四川成都市邛崃市高埂中学教育集团2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 八年级下学期期中数学试卷，以几何与代数知识融合为核心，通过基础题（如因式分解）、能力题（手拉手模型证明）及创新题（外卖配送分式方程），培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/32|中心对称、不等式性质、全等三角形|第7题以外卖配送为情境考分式方程，体现数学语言应用| |填空|10/40|因式分解、多边形内角和、垂直平分线|第12题反证法考推理意识，第13题尺规作图结合角度计算| |解答|8/78|手拉手模型、动态几何、分组分解法|18题手拉手模型证明（推理能力），25题动态三角形全等与等腰分类（几何直观）|

四川省成都市邛崃市高埂中学教育集团2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、单选题（每小题4分，32分） 1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）已知a＞b，下列不等式成立的是（　　） A．﹣a＞﹣b B．2﹣a＜2﹣b C．2a＜2b D．a﹣b＜0 3．（4分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B． C．x2﹣3x﹣4＝x（x﹣3）﹣4 D．x2+4x+4＝（x+2）2 4．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 5．（4分）如图，函数y1＝﹣2x和y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，m），则关于x的不等式﹣2x≥ax+3的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1 6．（4分）若点P（a﹣2，1﹣a）在第二象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．1＜a＜2 C．a＞2 D．a＜2 7．（4分）由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送x件外卖，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，AB＝2，AC＝5，则AD的长为（　　） A．5 B． C． D． 二、填空题（每小题4分，20分） 9．（4分）分解因式：2mn2﹣50m＝　 　 ． 10．（4分）将点A（4，3）向　 　 平移　 　 个单位长度后，平移后坐标变为（﹣1，3）． 11．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 　 　 ． 12．（4分）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，第一步应假设　 　 ． 13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，尺规作图作出BC的垂直平分线与AB交于点D，则∠ACD的度数为 　 　 ． 三、解答题（48分） 14．（10分）（1）因式分解：4x（x﹣a）+2y（a﹣x）； （2）因式分解：﹣4x2y+4xy2﹣y3． 15．（12分）（1）解不等式，并把解集表示在数轴上：； （2）解不等式组，并写出所有的整数解：． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（0，﹣2）． （1）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1； （2）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出△A1B1C1内部所有的整点的坐标． 17．（8分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． （1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y； （2）已知a，b，c分别为△ABC的三条边，求证：b2+c2﹣a2﹣2bc＜0． 18．（10分）综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考查的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BE，CD．求证：BE＝CD； 【模型应用】 （2）如图2，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转一定的角度．当点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD＝BE； 【类比探究】 （3）如图3，已知△ABC和△ADE都是等边三角形．当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F．直接写出线段AB，BF与BD之间存在的数量关系为 　 　 ． 四、填空（每小题4分，共20分） 19．（4分）若点A（3，a）与B（b，﹣2）关于原点对称，则a﹣b的值为 　 　 ． 20．（4分）已知x、y满足，则8x3y﹣8x2y2+2xy3＝　 　 ． 21．（4分）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是　 　 ． 22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC﹣BC＝2，则BC的长为 　 　 ． 23．（4分）如图，△ABC中，BC＝AC＝8，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，DE∥AB交AC于E，DE＝3，则BD的长为 　 　 ． 五、解答题（30分） 24．（8分）某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 25．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．若P、Q两点分别从B、A两点同时出发，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动．同时，点Q在线段AC上以4cm/s的速度由点A向点C运动，设运动时间为t，回答下列问题： （1）当t为何值时，C在PQ的垂直平分线上； （2）当t为何值时，△BPD≌△CQP； （3）经过　 　 秒后，△CPQ为等腰三角形，且△CPQ的周长为18cm． 26．（12分）如图1，△ACE与△BGE均为等腰直角三角形，且∠AEC＝∠BEC＝90°，连接BC、AG，延长AG与BC交于点F． （1）求证：AF⊥BC； （2）当点G为CE的中点，AE＝2时，求CF的长； （3）如图2，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC，AD、CD交于点D，在边AB上取一点H，使得AH＝CG，连接DH，探究CG、CD、DH三条线段之间的数量关系，并证明． 四川省成都市邛崃市高埂中学教育集团2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题每小题4分，32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B D A B D 二、填空题（每小题4分，20分） 9．2m（n+5）（n﹣5）． 10．左，5． 11．6． 12．三角形的三个内角都小于60° 13．75°． 三、解答题（48分） 14．解：（1）4x（x﹣a）+2y（a﹣x） ＝4x（x﹣a）﹣2y（x﹣a） ＝2（x﹣a）（2x﹣y）； （2）﹣4x2y+4xy2﹣y3 ＝﹣y（4x2﹣4x+y2） ＝﹣y（2x﹣y）2． 15．解：（1）， 8﹣7x+1≥6x﹣4， ﹣7x﹣6x≥﹣4﹣8﹣1， ﹣13x≥﹣13， x≤1， 数轴表示如下： ； （2）解不等式3（x﹣2）≥x﹣4得，x≥1， 解不等式得，x＜4， 所以不等式组的解集为1≤x＜4， 则不等式组的整数解为1，2，3． 16．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由图可得，△A1B1C1内部所有的整点的坐标有（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2）． 17．解：（1）x2﹣9y2﹣2x+6y ＝（x+3y）（x﹣3y）﹣2（x﹣3y） ＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）； （2）b2+c2﹣a2﹣2bc ＝b2+c2﹣2bc﹣a2 ＝（b﹣c）2﹣a2 ＝（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）， 因为a，b，c为△ABC的三边， 所以b﹣c+a＞0，b﹣c﹣a＜0， 因此（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）＜0， 即b2+c2﹣a2﹣2bc＜0． 18．（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+60°， ∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAE＝∠CAD， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝CD； （2）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠DAE+∠BAD＝60°+∠BAD， ∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD， ∵CD＝CB+BD＝AB+BD， ∴AB+BD＝BE； （3）解：AB＝BD+2BF或AB＝BD﹣2BF，理由如下： 当D点在BC上时，设DE与AB的交点为K，在AB上截取AT＝BD， ∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴∠ABC＝∠AED＝60°，AE＝DE， ∴∠EAT+∠AKE＝120°，∠EDB+∠BKD＝120°， ∵∠AKE＝∠BKD， ∴∠EAK＝∠EDB， ∴△EAT≌△EDB（SAS）， ∴ET＝EB， ∵EF⊥AB， ∴TF＝BF， ∴BT＝2BF， ∴AB＝AT+BT＝BD+2BF； 当D点在BC的延长线上时，延长BF，取FG＝BF，连接EG， 由①知，△BEG为等腰三角形，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ABE+∠EBF＝180°， ∴∠EBG＝∠ACB＝60°， ∴△BEG为等边三角形， ∴BG＝BE＝CD， ∵CD＝BE，AB＝BC， ∴AG＝BD， ∴AB＝AG﹣2BF＝BD﹣2BF； 故答案为：AB＝BD+2FB或AB＝BD﹣2BF． 四、填空（每小题4分，共20分） 19．5． 20．6． 21．m≥6． 22．3． 23．． 五、解答题（30分） 24．解：（1）设甲款服装x件，则乙款服装（300﹣x）件， 由题意列一元一次方程得：700x+800（300﹣x）＝230000， 整理得，100x＝10000， 解得x＝100， ∴300﹣x＝300﹣100＝200； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）设甲款服装m件，则乙款服装（500﹣m）件， 根据题意列一元一次不等式组得： ， 解得：， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 25．解：（1）∵AB＝AC＝12cm， ∴∠B＝∠C， ∵D是AB中点， ∴， 设运动时间为t，则BP＝2tcm，AQ＝4tcm， ∴CP＝（10﹣2t）cm，CQ＝（12﹣4t）cm， ∵点C在PQ的垂直平分线上， ∴CP＝CQ，即10﹣2t＝12﹣4t， 解得t＝1； （2）当△BPD≌△CQP且∠B＝∠C， ∴， 即， 两个方程同解得t＝2， 当t＝2时，△BPD≌△CQP； （3）∵△CPQ为等腰三角形，且△CPQ的周长为18cm， ∴PQ＝18﹣CP﹣CQ＝18﹣（10﹣2t）﹣（12﹣4t）＝（6t﹣4）cm， 分三种情况讨论等腰三角形： 若CP＝CQ时，10﹣2t＝12﹣4t， 解得t＝1， 此时三边为8cm，8cm，2cm，符合三角形三边关系； 若CP＝PQ时，10﹣2t＝6t﹣4， 解得t＝1.75， 此时三边为6.5cm，5cm，6.5cm，符合三角形三边关系； 若CQ＝PQ时，12﹣4t＝6t﹣4， 解得t＝1.6， 此时三边为5.6cm，6.8cm，5.6cm，符合三角形三边关系． 综上，经过1或1.75或1.6秒后，△CPQ为等腰三角形，且△CPQ的周长为18cm． 26．（1）证明：∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形， ∴EB＝EG，CE＝AE， ∵∠AEC＝∠BEC＝90°， ∴△BEC≌△GEA（SAS）， ∴∠BCE＝∠GAE， ∵∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠GAE+∠CBE＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴AF⊥BC； （2）解：当点G为CE的中点，AE＝2时， ∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形， ∴EB＝EG＝CG＝1，AE＝CE＝2， ∴AB＝EB+AE＝3，AG＝＝，BC＝＝， 由（1）知AF⊥BC， ∴S△ABG＝AB•EG＝AG•BF， ∴3×1＝BF， ∴BF＝， ∴CF＝BC﹣BF＝﹣＝； （3）解：2DH2＝（CD+CG）2． 证明：方法一：如图，过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG， ∵CD∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵∠AEC＝∠BEC＝90°， ∴∠ECD＝90°， ∴四边形CEMD是矩形， ∴EM＝CD，CE＝DM， ∴EM＝AB， ∴BE＝AM， ∵AH＝CG，CE＝AE， ∴EG＝EH． ∵EB＝EG， ∴EB＝EG＝EH＝AM， ∴∠EHG＝45°，AE＝HM， ∵AE＝CE＝DM， ∴HM＝DM， ∴∠DHM＝45°， ∴∠DHG＝180°﹣∠EHG﹣∠DHM＝90°， ∴DH2＝DG2﹣GH2， ∵∠ECD＝90° ∴DG2＝CD2+CG2， ∴DH2＝CD2+CG2﹣GH2， ∵GH2＝EG2+EH2＝2EH2＝2（）2＝2（）2＝＝， ∴DH2＝CD2+CG2﹣GH2＝CD2+CG2﹣， ∴2DH2＝2CD2+2CG2﹣CD2+2CD•CG﹣CG2， ∴2DH2＝CD2+CG2+2CD•CG， ∴2DH2＝（CD+CG）2． 方法二：如图：过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG，延长HG、DC交于N， ∵CD∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵∠AEC＝∠BEC＝90°， ∴∠ECD＝90°， ∴四边形CEMD是矩形， ∴EM＝CD，CE＝DM， ∴EM＝AB， ∴BE＝AM， ∵AH＝CG，CE＝AE， ∴EG＝EH． ∵EB＝EG， ∴EB＝EG＝EH＝AM， ∴∠EHG＝45°，AE＝HM， ∵AE＝CE＝DM， ∴HM＝DM， ∴∠DHM＝45°， ∴∠DHG＝180°﹣∠EHG﹣∠DHM＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠CDH＝∠DHM＝45°， ∴△DHN为等腰直角三角形， ∴2DH2＝（CD+CN）2， ∵∠CAE＝45°，∠EHG＝45°， ∴AC∥NH， ∵CD∥AB， ∴四边形ACNH是平行四边形， ∴AH＝CN， ∵AH＝CG， ∴CN＝CG， ∴2DH2＝（CD+CN）2＝（CD+CG）2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $