精品解析：福建龙岩市上杭县农村片区校2025～2026学年第二学期半期联考八年级数学试题

上杭县2025～2026学年第二学期农村片区校半期联考八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共10题，每题4分，共40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据不是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 7. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（ ） A. 35 B. 40 C. 50 D. 45 8. 如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形是平行四边形 10. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 24 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 能说明命题“”是假命题的一个反例可以是______． 12. 计算：______． 13. 如图，在菱形中，，，则的长为___． 14. 四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 15. 如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的面积为___． 16. 如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点E是上一点，且，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在上．若，则的长是______． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，求 的值． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，是它的一条对角线，点，在上，且，连接，，求证： 21. 如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ； （2）求四边形ABCD的面积． 22. 如图，学校要对教学楼上的校训宣传牌进行清洁维护，一辆高的工程车在教学楼前点M处，从点D处伸长的云梯刚好接触到的底部点A（即），若，，云梯的长度不变，当工程车向前平移一段距离，云梯刚好接触到的顶部点C时，四边形为矩形．求工程车向教学楼方向行驶的距离． 23. 如图，在中，内角、、所对应的边分别为、、． （1）若，，，求的面积； （2）若，，（其中、都是正整数，且），求证：是直角三角形． 24. 某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． （1）现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图中作出中线，图中过点作，交于点； （2）根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接，过点作，过点作，分别交于点，延长线于点，并截取，连接，则四边形即为所求．请证明该方案的可行性． （3）该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图，最终的分割线用实线，其他用虚线），给出设计方案，并证明． 25. 已知正方形的边长为8，点E是对角线上的一点． （1）如图①，若点E到的距离为6，则点E到的距离为 ； （2）连接，过点E作，交于点F． ①如图②，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形； ②如图③，在①的条件下，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭县2025～2026学年第二学期农村片区校半期联考八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共10题，每题4分，共40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．，故不是最简二次根式； D．是最简二次根式．． 2. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】∵二次根式有意义， ∴． 解得：． 故选：D． 3. 下列各组数据不是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理逆定理，根据“一组正整数，且满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，这样的一组数叫做勾股数”，进行判断即可，理解勾股数的定义及熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A正确，符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 5. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求多边形的内角和，根据多边形的内角和公式，，进行求解即可． 【详解】解：八边形的内角和为； 故选A． 6. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 7. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（ ） A. 35 B. 40 C. 50 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，进一步求解即可． 【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深，由题意得： 中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 即：水深是 故选：D． 8. 如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 9. 如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．利用中位线的性质得，，，，，，可判断选项A，利用可判断选项B，利用证明可判断选项C，利用，，可判断选项D． 【详解】解：∵、、分别是、、中点， ∴，，，，，， 故选项A正确； ∵， 故选项B错误； ∵，， ∴，， 又∵， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D正确； 故选：B． 10. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（）是解题的关键． 先根据已知条件求出的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积． 【详解】解：如图2，，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选： 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 能说明命题“”是假命题的一个反例可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，举反例说明命题是假命题，根据二次根式的性质，，而仅当，因此当时，命题不成立 【详解】解：取，则，而，，故命题“”不成立， 因此反例可以为 故答案为：（答案不唯一）． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，平方差公式，利用平方差公式进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，，则的长为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：在菱形中，， ，， ， 在中，， ． 14. 四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得和，根据正六边形的性质可得其内角为，即，最后利用四边形的内角和为即可求的度数． 【详解】解：设与交于点，  ∵四边形是正方形, ∴，, ∵以为边作一个正六边形， ∴正六边形的内角为， ∴． 在四边形中，由四边形内角和定理得：，  即， ∴． 15. 如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的面积为___． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据矩形性质和中点定义求出四个角上直角三角形的直角边长，利用矩形面积减去四个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，，． ，，，分别为矩形各边的中点， ，， ， ． 16. 如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点E是上一点，且，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在上．若，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和折叠的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 首先根据题意求出，然后根据折叠的性质得到，，、，易证是等边三角形，进而求出，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵对折矩形纸片使与重合，得到折痕， ∴，， ∴， ∵将沿折叠，点A的对应点F恰好落在上， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为3． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18. 已知，求 的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值、因式分解，先把代数式进行因式分解得，再代入求值即可． 【详解】解：∵ ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20. 如图，在中，是它的一条对角线，点，在上，且，连接，，求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形判定的方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质，运用“边角边”即可求证，由此即可求证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 21. 如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）2；5；等腰直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，根据网格图，结合勾股定理，即可求出BC，AD的长，又因为，得到△ABD为直角三角形；又BD=AD，所以△ABD为等腰直角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理，可以证明△ABD为直角三角形；△BCD为直角三角形；所以四边形ABCD的面积等于△ABD加上△BCD的面积，即可求解； 【小问1详解】 解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得： ， ， ∴， ， ∴BD=， ， ∴， ∴， ∴△ABD为直角三角形； 又因为：BD=AD=5， ∴△ABD为等腰直角三角形， 故答案为：2；5；等腰直角三角形． 【小问2详解】 由网格图，结合勾股定理可知： ， ， ∴， 所以△BCD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积， =． 【点睛】本题考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方，是解答此题的关键． 22. 如图，学校要对教学楼上的校训宣传牌进行清洁维护，一辆高的工程车在教学楼前点M处，从点D处伸长的云梯刚好接触到的底部点A（即），若，，云梯的长度不变，当工程车向前平移一段距离，云梯刚好接触到的顶部点C时，四边形为矩形．求工程车向教学楼方向行驶的距离． 【答案】工程车向教学楼方向行驶的距离为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点 D 作交于点E，由勾股定理求出，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，过点 D 作交于点E， 根据题意，得，， 在中，根据勾股定理，得， 设，则， 在 中，根据勾股定理，得即 ， 解得， 答：当云梯刚好接触到的顶部点C时，工程车向教学楼方向行驶的距离为． 23. 如图，在中，内角、、所对应的边分别为、、． （1）若，，，求的面积； （2）若，，（其中、都是正整数，且），求证：是直角三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理推出是直角三角形，且，即可得解； （2）先求出三边的平方，再结合勾股定理逆定理证明即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 是直角三角形，且，、为直角边， 【小问2详解】 证明：，，， ，，， ， 是直角三角形． 24. 某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． （1）现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图中作出中线，图中过点作，交于点； （2）根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接，过点作，过点作，分别交于点，延长线于点，并截取，连接，则四边形即为所求．请证明该方案的可行性． （3）该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图，最终的分割线用实线，其他用虚线），给出设计方案，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，三角形的中线平分面积，平行四边形的判定及性质，熟练掌握以上知识点，画出适当的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义画出图形，作直线即可； （2）证明四边形是平行四边形，得到，进而通过即可完成证明； （3）方法一：作的中点，连接，过作交于，连接，则即为所求做的分割线；方法二：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，则即为所求做的分割线；利用三角形中线平分面积和两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，完成证明（方法不唯一，写出一种即可）． 【小问1详解】 解：如图所示，，即为所求; 【小问2详解】 如图所示，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ，且点在上， ， ， ， 则四边形即为所求； 【小问3详解】 （方法不唯一，写出一种即可） 方法一：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，连接交于点， 点是的中点， ， ， ， ， ，， ， 则即为所求做的分割线； 方法二：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，连接交于点， 点是的中点， ， ， ， ， ，， ， 则即为所求做的分割线． 25. 已知正方形的边长为8，点E是对角线上的一点． （1）如图①，若点E到的距离为6，则点E到的距离为 ； （2）连接，过点E作，交于点F． ①如图②，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形； ②如图③，在①的条件下，连接，求的值． 【答案】（1）6 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． （1）过点E作于M，利用角平分线的性质定理解决问题即可． （2）①连接，证明，，可得结论；②证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 解：如图①中，过点E作于M，于N． 四边形是正方形， ∴， ，， ∴， ∴点E到的距离为6， 故答案为：6． 【小问2详解】 ①证明：如图②中，连接． 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形． ②解：如图③中， 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，由勾股定理有， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $