重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则AE的长度是 ____ cm． 例2如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 _____ ． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，求BD的长． 例2如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AD＝2，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 例3如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠∠A，使点A的对应点落在点A′处．当A′P与Rt△ABC的边平行时，线段AP 的长为 _______ ． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在AC上，并且CF＝2，点E为BC上的动点（点E不与点C重合），将△CEF沿直线EF翻折，使点C落在点P处，PE的长为，则边EF的长为（　　） A． B．3 C． D．4 勾股定理解决翻折问题的通法 勾股定理在图形折叠中长度计算问题中的通法： 1.找直角：在翻折后的图形中，找到可运用勾股定理的直角三角形（优先找矩形的直角、翻折形成的直角）； 2.设未知：设图形中某一未知线段的长度为x（通常设翻折后重合的线段、要求的线段）； 3.表三边：利用翻折的全等性，将找到的直角三角形的三边长，用具体数值或含x的代数式表示（重点转化相等线段）； 4.列方程：根据勾股定理（直角边平方和=斜边平方），列出关于x的一元一次方程； 5.求答案：解方程，得出未知线段的长度，检验是否符合题意。 核心隐含条件：翻折前后图形全等（等线段、等角）；对应点连线被折痕垂直平分；折痕平分对应角。 易错点： 1.漏用翻折的隐含条件（尤其是对应线段相等）； 2.无法准确构造可运用勾股定理的直角三角形； 3.列方程时，边长的代数式表示错误，或勾股定理的三边对应关系混淆。 4.无法准确构造可运用勾股定理的直角三角形； 5.列方程时，边长的代数式表示错误，或勾股定理的三边对应关系混淆。 口诀记忆： 翻折全等找等线，直角三角形是关键；设元表边列方程，勾股定理解疑难。 1．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的一点，将△BCE沿BE所在直线折叠，点C落在AD边上，落点记为F，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．若AB＝6，AD＝10，则四边形CEFG的面积是（　　） A． B． C．20 D．10 2．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上．将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处．PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF．则AF的长为（　　） A．2 B． C． D． 3．如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若AD⊥CE，CF＝2，DF＝1，则▱ABCD的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．1 5．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝6，BC＝8，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④． 则DH的长为（　　） A． B． C． D．3 7．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．6.5 D．10 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E是AB上一个动点，F是AD上一点（点F不与点D重合），连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A的对应点A′落在边CD上，连接EC，若A′E＝CE，则△A′DF的面积为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 9．课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿EF对折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上A'点，若AB＝2，则折痕BG的长等于（　　）﹣ A． B． C．2 D．4 10．如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AD＝10，CF＝4，则DE的长为 ______ ． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形ABCD沿CE折叠后，使D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF＝______ ． 12．如图，有一张直角三角形的纸片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．现将三角形折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE，则CE长为 ___________ ． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E，F分别为边AD和BC上的两个动点，满足DE＝BF．将四边形ABFE沿直线EF翻折，得到四边形GHFE，其中G为A的对称点．当点G落在直线CD上时，AE的长为 ________ ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D为射线AC上一点，把△ABC沿BD折叠，点A落在直线BC上的点A′处，则AD的长为 ____________ ． 15．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是 __________ ． 16．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△CEF沿EF翻折得到△DEF，点D为AB中点，则____ ． 17．如图，在矩形ABCD中，将△BAD沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F．若BC＝9，DC＝3，则DF的长为 ______ ． 18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝5，P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠 （1）当四边形ADPD′是正方形时，CD′的长为 ____ ． （2）当CD′的长最小时，PC的长为 ____ ． 19．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，有一动点P以2cm/s的速度沿着B﹣C﹣D的方向移动，连接AP，沿AP翻折△ABP，得到△APB'，则经过 ________ s点B′落在边CD所在直线上． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，将△ABD沿着AD翻折得到△ADB′，若AB′交BC于点E，点E恰好是BC的中点，若AC＝3，AE＝1，则AD的长度是 ____ ． 21．如图，矩形ABCD中，点E、F分别为边BC、AD上两动点，沿EF翻折矩形，使得C点恰好落在边AB上，记作点M，翻折后点D的对应点为点N，若AB＝6，BC＝10，当AM＝NF时，线段CE的长度为 ____ ． 22．如图，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A点D重合），将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，连结BP、BH，下列结论： ①BP＝EF； ②当P为AD中点时，△PAE三边之比为3：4：5； ③∠APB＝∠BPH； ④△PDH周长等于8． 其中正确的是 ____________ （写出所有正确结论的序号） 23．正方形ABCD的边长是6，E是AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE折叠，点B的对应点是F，连接DF，则DF的长是 ____ ． 24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF．当△CEF为直角三角形时，CE的长是 __________ ． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为边AB，边AC上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点F刚好落在BC延长线上．若DF⊥AB，AE＝13，CF＝5，则线段CE的长为 ________ ，线段AB的长为 __________ ． 26．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且AB＝3，AE＝4，BC＝14，点P是线段BC上的一个动点，将点B沿PE翻折得点F，当BF＝CF时，BP＝________ ． 27．如图，折叠长方形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝12，AB＝5，求： （1）求线段CE的长； （2）求△CEF的面积． 28．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝8，点P为边AD上一动点，将矩形纸片ABCD沿BP折叠，折叠后BC与AP相交于点E． （1）∠CBP为何值时，点E与点A重合； （2）当AP长为何值时，△BEP的面积最大？并求出面积的最大值． 29．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折正方形纸片，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在BE上选一点H，沿CH折叠，使点B落在EF上的点G处，得到折痕CH，把纸片展平；根据以上操作，直接写出图1中∠CHB的度数：__________ ． （2）拓展应用 小华在以上操作的基础上，继续探究，延长HG交AD于点M，连接CM交EF于点N（如图2）．判断△MGN的形状，并说明理由． （3）迁移探究 如图3，已知正方形ABCD的边长为6cm，当点H是边AB的三等分点时，把△BCH沿CH翻折得△GCH，延长HG交AD于点M，请直接写出AM的长． 30．著名的“赵爽弦图”如图（1）所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4ab+（b﹣a）2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则a2+b2＝c2． （1）图（2）为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图（2）推导勾股定理． （2）如图（3），在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CA短多少千米． （3）在第（2）问中，若AB≠AC，CH⊥AB，AC＝4千米，BC＝5千米，AB＝6千米，求AH的长． 31．综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做60°，30°，15°的角”为主题开展数学活动． （1）操作判断 ①如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在EF上的点M处，把纸片展平，连接PM，BM．请写出图1中一个30°的角 _______ ； ②如图2，在前面操作的基础上，延长PM与BC交于点N，则△BNP的形状是 ______________ ． （2）迁移探究 小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长PM与CD交于点Q，连接BQ．如图3，若改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形ABCD的边长为6cm，当点P是边AD的三等分点时，请直接写出CQ的长． 32．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处． （1）若P为BC上一点． ①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长； ②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由； （2）如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理应用模型之翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决与翻折问题相关的题目中，要注意隐含的已知条件较多：翻折前后的图形全等，由此会出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，会出现多个直角三角形，这也是我们运用勾股定理的关键；翻折问题本质是轴对称问题，因此翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分，折痕还会平分翻折所形成的两个角。 其实翻折问题并不复杂，只要把这些隐含已知条件熟记于心，再结合勾股定理的核心知识，就能让此类问题迎刃而解。本专题将系统梳理勾股定理中翻折模型的核心隐含条件、解题通法，结合例题与习题，帮助大家掌握“图形翻折→隐含条件→直角三角形→勾股定理→方程求解”的完整解题思路，轻松应对中考相关考点。 2 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 5 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 7 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 10 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 13 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 15 15 16 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 例1如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．若AB＝6，AD＝8，那么点E到BD的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理可求得BD＝10，由折叠可知∠CBD＝∠C′BD，由平行线的性质可得∠EDB＝∠CBD，进而得到∠EDB＝∠EBD，BE＝DE，设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程求得x，则AE，DE，过点E作EF⊥BD于点F，由等腰三角形三线合一性质得DF5，在Rt△DEF中，利用勾股定理求出EF的长即可； 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， 在Rt△ABD中，10， ∵将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处， ∴∠CBD＝∠C′BD， ∵AD∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠C′BD，即∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE， 设AE＝x，则BE＝DE＝AD﹣AE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2， ∴x2+62＝（8﹣x）2， 解得：x， ∴AE，DE， 如图，过点E作EF⊥BD于点F， ∵BE＝DE， ∴DF， 在Rt△DEF中，， ∴点E到BD的距离为． 例2如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 ______ . 【答案】3． 【分析】根据矩形的性质得AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，∠D＝90°，AD∥BC，由平行线的性质得∠CAF＝∠ACB，由折叠的性质得∠ACB＝∠ACE，于是∠CAF＝∠ACF，则AF＝CF，设DF＝x，则AF＝CF＝8﹣x，在Rt△CDF中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝8， ∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，∠D＝90°，AD∥BC， 由折叠可知，∠ACB＝∠ACE， ∵AD∥BC， ∴∠CAF＝∠ACB， ∴∠CAF＝∠ACF， ∴AF＝CF， 设DF＝x，则AF＝CF＝8﹣x， 在Rt△CDF中，DF2+CD2＝CF2， x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴DF＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，利用平行线的性质和折叠的性质推出AF＝CF是解题关键． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 例1如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处．若AB＝8，DE＝5，则AD的长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】利用折叠性质可得EF＝DE，AD＝AF，根据勾股定理可得CF，设BF＝x，可得AD＝BC＝BF+CF，在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝8， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝8， ∵DE＝5， ∴CE＝CD﹣DE＝3， ∵矩形ABCD沿AE所在直线折叠， ∴∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝5， 在Rt△CEF中，CF， 即CF4， 设BF＝x，则 AF＝AD＝BC＝BF+CF＝x+4， 在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2， 即82+x2＝（x+4）2， 解得：x＝6， ∴AF＝x+4＝10， 故选：B． 例2如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上．若△AEF的周长为6，△CDF的周长为12，则AF的长为（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】Rt△CDF中，利用勾股定理可得DF2+CD2＝CF2，进而得出32+（9﹣CF）2＝CF2，求得CF的长，即可得出AF的长． 【解答】解：由折叠可知，BE＝FE，BC＝FC， 又∵△AEF的周长＝6，△CDF的周长＝12， ∴矩形ABCD的周长＝6+12＝18， ∴BC+CD＝189，即CF+CD＝9， ∴DF＝12﹣9＝3， Rt△CDF中，DF2+CD2＝CF2， 即32+（9﹣CF）2＝CF2， 解得CF＝5， ∴BC＝AD＝5， ∴AF＝AD﹣DF＝5﹣3＝2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换，解题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 例1把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D点重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则AE的长度是 ____ cm． 【答案】． 【分析】由折叠可知AE＝A′E，AB＝A′D＝3cm，∠A＝∠A′＝90°，设AE＝A′E＝xcm，则DE＝（5﹣x）cm，在Rt△A′DE中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，AB＝3cm，BC＝5cm， ∴AD＝BC＝5cm，∠A＝90°， 根据折叠的性质可得，AE＝A′E，AB＝A′D＝3cm，∠A＝∠A′＝90°， 设AE＝A′E＝xcm，则DE＝AD﹣AE＝（5﹣x）cm， 在Rt△A′DE中，AE′2+A′D2＝DE2， ∴x2+32＝（5﹣x）2， 解得：x， ∴AEcm． 故答案为： 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 例2如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 _____ ． 【答案】2． 【分析】连接BD，在Rt△ABD中，求得BD的长，在Rt△ADF中运用勾股定理求得DF的长，即可得到DF长，最后在Rt△DOF中求得FO的长，即可得到答案． 【解答】解：如图，连接BD，交FG于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD， Rt△ABD中，BD， 由折叠可得DOBD＝3，∠BFO＝∠DFO， 由AB∥CD可得，∠DFO＝∠BGO， ∴∠DFO＝∠BGO， ∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形， ∴BD平分FG， ∴OF＝OG， 由折叠知，BF＝DF， 设BF＝DF＝x，则AF＝18﹣x， 在Rt△ABF中，（18﹣x）2+62＝x2， 解得x＝10，即DF＝10， ∴Rt△DOF中，OF， ∴FG＝2FO＝2． 故答案为：2． 【点评】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，求BD的长． 【答案】BD． 【分析】先根据勾股定理求出BC＝4，根据折叠可知CD＝DE，AC＝AE＝3，∠C＝∠AED＝90°，则BE＝2，∠BED＝90°，CD＝DE＝x，则BD＝4﹣x，在Rt△BDE，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC4， 根据折叠的性质可得，CD＝DE，AC＝AE＝3，∠C＝∠AED＝90°， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，∠BED＝90°， 设CD＝DE＝x，则BD＝BC﹣CD＝4﹣x， 在Rt△BDE，BE2+DE2＝BD2， ∴22+x2＝（4﹣x）2， 解得：x， ∴BD＝4﹣x． 【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质，利用折叠前后图形的对应边和对应角相等，再根据勾股定理列出方程是解题关键． 例2如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AD＝2，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：在△ABC中， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∵∠BAD＝∠B， ∴AD＝BD＝2， 在Rt△ACD中， ∵∠CAD＝30°， ∴CDAD＝1， ∴BC＝CD+BD＝3． 故选：B． 例3如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠∠A，使点A的对应点落在点A′处．当A′P与Rt△ABC的边平行时，线段AP 的长为 _______ ． 【答案】2或． 【分析】根据题意，可以分两种情况：①当A′P∥AC时，根据平行线的性质和折叠的性质可得∠ACP＝∠APC，由等角对等边可得AC＝AP；②当A′P∥BC时，设A′C交AC于点D，由三角形内角和定理可得∠A＝60°，根据折叠的性质可得∠A＝∠A′＝60°，AP＝AP′，AC＝A′C＝2，由平行线的性质得∠A′PD＝∠B＝30°，由三角形内角和定理可得∠A′DP＝90°，在Rt△ACD中，AD1，CD＝2，A′D，设AP＝A′P＝x，则PD＝AD﹣AP＝1﹣x，在Rt△A′PD中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：①当A′P∥AC时，如图， 根据折叠的性质可得，∠APC＝∠A′PC， ∵A′P∥AC， ∴∠ACP＝∠A′PC， ∴∠ACP＝∠APC， ∴AC＝AP＝2； ②当A′P∥BC时，设A′C交AC于点D，如图， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， 根据折叠的性质可得，∠A＝∠A′＝60°，AP＝AP′，AC＝A′C＝2， ∵A′P∥BC， ∴∠A′PD＝∠B＝30°， ∴∠A′DP＝180°﹣∠A′﹣∠A′PD＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝30°， 在Rt△ACD中，AD1，CD＝2， ∴A′D＝A′C﹣CD， 设AP＝A′P＝x，则PD＝AD﹣AP＝1﹣x， 在Rt△A′PD中，A′D2+PD2＝A′P2， ∴， 解得：x， ∴AP． 综上，线段AP 的长为2或． 故答案为：2或． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在AC上，并且CF＝2，点E为BC上的动点（点E不与点C重合），将△CEF沿直线EF翻折，使点C落在点P处，PE的长为，则边EF的长为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得∠C＝∠P，CF＝PF，CE＝PE，再根据勾股定理即可求解． 【解答】解：根据折叠可知，∠C＝∠P，CF＝PF，CE＝PE， ∵∠C＝90°，CF＝2，PE，∴∠P＝90°，PF＝2， 在Rt△PEF中，EF． 故选：C． 【点评】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，解题关键是熟知折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 勾股定理解决翻折问题的通法 勾股定理在图形折叠中长度计算问题中的通法： 1.找直角：在翻折后的图形中，找到可运用勾股定理的直角三角形（优先找矩形的直角、翻折形成的直角）； 2.设未知：设图形中某一未知线段的长度为x（通常设翻折后重合的线段、要求的线段）； 3.表三边：利用翻折的全等性，将找到的直角三角形的三边长，用具体数值或含x的代数式表示（重点转化相等线段）； 4.列方程：根据勾股定理（直角边平方和=斜边平方），列出关于x的一元一次方程； 5.求答案：解方程，得出未知线段的长度，检验是否符合题意。 核心隐含条件：翻折前后图形全等（等线段、等角）；对应点连线被折痕垂直平分；折痕平分对应角。 易错点： 1.漏用翻折的隐含条件（尤其是对应线段相等）； 2.无法准确构造可运用勾股定理的直角三角形； 3.列方程时，边长的代数式表示错误，或勾股定理的三边对应关系混淆。 4.无法准确构造可运用勾股定理的直角三角形； 5.列方程时，边长的代数式表示错误，或勾股定理的三边对应关系混淆。 口诀记忆： 翻折全等找等线，直角三角形是关键；设元表边列方程，勾股定理解疑难。 1．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的一点，将△BCE沿BE所在直线折叠，点C落在AD边上，落点记为F，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．若AB＝6，AD＝10，则四边形CEFG的面积是（　　） A． B． C．20 D．10 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠A＝∠D＝90°，根据折叠的性质可得EF＝CE，FG＝CG，BC＝BF＝10，∠CEG＝∠FEG，由平行线的性质得∠CEG＝∠FGE，进而得到CG＝FG＝EF＝CE，以此可证明四边形CEFG为菱形，根据勾股定理求得AF＝8，则DF＝2，设CE＝EF＝x，则DE＝6﹣x，在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝22+（6﹣x）2，求出CE，则S菱形CEFG＝CE•DF． 【解答】解：∵四边ABCD为矩形，AB＝6，AD＝10， ∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠A＝∠D＝90°， 根据折叠的性质可得，EF＝CE，FG＝CG，BC＝BF＝10，∠CEG＝∠FEG， ∵FG∥CD， ∴∠CEG＝∠FGE， ∴∠FGE＝∠FEG， ∴FG＝EF， ∴CG＝FG＝EF＝CE， ∴四边形CEFG为菱形， 在Rt△ABF中，AF8， ∴DF＝AD﹣AF＝2， 设CE＝EF＝x，则DE＝6﹣x， 在Rt△DEF中，EF2＝DF2+DE2， ∴x2＝22+（6﹣x）2， 解得：x， ∴CE， ∴S菱形CEFG＝CE•DF． 故选：A． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理，熟知菱形的判定定理是解题关键． 2．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上．将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处．PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF．则AF的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得∠C＝∠E，CP＝PE，CD＝DE，以此可通过AAS证明△OEF≌△OBP，得到OE＝OB，PB＝EF，则PE＝OP+OE＝OF+OB＝BF，设AF＝x，则CP＝PE＝BF＝4﹣x，PB＝x﹣1，DF＝5﹣x，在Rt△ADF中，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：根据折叠的性质可得，∠C＝∠E，CP＝PE，CD＝DE， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝3， ∴∠C＝∠B＝90°， ∴∠E＝∠B＝90°， 在△OEF和△OBP中， ， ∴△OEF≌△OBP（AAS）， ∴OE＝OB，PB＝EF， ∴PE＝OP+OE＝OF+OB＝BF， 设AF＝x，则BF＝AB﹣AF＝4﹣x， ∴CP＝PE＝BF＝4﹣x， ∴PB＝EF＝BC﹣CP＝x﹣1， ∴DF＝DE﹣EF＝5﹣x， 在Rt△ADF中，由勾股定理得DF2＝AF2+AD2， 即（5﹣x）2＝x2+32， 解得：x， ∴AF． 故选：B． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用全等三角形的性质得到PE＝BF． 3．如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若AD⊥CE，CF＝2，DF＝1，则▱ABCD的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得CD，根据折叠的性质可得AB＝AE，BC＝CE，设AF＝x，则AD＝x+1，EF＝x﹣1，在Rt△AEF中，根据勾股定理建立方程，求出BC＝3，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵AD⊥CE， ∴∠DFC＝∠AFE＝90°， 在Rt△DFC中，CF＝2，DF＝1， ∴CD， ∴AB＝CD， 根据折叠的性质可得，AB＝AE，BC＝CE， 设AF＝x，则AD＝AF+DF＝x+1， ∴BC＝CE＝x+1， EF＝CE﹣CF＝x﹣1， 在Rt△AEF中，AF2+EF2＝AE2， ∴， 解得：x＝2或x＝﹣1（舍去）， ∴BC＝3， ∴S▱ABCD＝BC•CF＝3×2＝6． 故选：D． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 4．如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD﹣CG＝6﹣x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝6，∠D＝90°， ∵点E是AD边的中点， ∴AE＝DE＝3， ∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠， ∴EF＝AE＝3，FG＝CG， 设CG＝x，则： DG＝CD﹣CG＝6﹣x，FG＝CG＝x， ∴EG＝EF+FG＝3+x， 在Rt△DEG中，DE2+DG2＝EG2， 即32+（6﹣x）2＝（3+x）2， 解得：x＝2， ∴CG＝2， 故选：C． 【点评】本题考查折叠的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是将Rt△DEG各边表示出来． 5．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设BN＝x，则AN＝9﹣x＝DN，依据Rt△NBD中，BD2+BN2＝DN2，列方程求解即可． 【解答】解：设BN＝x，则AN＝9﹣x＝DN， ∵D是BC的中点， ∴BDBC＝3， ∵∠B＝90°， ∴Rt△NBD中，BD2+BN2＝DN2， 即32+x2＝（9﹣x）2， 解得x＝4， ∴BN＝4， 故选：B． 【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 6．如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝6，BC＝8，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④． 则DH的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】连接CH，依据折叠可得点B，点H，点C在同一个圆上，即可得到∠BHC为直角，进而利用面积法得出CH的长，利用勾股定理可得DH的长． 【解答】解：如图所示，连接CH， 由折叠可得，BF＝CF，CF＝HF， ∴∠FBH＝∠FHB，∠FCH＝∠FHC， ∴△BCH中，∠BHC＝90°， ∴CH⊥BD， ∵矩形纸片ABCD，其中AB＝6，BC＝8， ∴Rt△BCD中，BD＝10， ∴CH， ∴Rt△CDH中，DH， 故选：A． 【点评】本题主要考查了折叠变换，勾股定理以及矩形的性质的应用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 7．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．6.5 D．10 【答案】A 【分析】由折叠可知AB＝AF，BE＝EF＝3，∠B＝∠AFE＝90°，进而求得CE＝5，∠CFE＝90°，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出CF＝4，设AB＝AF＝x，则AC＝x+4，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝8， ∴AD＝BC＝8，∠B＝90°， 根据折叠的性质可得，AB＝AF，BE＝EF＝3，∠B＝∠AFE＝90°， ∴CE＝BC﹣BE＝5，∠CFE＝90°， 在Rt△CEF中，CF4， 设AB＝AF＝x，则AC＝AF+CF＝x+4， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴x2+82＝（x+4）2， 解得：x＝6， ∴AB＝6． 故选：A． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解决问题． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E是AB上一个动点，F是AD上一点（点F不与点D重合），连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A的对应点A′落在边CD上，连接EC，若A′E＝CE，则△A′DF的面积为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】由折叠可知AE＝A′E，AF＝A′F，设AE＝A′E＝CE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BCE中，利用勾股定理可建立方程（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，则AE＝A′E＝CE＝5，BE＝3，再根据等腰三角形的性质得到A′C＝2CG＝6，进而算出A′D＝2，设AF＝A′F＝a，则DF＝4﹣a，在Rt△A′DF中，利用勾股定理可建立方程（4﹣a）2+22＝a2，解得a，则DF，再利用三角形面积公式计算即可求解． 【解答】解：如图，过点E作EG⊥CD于点G， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝4， ∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝8，∠B＝∠D＝90°， 由折叠可知，AE＝A′E，AF＝A′F， ∵A′E＝CE， ∴AE＝A′E＝CE， 设AE＝A′E＝CE＝x，则BE＝AB﹣AE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，BE2+BC2＝CE2， ∴（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴AE＝A′E＝CE＝5，BE＝3， ∵∠B＝∠BCG＝∠CGE＝90°， ∴四边形BCGE为矩形， ∴CG＝BE＝3， ∵A′E＝CE，EG⊥CD， ∴A′C＝2CG＝6， ∴A′D＝CD﹣A′C＝8﹣6＝2， 设AF＝A′F＝a，则DF＝AD﹣AF＝4﹣a， 在Rt△A′DF中，DF2+A′D2＝A′F， ∴（4﹣a）2+22＝a2， 解得：a， ∴DF， ∴S△A′DF1.5． 故选：B． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理．在解有关折叠问题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 9．课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿EF对折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上A'点，若AB＝2，则折痕BG的长等于（　　）﹣ A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由矩形性质可得∠BAG＝90°，由折叠性质可得∠A′EB＝90°，A′B＝AB＝2，∠ABG＝∠A′BG，由题意可得点E为AB中点，AE＝BE＝1，从而可得∠BA′E＝30°，可得∠A′BE＝60°，可得∠ABG＝∠A′BG＝30°，BGAB，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝2， ∴∠BAG＝90°， 由折叠性质可得： ∠A′EB＝90°，A′B＝AB＝2，∠ABG＝∠A′BG， 由题意可得：点E为AB中点， ∴AE＝BE＝1， 在Rt△A′BE中，A′B＝2BE， ∴∠BA′E＝30°， ∴∠A′BE＝60°， ∴∠ABG＝∠A′BG＝30°， ∴BGAB， 故选：B． 【点评】本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是求出∠ABG＝30°． 10．如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AD＝10，CF＝4，则DE的长为 ______ ． 【答案】5． 【分析】根据题意可得BF＝6，由折叠可知AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△ABF中，根据勾股定理求得AB＝8，设DE＝EF＝x，则CE＝CD﹣DE＝8﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝10， ∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，AB＝CD， ∵CF＝4， ∴BF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6， 根据折叠可得，AD＝AF＝10，DE＝EF， 在Rt△ABF中，AB8， ∴CD＝AB＝8， 设DE＝EF＝x，则CE＝CD﹣DE＝8﹣x， 在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2， ∴（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴DE＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形ABCD沿CE折叠后，使D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF＝______ ． 【答案】3． 【分析】根据勾股定理求得AC＝10，由折叠可知DE＝FE，CD＝CF＝6，∠D＝∠CFE＝90°，于是可得∠AFE＝90°，AF＝4，设FE＝DE＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△AEF中，利用勾股定理建立方程，求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠D＝90°， 在Rt△ACD中，AC10， 由折叠可知，DE＝FE，CD＝CF＝6，∠D＝∠CFE＝90°， ∴∠AFE＝90°，AF＝AC﹣CF＝10﹣6＝4， 设FE＝DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝8﹣x， 在Rt△AEF中，AF2+FE2＝AE2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴EF＝3． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解决问题． 12．如图，有一张直角三角形的纸片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．现将三角形折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE，则CE长为 ___________ ． 【答案】． 【分析】先根据勾股定理求得BC的长，再根据折叠的性质得到CE＝DE，AC＝AD，∠C＝∠EDA＝90°，则BD＝AB﹣AD，∠EDB＝90°，设CE＝DE＝x，在Rt△BDE中根据勾股定理列出方程，求解即可． 【解答】解：解法一：在Rt△ABC中， 由勾股定理得BC4， 根据折叠的性质可知CE＝DE，AC＝AD＝3，∠C＝∠EDA＝90°， ∴∠EDB＝90°，BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2， 设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x， Rt△BDE中， DE2+BD2＝BE2， 即x2+22＝（4﹣x）2， 解得：， ∴CE． 故答案为：． 【点评】本题主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案 13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E，F分别为边AD和BC上的两个动点，满足DE＝BF．将四边形ABFE沿直线EF翻折，得到四边形GHFE，其中G为A的对称点．当点G落在直线CD上时，AE的长为 ________ ． 【答案】或2． 【分析】设GH分别交BC于点M，EG交CD于点O，由折叠可知BF＝FH，AE＝EG，∠B＝∠H＝90°，FH∥EG，于是DE＝BF＝HF，易得∠HFM＝∠DEO，即可利用ASA证明△HFM≌△DEO，则FM＝EO，当点G落在直线CD上时，FO＝FG＝AE＝FM，因此可知此时即此时M（G）与点C重合，设AE＝CE＝x，则DE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理建立方程，求解即可． 【解答】解：如图，设GH分别交BC于点M，EG交CD于点O， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4， ∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，BC∥AD， 根据折叠的性质可得，BF＝FH，AE＝EG，∠B＝∠H＝90°，FH∥EG， ∵DE＝BF， ∴DE＝BF＝HF， ∵BC∥AD，FH∥EG， ∴∠HFM＝∠DEO， 在△HFM和△DEO中， ， ∴△HFM≌△DEO（ASA）， ∴FM＝EO， ①当点G落在直线CD上时，FO＝FG＝AE＝FM， 即此时M（G）与点C重合，如图， 设AE＝CE＝x，则DE＝4﹣x， 在Rt△CDE中，DE2+CD2＝CE2， ∴（4﹣x）2+32＝x2， 解得：x， ∴AE． ②当点G落在直线CD上时，此时点G与D重合，如图 ∴EF⊥AD，AEAD， ∴AE＝2． 故答案为：或2． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，利用全等三角形的性质判断出点G与点C重合是解题关键． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D为射线AC上一点，把△ABC沿BD折叠，点A落在直线BC上的点A′处，则AD的长为 ____________ ． 【答案】5或20． 【分析】分两种情况进行讨论：①当点D在线段AC上时，②当点D在射线AC上时，分别画出图形，设AD＝x，然后根据勾股定理求出答案即可． 【解答】解：①当点D在线段AC上时，如图1所示： 设AD＝x， ∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴， 由折叠可知：AD＝AD′＝x，AB＝′AB＝10， ∴A′C＝A′B﹣BC＝10﹣6＝4，CD＝AC﹣AD＝8﹣x， ∵∠ACB+∠A′CD＝180°，∠ACB＝90°， ∴∠A′CD＝90°， 在Rt△A′CD中， ∵A′C2+CD2＝A′D2， ∴42+（8﹣x）2＝x2， 14+64﹣16x+x2＝x2， 16x＝80， x＝5； ②当点D在射线AC上时，如图2所示： 由折叠可知：BC＝BC′＝6，AB＝A′B＝10，AD＝A′D， 设AD＝x＝A′D，则CD＝AD﹣AC＝x﹣8，A′C＝BC+A′B＝6+10＝16， ∵∠ACB+∠A′CD＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠A′CD＝90°， ∴CD2+A′C2＝A′D2， （x﹣8）2+162＝x2， x2﹣16x+64+256＝x2， 16x＝320， x＝20， ∴AD的长为5或20． 【点评】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，解题关键是正确识别图形，注意利用分类讨论的数学思想解决问题． 15．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是 __________ ． 【答案】3或或． 【分析】分CP⊥AB，CD⊥AB，DP⊥AB三种情况，分别作出图形，解直角三角形即可． 【解答】解：由折叠性质可得： ∠P＝∠B＝30°，DP＝BD，∠PCD＝∠BCD， 在Rt△ABC中， ∠A＝90°﹣30°＝60°，AB＝2AC＝6，BCAC＝3， ①如图，当CP⊥AB时， △PDE为直角三角形， ∴∠PDE＝90°﹣30°＝60°，∠ACE＝90°﹣∠A＝30°， ∴∠DCP＝∠DCB＝30°， ∴∠ACD＝∠A＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∴AD＝AC＝3， ∴BD＝AB﹣AD＝3； ②如图，当CD⊥AB时， △CPD为直角三角形， ∴BD； ③当DP⊥AB时， △PDE为直角三角形， ∴∠AEC＝∠PED＝90°﹣∠P＝60°， ∴△ACE为等边三角形， ∴AE＝AC＝3， 在Rt△PDE中， ∵∠P＝30°， ∴DPDE， ∴BD＝DPDE， ∵AB＝AE+DE+BD， ∴6＝3+DEDE， ∴DE， ∴BDDE， 综上，BD＝3或或， 故答案为：3或或． 【点评】本题考查直角三角形的性质，折叠的性质，折叠性质，解题的关键是分类讨论，将图形作出． 16．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△CEF沿EF翻折得到△DEF，点D为AB中点，则____ ． 【答案】． 【分析】由题意可假设AB＝BC＝2，根据折叠的性质得线段中点的定义得CF＝DF，AD＝BD1，设BF＝a，则CF＝2﹣a＝DF，再Rt△BDF中，利用勾股定理建立方程，求解即可得到答案． 【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝BC， 设AB＝BC＝2， ∵将△CEF沿EF翻折得到△DEF，点D为AB中点， ∴CF＝DF，AD＝BD1， 设BF＝a，则CF＝2﹣a＝DF， 在Rt△BDF中，BF2+BD2＝DF2， ∴a2+11＝（2﹣a）2， 解得：a， ∴BF，CF， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟记勾股定理之图形折叠模型是解题关键． 17．如图，在矩形ABCD中，将△BAD沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F．若BC＝9，DC＝3，则DF的长为 ______ ． 【答案】5． 【分析】设DF＝x，易得CF＝BC﹣BF＝9﹣x，再根据∠C＝90°，利用勾股定理可得△CDF中，CD2+CF2＝DF2，进而得到方程32+（9﹣x）2＝x2，解方程即可． 【解答】解：设DF＝x， 由折叠可得∠ADB＝∠FDB， ∵矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠FBD， ∴∠FDB＝∠FBD， ∴DF＝BF＝x， ∴CF＝BC﹣BF＝9﹣x， ∵∠C＝90°， ∴△CDF中，CD2+CF2＝DF2， 即32+（9﹣x）2＝x2， 解得x＝5， ∴DF＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解题的方法设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝5，P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠 （1）当四边形ADPD′是正方形时，CD′的长为 ____ ． （2）当CD′的长最小时，PC的长为 ____ ． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可； （2）连接AC可得AC≤AD′+CD′，从而求出CD′的最小值，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ADPD′是正方形，四边形ABCD是矩形， ∴点D′位于AB上，BC＝AD＝5， ∴AD′＝AD＝5， ∴BD′＝AB﹣AD′＝7， ∴CD′， 故答案为：； （2）如图，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC13， ∵AC≤AD′+CD′， ∴CD′≥AC﹣AD′， ∴当D′在AC上时，CD′取得最小值， ∴CD′＝AC﹣AD′＝13﹣5＝8， 设PC＝x，则： PD′＝PD＝12﹣x， 在Rt△PCD′中，由勾股定理可得： 82+（12﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴PC． 故答案为：． 【点评】本题考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，解题的难点在于第二问理解CD′的长最小即A，D′，C三点共线． 19．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，有一动点P以2cm/s的速度沿着B﹣C﹣D的方向移动，连接AP，沿AP翻折△ABP，得到△APB'，则经过 ________ s点B′落在边CD所在直线上． 【答案】或7． 【分析】分两种情况：①当点P在BC上，点B′在边CD上时，由折叠可知AB＝AB′＝10cm，BP＝B′P，先根据勾股定理求出B′D＝8cm，则B′C＝2，再设BP＝B′P＝xcm，则CP＝（6﹣x）cm，在Rt△B′CP中，根据勾股定理可得（6﹣x）2+22＝x2，解得x，因此BPcm，即动点P走过的路程为cm，最后根据“时间＝路程÷速度”即可求解；②当点P在CD上，点B′在边CD的延长线上时，由折叠可知AB＝AB′＝10cm，BP＝B′P，先根据勾股定理B′D＝8cm，再设DP＝acm，则CP＝（10﹣a）cm，BP＝B′P＝（8+a）cm，在Rt△BCP中，根据勾股定理可得62+（10﹣a）2＝（8+a）2，解得a＝2，得到动点P走过的路程为BC+CP＝6+8＝14（cm），最后根据“时间＝路程÷速度”即可求解． 【解答】解：①当点P在BC上，点B′在边CD上时， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AB＝CD＝10cm，BC＝AD＝6cm，∠B＝∠C＝∠D＝90°， 根据折叠的性质可得，AB＝AB′＝10cm，BP＝B′P， 在Rt△ADB′中，B′D8（cm）， ∴B′C＝CD﹣B′D＝10﹣8＝2， 设BP＝B′P＝xcm，则CP＝BC﹣BP＝（6﹣x）cm， 在Rt△B′CP中，CP2+B′C2＝B′P2， ∴（6﹣x）2+22＝x2， 解得：x， ∴BPcm，即动点P走过的路程为cm， ∵动点P以2cm/s的速度沿着B﹣C﹣D的方向移动， ∴运动时间t（s）； ②当点P在CD上，点B′在边CD的延长线上时，如图， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AB＝CD＝10cm，BC＝AD＝6cm，∠C＝∠D＝90°， ∴∠ADB′＝90°， 根据折叠的性质可得，AB＝AB′＝10cm，BP＝B′P， 在Rt△AB′D中，B′D8（cm）， 设DP＝acm，则CP＝CD﹣DP＝（10﹣a）cm，BP＝B′P＝B′D+DP＝（8+a）cm， 在Rt△BCP中，BC2+CP2＝BP2， ∴62+（10﹣a）2＝（8+a）2， 解得：a＝2， ∴CP＝10﹣a＝8（cm）， ∴动点P走过的路程为BC+CP＝6+8＝14（cm）， ∵动点P以2cm/s的速度沿着B﹣C﹣D的方向移动， ∴运动时间t7（s）． 综上，经过或7s，点B′落在边CD所在直线上． 故答案为：或7． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，读懂题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，将△ABD沿着AD翻折得到△ADB′，若AB′交BC于点E，点E恰好是BC的中点，若AC＝3，AE＝1，则AD的长度是 ____ ． 【答案】． 【分析】根据等腰三角形的重要性质三线合一得AD⊥BC，在直角三角形ACE中利用勾股定理求得CE的长，在直角三角形BDE中，求得DE的长，在直角三角形ADE中利用勾古定理即可解决． 【解答】解：∵AB＝AC，E是BC的中点， ∴AD⊥CB，BE＝CE， 在Rt△ACE中，AC＝3，AE＝1， 由勾股定理可得：CE2， ∴BE＝2， 设DE＝x，则BD＝BE﹣DE＝2x， 由折叠知：B′D＝BD，AB′＝AB＝3， B′D＝2x， ∵AE＝1， ∴B′E＝AB′﹣AE＝2， 在Rt△B′ED中，有勾股定理可得： B′D2＝B′E2+DE2， 即：（2x）2＝x2+4， 解得：x， 则DE， 在Rt△AED中，有勾股定理可得： AD， 故答案为：． 【点评】本题考查了图形的折叠、等腰三角形的重要性质—三线合一以及勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解决问题的关键． 21．如图，矩形ABCD中，点E、F分别为边BC、AD上两动点，沿EF翻折矩形，使得C点恰好落在边AB上，记作点M，翻折后点D的对应点为点N，若AB＝6，BC＝10，当AM＝NF时，线段CE的长度为 ____ ． 【答案】． 【分析】由矩形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，设MN交AD于点G，由折叠的性质可得DF＝NF，CD＝MN＝6，CE＝ME，∠D＝∠N＝90°，易通过AAS证明△AMG≌△NFG，得到AG＝NG，MG＝FG，进而可得AF＝NG+MG＝6，则DF＝NF＝AM＝4，于是BM＝2，设CE＝ME＝x，则BE＝10﹣x，在Rt△BME中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝10， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10， 设MN交AD于点G，如图， 根据折叠可知，DF＝NF，CD＝MN＝6，CE＝ME，∠D＝∠N＝90°， ∴∠MAG＝∠FNG＝90°， 在△AMG和△NFG中， ， ∴△AMG≌△NFG（AAS）， ∴AG＝NG，MG＝FG， ∴AG+FG＝NG+MG＝MN＝6，即AF＝6， ∴DF＝AD﹣AF＝10﹣6＝4， ∴NF＝AM＝4， ∴BM＝AB﹣AM＝6﹣4＝2， 设CE＝ME＝x，则BE＝BC﹣CE＝10﹣x， 在Rt△BME中，BM2+BE2＝ME2， ∴22+（10﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴CE． 故答案为：． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，根据全等三角形的性质得到AF＝MN＝6是解题关键． 22．如图，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A点D重合），将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，连结BP、BH，下列结论： ①BP＝EF； ②当P为AD中点时，△PAE三边之比为3：4：5； ③∠APB＝∠BPH； ④△PDH周长等于8． 其中正确的是 ____________ （写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④． 【分析】过点F作FM⊥AB于点M，易得MF＝BC＝AB，由折叠可知EF⊥BP，于是利用同角的余角相等可得∠MEF＝∠APB，以此可通过AAS证明△ABP≌△MFE，即可判断①；由折叠可知BE＝PE，设BE＝PE＝x，则AE＝4﹣x，在Rt△PAE中，利用勾股定理建立方程，求解即可判断②；利用等角的余角相等即可判断③；过点B作BN⊥PH于点N，易通过AAS证明△ABP≌△NBP，得到AB＝BN，AP＝PN，以此再通过HL证明Rt△BNH≌Rt△BCH，得到NH＝CH，则C△PDH＝2AD，即可判断④． 【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC， ∵FM⊥AB， ∴四边形MBCF为矩形， ∴MF＝BC＝AB，∠FME＝90°， 由折叠可知，EF⊥BP， ∴∠PBE+∠BEF＝90°， ∵∠PBE+∠APB＝90°， ∴∠BEF＝∠APB，即∠MEF＝∠APB， 在△ABP和△MFE中， ， ∴△ABP≌△MFE（AAS）， ∴BP＝EF，故①正确； 由折叠可知，BE＝PE， 设BE＝PE＝x，则AE＝4﹣x， ∵P为AD中点， ∴AP＝2， 在Rt△PAE中，AP2+AE2＝PE2， ∴22+（4﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴AE＝4﹣x，PE， ∴AE：AP：PE：2：3：4：5， 即△PAE三边之比为3：4：5，故②正确； 由折叠可知，BE＝PE，∠EBC＝∠EPG＝90°， ∴∠PBE＝∠BPE，∠BPE+∠BPH＝90°， ∵∠PBE+∠APB＝90°， ∴∠APB＝∠BPH，故③正确； 如图，过点B作BN⊥PH于点N， ∴∠BAP＝∠BNP＝90°， 在△ABP和△NBP中， ， ∴△ABP≌△NBP（AAS）， ∴AB＝BN，AP＝PN， ∴BC＝BN， 在Rt△BNH和Rt△BCH中， ， ∴Rt△BNH≌Rt△BCH（HL）， ∴NH＝CH， ∴C△PDH＝PD+PN+NH+DH＝PD+AP+CH+DH＝2AD＝8，故④正确． 综上，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，构建合适的全等三角形解决问题是解题关键． 23．正方形ABCD的边长是6，E是AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE折叠，点B的对应点是F，连接DF，则DF的长是 ____ ． 【答案】． 【分析】延长EF，交AD于点G，由线段中点定义可得BE＝AE＝3，由折叠可知BE＝EF＝3，BC＝CF＝10，∠B＝∠CFE＝90°，于是得到CF＝CD＝10，∠CFG＝90°，以此通过HL证明Rt△CFG≌Rt△CDG，得到DG＝FG，设DG＝FG＝x，则EG＝3+x，AG＝6﹣x，在Rt△AEG中，利用勾股定理间建立方程，求得DG＝FG＝2，再利用勾股定理求出CG，根据三角形全等可知CG⊥DF，于是CD•DGCG•DF（对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半），代入计算即可求解． 【解答】解：如图，延长EF，交AD于点G， ∵四边形ABCD是边长为6的正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠A＝∠B＝∠ADC＝90°， ∵E为AB的中点， ∴BE＝AE＝3， 根据折叠的性质可得，BE＝EF＝3，BC＝CF＝6，∠B＝∠CFE＝90°， ∴CF＝CD＝6，∠CFG＝90°， 在Rt△CFG和Rt△CDG中， ， ∴Rt△CFG≌Rt△CDG（HL）， ∴DG＝FG， 设DG＝FG＝x，则EG＝EF+FG＝3+x，AG＝AD﹣DG＝6﹣x， 在Rt△AEG中，AE2+AG2＝EG2， ∴32+（6﹣x）2＝（3+x）2， 解得：x＝2， ∴DG＝FG＝2， 在Rt△CFG中，CG， ∵Rt△CFG≌Rt△CDG， ∴CG⊥DF， ∴CD•DGCG•DF，即， ∴DF． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题是解题关键． 24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF．当△CEF为直角三角形时，CE的长是 __________ ． 【答案】5或2． 【分析】当△CEF为直角三角形时，需要分类讨论：分∠CFE＝90°与∠CEF＝90°两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【解答】解：当∠CFE为90°时，A，F，C三点共线， 设BE长为x，则CE＝8﹣x， 由翻折可得EF＝BE＝x，AF＝AB＝6， 由勾股定理的AC10， ∴CF＝AC﹣AF＝10﹣6＝4， ∵∠CFE＝∠B＝90°， ∴EF2+FC2＝EC2， 即x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴CE＝8﹣3＝5． 当∠CEF为90°时，四边形ABEF为正方形， ∴BE＝AB＝6， ∴CE＝8﹣6＝2． 故答案为：5或2． 【点评】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为边AB，边AC上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点F刚好落在BC延长线上．若DF⊥AB，AE＝13，CF＝5，则线段CE的长为 ________ ，线段AB的长为 __________ ． 【答案】12；． 【分析】根据题意构造等腰直角三角形ADF，由轴对称的性质求出EF的长度，然后通过勾股定理分别求出CE和AF的长度，再通过S△ABFAB•DFBF•AC建立关于AB的方程求解即可． 【解答】解：如图，连接AF，AC交DF于点G． 根据轴对称的性质，AD＝FD，AE＝EF＝13，∠ADE＝∠FDE45°， ∴△ADF是等腰直角三角形，AFADDF． 在Rt△ECF中，CE12． ∴AC＝AE+CE＝25． 在Rt△ACF中，AF5． ∴DF＝5． 设AB＝m， ∵S△ABFAB•DFBF•AC，BC， ∴5m＝25（5）， 解方程得m． 故答案为：12；． 【点评】本题考查了图形的折叠，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，根据勾股定理建立关于AB的方程求解是解答本题的难点． 26．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且AB＝3，AE＝4，BC＝14，点P是线段BC上的一个动点，将点B沿PE翻折得点F，当BF＝CF时，BP＝________ ． 【答案】或7． 【分析】依据BF＝CF，即可得到点F在BC的垂直平分线上．进而分两种情况：①点F在BC的下方；②点F在BC的上方．设BP＝x，分别依据勾股定理列方程求解，即可得到BP的长． 【解答】解：∵BF＝CF， ∴点F在BC的垂直平分线上． 分两种情况： ①如图所示，点F在BC的下方． 过F作FG⊥BC，交AD于H，则FG⊥AD，AHAD＝7，EH＝7﹣4＝3， Rt△ABE中，BE5， ∴EF＝5， Rt△EFH中，FH4， ∴GF＝FH﹣GH＝4﹣3＝1， 设BP＝PF＝x，则PG＝7﹣x， Rt△FPG中，GF2+PG2＝PF2， ∴12+（7﹣x）2＝x2， 解得x， ∴BP； ②如图所示，点F在BC的上方． 过F作FG⊥BC，交AD于H，则FG⊥AD，BG＝BC＝7， 同理可得FH＝4，FG＝FH+HG＝4+3＝7， 设BP＝x＝PF，则GP＝x﹣7， Rt△PFG中，GF2+PG2＝PF2， ∴72+（x﹣7）2＝x2， 解得x＝7， ∴BP＝7． 综上所述，BP的长为或7． 故答案为：或7． 【点评】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 27．如图，折叠长方形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝12，AB＝5，求： （1）求线段CE的长； （2）求△CEF的面积． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）设CE＝x，则BE＝12﹣x＝EF，依据勾股定理可得AC的长；再利用Rt△CEF，根据勾股定理列方程求解即可得到CE的长； （2）直接利用三角形面积计算公式进行计算，即可得出结论． 【解答】解：（1）设CE＝x，则BE＝12﹣x＝EF， Rt△ABC中，AC13， 由折叠可得，AF＝AB＝5， ∴CF＝AC﹣AF＝13﹣5＝8， 由折叠可得∠CFE＝90°， ∴EF2+CF2＝CE2， 即（12﹣x）2+82＝x2， 解得x， ∴线段CE的长为； （2）△CEF的面积EF×CF（12）×8． 【点评】本题主要考查了矩形的性质以及折叠问题，解题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 28．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝8，点P为边AD上一动点，将矩形纸片ABCD沿BP折叠，折叠后BC与AP相交于点E． （1）∠CBP为何值时，点E与点A重合； （2）当AP长为何值时，△BEP的面积最大？并求出面积的最大值． 【答案】（1）∠CBP为45°时，点E与点A重合； （2）当AP＝8时，△BEP的面积最大值为10． 【分析】（1）由折叠可知∠CBP＝∠C′BP，当点E与点A重合时，∠CBP+∠C′BP＝∠ABC＝90°即可求解； （2）由折叠可知∠CBP＝∠C′BP，由平行线的性质可得∠EPB＝∠CBP，于是可得∠EPB＝∠CBP，BE＝BP，由S△BEP，PE＝BE可知当BE最大时，△BEP的面积最大，而在△ABE中，只要当AE最大时，BE就最大，于是可得当AE最大时，AP最大＝AD′＝8，设PE＝BE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程解得PE＝5，再求出此时，△BEP的面积即可． 【解答】解：（1）当点E与点A重合时，如图， ∵四边形ABC′D′为矩形， ∴∠ABC＝90°， 由折叠可知，∠CBP＝∠C′BP， ∵∠CBP+∠C′BP＝∠ABC＝90°， ∴∠CBP＝45°， ∴∠CBP为45°时，点E与点A重合； （2）如图， 由折叠知，∠CBP＝∠C′BP， ∵AD′∥BC′， ∴∠EPB＝∠CBP， ∴∠EPB＝∠CBP，即∠EPB＝∠EBP， ∴BE＝BP， ∵S△BEP，而AB的长度不变， ∴当PE最大时，△BEP的面积最大， 又∵PE＝BE ∴BE最大时，△BEP的面积最大， 而在△ABE中，只要当AE最大时，BE就最大， ∴当AE最大时，AP最大＝AD′＝8， 设PE＝BE＝x，则AE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2， ∴42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴PE＝5， ∴S△BEP10， ∴当AP＝8时，△BEP的面积最大值为10． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 29．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折正方形纸片，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在BE上选一点H，沿CH折叠，使点B落在EF上的点G处，得到折痕CH，把纸片展平；根据以上操作，直接写出图1中∠CHB的度数：__________ ． （2）拓展应用 小华在以上操作的基础上，继续探究，延长HG交AD于点M，连接CM交EF于点N（如图2）．判断△MGN的形状，并说明理由． （3）迁移探究 如图3，已知正方形ABCD的边长为6cm，当点H是边AB的三等分点时，把△BCH沿CH翻折得△GCH，延长HG交AD于点M，请直接写出AM的长． 【答案】（1）75°； （2）△MGN为等边三角形．理由见解析； （3）AM＝3cm或AM＝4.8cm． 【分析】（1）根据折叠的性质可得，DF＝CFCD，∠CFG＝∠DFE＝90°，BC＝CG，∠HCG＝∠HCB∠GCB，利用含30度角的直角三角形性质和平行线的性质得∠FGC＝∠GCB＝30°，于是∠HCB＝15°，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）解法一：根据折叠的性质可得，DF＝CF，∠CFG＝∠DFE＝90°，BC＝CG，∠B＝∠CGH＝90°，易证明NF为△CDM的中位线，得到CN＝NM，利用直角三角形斜边上的中线性质得到MN＝GN，∠NMG＝∠MGN，易通过HL证明Rt△CGM≌Rt△CDM，得到∠NMG＝∠NMD，根据平行线的性质可得∠NMD＝∠GNM，以此即可得到∠NMG＝∠MGN＝∠GNM60°； 解法二：利用平角的定义得到∠EHG＝30°，根据折叠的性质可得，DF＝CF，∠BEF＝∠AEF＝90°，∠B＝∠CGH＝90°，于是∠MGN＝∠EGH＝60°，易证明NF为△CDM的中位线，得到CN＝NM，利用直角三角形斜边上的中线性质得到MN＝GN，∠NMG＝∠MGN＝60°，以此即可证明； （3）分两种情况：①当BH＝2cm时，连接CM，根据折叠的性质可得，BC＝CG＝6cm，BH＝GH＝2cm，∠B＝∠HGC＝90°，通过HL证明Rt△CGM≌Rt△CDM，得到GM＝DM，于是设GM＝DM＝xcm，则AM＝（6﹣x）cm，HM＝（2+x）cm，在Rt△AHM中，根据勾股定理建立方程，求解即可；②当AH＝2cm时，连接CM，根据折叠的性质可得，BC＝CG＝6cm，BH＝GH＝4cm，∠B＝∠HGC＝90°，通过HL证明Rt△CGM≌Rt△CDM，得到GM＝DM，于是设GM＝DM＝acm，则AM＝（6﹣a）cm，HM＝（4+x）cm，在Rt△AHM中，根据勾股定理建立方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠BCF＝90°， 根据折叠的性质可得，DF＝CFCD，∠CFG＝∠DFE＝90°，BC＝CG，∠B＝∠CGH＝90°，∠HCG＝∠HCB∠GCB， ∴CFCG，EF∥BC， ∴∠FGC＝∠GCB＝30°， ∴∠HCB＝15°，∠CHB＝90°﹣∠HCB＝75° 故答案为：75°； （2）解法一：△MGN为等边三角形．理由如下： ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，BC＝CD， 根据折叠的性质可得，DF＝CF，∠CFG＝∠DFE＝90°，BC＝CG，∠B＝∠CGH＝90°， ∴EF∥BC∥AD，∠MGC＝90°，CG＝CD， ∵NF∥DM，F为CD中点， ∴NF为△CDM的中位线， ∴CN＝NM， 在Rt△MGC中，MN＝GN， ∴∠NMG＝∠MGN， 在Rt△CGM和Rt△CDM中， ， ∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL）， ∴∠CMG＝∠CMD，即∠NMG＝∠NMD， ∵EF∥AD， ∴∠NMD＝∠GNM， ∴∠NMG＝∠MGN＝∠GNM60°， ∴△MGN为等边三角形； 解法二：由（1）可知，∠CHB＝∠CHG＝75°， ∴∠BHG＝150°，∠EHG＝30°， 根据折叠的性质可得，DF＝CF，∠BEF＝∠AEF＝90°，∠B＝∠CGH＝90°， ∴EF∥AD，∠MGN＝∠EGH＝60°， ∵NF∥DM，F为CD中点， ∴NF为△CDM的中位线， ∴CN＝NM， 在Rt△MGC中，MN＝GN， ∴∠NMG＝∠MGN＝60°， ∴△MGN为等边三角形； （3）∵点H是边AB的三等分点， ∴BH＝2cm或AH＝2cm， ①当BH＝2cm时，如图，连接CM， 则AH＝4cm， ∵四边ABCD为边长为6cm的正方形， ∴BC＝CD＝6cm，∠B＝90°， 根据折叠的性质可得，BC＝CG＝6cm，BH＝GH＝2cm，∠B＝∠HGC＝90°， ∴CG＝CD＝6cm， 在Rt△CGM和Rt△CDM中， ， ∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL）， ∴GM＝DM， 设GM＝DM＝xcm，则AM＝（6﹣x）cm，HM＝GH+GM＝（2+x）cm， 在Rt△AHM中，AM2+AH2＝HM2， ∴（6﹣x）2+42＝（2+x）2， 解得：x＝3， ∴AM＝6﹣x＝3（cm）； ②当AH＝2cm时，如图，连接CM， 则BH＝4cm， ∵四边ABCD为边长为6cm的正方形， ∴BC＝CD＝6cm，∠B＝90°， 根据折叠的性质可得，BC＝CG＝6cm，BH＝GH＝4cm，∠B＝∠HGC＝90°， ∴CG＝CD＝6cm， 在Rt△CGM和Rt△CDM中， ， ∴Rt△CGM≌Rt△CDM（HL）， ∴GM＝DM， 设GM＝DM＝acm，则AM＝（6﹣a）cm，HM＝GH+GM＝（4+a）cm， 在Rt△AHM中，AM2+AH2＝HM2， ∴（6﹣a）2+22＝（4+a）2， 解得：a＝1.2， AM＝6﹣x＝4.8（cm）； 综上，AM＝3cm或AM＝4.8cm． 【点评】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、等边三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，本题难度适中，熟练掌握折叠的性质，利用折叠前后的两个图形全等，以此得到边与边之间的关系，再根据勾股定理建立方程并求解是解题关键． 30．著名的“赵爽弦图”如图（1）所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4ab+（b﹣a）2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则a2+b2＝c2． （1）图（2）为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图（2）推导勾股定理． （2）如图（3），在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CA短多少千米． （3）在第（2）问中，若AB≠AC，CH⊥AB，AC＝4千米，BC＝5千米，AB＝6千米，求AH的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）新路CH比原路CA少0.1千米； （3）AH km． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设CA＝xkm，则AH＝（x﹣1.8）km，根据股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果． 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+abb2， 也可以表示为ababc2， ∴ababc2a2+abb2， 即a2+b2＝c2； （2）∵CA＝xkm， ∴AH＝（x﹣1.8）km， 在Rt△ACH中， CA2＝CH2+AH2， 即x2＝2.42+（x﹣1.8）2， 解得x＝2.5， 即CA＝2.5（km）， ∴CA﹣CH＝2.5﹣2.4＝0.1（km）， 答：新路CH比原路CA少0.1千米； （3）设AH＝xkm，则BH＝（6﹣x）km， 在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2， 解得：x， 即AH（km）． 【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 31．综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做60°，30°，15°的角”为主题开展数学活动． （1）操作判断 ①如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在EF上的点M处，把纸片展平，连接PM，BM．请写出图1中一个30°的角 _______ ； ②如图2，在前面操作的基础上，延长PM与BC交于点N，则△BNP的形状是 ______________ ． （2）迁移探究 小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长PM与CD交于点Q，连接BQ．如图3，若改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形ABCD的边长为6cm，当点P是边AD的三等分点时，请直接写出CQ的长． 【答案】（1）①∠BME，∠ABP，∠MBP，∠CBM（写出一个即可）；②等边三角形； （2）∠MBQ＝∠CBQ，理由见解析； （3）CQ的长为cm或3cm． 【分析】（1）①由折叠可得AE＝BE，∠AEF＝∠BEF＝90°，AB＝AM，∠ABP＝∠MBP，进而可得BM＝2BE，根据含30度角的直角三角形性质可知∠BME＝30°，利用三角形内角和定理和余角的定义可得∠ABP＝∠MBP＝∠CBM＝30°； ②易得∠PBN＝∠MBP+∠CBM＝60°，由折叠可知∠BMP＝∠A＝90°，由三角形内角和定理求得∠BPM＝60°，以此即可判断△BNP的形状； （2）由折叠可知BM＝AB，∠BMP＝∠A＝90°，于是可得BM＝BC，∠BMQ＝90°，以此可通过HL证明Rt△BMQ≌Rt△BCQ，再利用全等三角形的性质即可求解； （3）分两种情况讨论：当PD＝2cm，AP＝4cm时，同理可证Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），得到MQ＝CQ，设CQ＝MQ＝x cm，则DQ＝（6﹣x）cm，PQ＝（4+x）cm，在Rt△PQD中，根据勾股定理建立方程，求解即可；当AP＝2cm，PD＝4cm时，可理可证Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），得到MQ＝CQ．设CQ＝MQ＝acm，则DQ＝（6﹣a）cm，PQ＝（2+a）cm，在Rt△PQD中，根据勾股定理建立方程，求解即可． 【解答】解：（1）①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF， ∴AE＝BE，∠AEF＝∠BEF＝90°， ∵沿BP折叠，使点A落在EF上的点M处， ∴AB＝AM，∠ABP＝∠MBP， ∴BM＝2BE， 在Rt△BEM中，∠BEM＝90°，BM＝2BE， ∴∠BME＝30°， ∴∠EBM＝60°， ∴∠ABP＝∠MBP＝∠CBM＝30°； 故答案为：∠BME，∠ABP，∠MBP，∠CBM（写出一个即可）； ②由①知，∠MBP＝∠CBM＝30°， ∴∠PBN＝∠MBP+∠CBM＝30°+30°＝60°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°， ∵沿BP折叠，使点A落在EF上的点M处， ∴∠BMP＝∠A＝90°， ∴∠BPM＝90°﹣∠MBP＝90°﹣30°＝60°， ∴△BNP为等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）∠MBQ＝∠CBQ，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°， 由折叠可知，BM＝AB，∠BMP＝∠A＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝90°， 在Rt△BMQ和Rt△BCQ中， ， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）， ∴∠MBQ＝∠CBQ； （3）情况一：当PD＝2cm，AP＝4cm时，如图， 同理可证：Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）， ∴MQ＝CQ， 由折叠可知，AP＝MP＝4cm， 设CQ＝MQ＝x cm，则DQ＝（6﹣x）cm，PQ＝（4+x）cm， 在Rt△PQD中，PD2+DQ2＝PQ2， ∴22+（6﹣x）2＝（4+x）2， 解得：x， ∴CQcm； 情况二：当AP＝2cm，PD＝4cm时，如图， 可理可证：Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）， ∴MQ＝CQ． 由折叠可知，AP＝MP＝2cm， 设CQ＝MQ＝acm，则DQ＝（6﹣a）cm，PQ＝（2+a）cm， 在Rt△PQD中，PD2+DQ2＝PQ2， ∴42+（6﹣a）2＝（2+a）2， 解得：a＝3， ∴CQ＝3cm． 综上，CQ的长为cm或3cm． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、含30度角的直角三角形性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，解题关键是：（1）熟知矩形的性质和折叠的性质；（2）根据折叠的性质得到相等的线段，再利用HL证明Rt△BMQ≌Rt△BCQ；（3）利用分类讨论思想，熟知勾股定理之图形折叠模型的解法． 32．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处． （1）若P为BC上一点． ①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长； ②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由； （2）如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长． 【答案】（1）①CE＝2；②BC＝2BP，理由见解答； （2）BP＝10或30． 【分析】（1）①以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，利用勾股定理求出DE的长即可； ②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP＝CP，BP＝PE，从而BP＝PC； （2）由△PEC是直角三角形，当∠EPC＝90°时，则四边形ABPE是正方形，得PB＝AB＝10；当∠ECP＝90°时，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去． 【解答】解：（1）①如图：以点A为圆心，AB为半径交CD于点E， ∵AE＝AB＝10，AD＝6，∠D＝90°， ∴DE8， ∴CE＝DC﹣DE＝10﹣8＝2； ②BC＝2BP，理由如下： ∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置， ∴∠APB＝∠APE，PE＝BP， ∵CE∥AP， ∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB， ∴∠PEC＝∠ECP， ∴EP＝CP， ∴BP＝BC， ∴BC＝2BP； （2）∵△PEC是直角三角形， 当∠EPC＝90°时， ∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP， ∴四边形ABPE是正方形， ∴PB＝AB＝10； 当∠ECP＝90°时， 则∠ECP＝∠B＝90°， ∴EC∥AB， ∵DC∥AB， ∴点E、D、C三点共线， 由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8， ∴EC＝18， 设BP＝x，则PC＝x﹣6， 在Rt△ECP中，由勾股定理得：182+（x﹣6）2＝x2， 解得x＝30， ∴PB＝30； 当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去， 综上：BP＝10或30． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $