精品解析：福建三明市尤溪县2025-2026学年第二学期期中综合练习 八年级 数学

福建三明市尤溪县2025-2026学年第二学期期中综合练习八年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分 1. 未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高标志．则通过该桥洞的车高的范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形（ ） A. 两个较小的内角之和小于 B. 两个较小的内角之和大于 C. 两个较小的内角之和等于 D. 两个较小的内角之和不等于 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰三角形ABC的底边BC在x轴上，，．将等腰三角形ABC向上平移2个单位长度后，点B的对应点的坐标是（） A. B. C. D. 7. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于，于M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长于点D，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 10. 如图，已知中高恰好平分边，，点是延长线上一点，点是线段上一点且．下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 是非负数，用不等式表示为__________． 12. 命题“如果，那么”的逆命题是___________命题．（填“真”或“假”） 13. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形是________边形． 14. 如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 16. 如图，已知中，，，动点满足，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 【阅读理解】下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：去分母，得 ① 去括号，得 ② 移项，得 ③ 合并同类项，得 ④ 系数化成1，得 ⑤ （1）以上解题过程中，第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． （2）请直接写出该不等式的正确解集：__________． （3）请把解集在数轴上表示出来． 18. 解不等式组： 19. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为,．（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）平移得到，若点的坐标为，画出，并写出点的坐标：__________； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． 21. 如图，在中， （1）在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求线段的长． 22. 如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 23. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 24. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． （1）在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 25. 在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： （1）【初步感知】 如图1，在中，，，点D为斜边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则________． （2）【探究应用】 如图2，在中，，，点D为内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求的度数． （3）【拓展提升】 如图3，若是边长为6的等边三角形，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，点D在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值以及此时的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建三明市尤溪县2025-2026学年第二学期期中综合练习八年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分 1. 未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 2. 已知等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和，根据等腰三角形等边对等角结合三角形内角和定理计算即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 【详解】解：顶角为：， 故选C. 3. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：A、，不等式两边同时减，则，故A正确； B、，不等式两边同时乘以，则，故B正确； C、，不等式两边同时乘以，则，故C正确； D、，不等式两边同时乘以，则，然后不等式两边同时加，则，故D错误，不成立． 4. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高标志．则通过该桥洞的车高的范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解不等式的相关知识． 由限高图片的含义可知，车高不能超过，同时车高不能是负数和0，由此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵x表示的是车高， ∴， ∴， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 5. 用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形（ ） A. 两个较小的内角之和小于 B. 两个较小的内角之和大于 C. 两个较小的内角之和等于 D. 两个较小的内角之和不等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形两个较小的内角之和不等于， 故选： D． 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰三角形ABC的底边BC在x轴上，，．将等腰三角形ABC向上平移2个单位长度后，点B的对应点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及点在坐标平面中的平移规律．解题关键是利用等腰三角形三线合一求出点B坐标，再依据平移规律得出平移后对应点坐标． 用等腰三角形三线合一性质，根据、坐标求出点坐标：因为在垂直平分线上，设，由解得，即．2．根据点向上平移纵坐标加、横坐标不变的规律，将向上平移个单位，得到对应点坐标为． 【详解】解：∵为是等腰三角形，，， ∴点到轴的距离就是点纵坐标的绝对值，在的垂直平分线上． ∵点坐标为，点横坐标为， 设点坐标为， ∴， 解得，， ∴点坐标为． ∵将向上平移个单位长度，， ∴平移后点对应点的横坐标还是，纵坐标为， ∴B的对应点的坐标是． 故选∶C． 7. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理与勾股定理的逆定理逐一判断各选项． 【详解】解：A选项：∵，即， ∴， ∴，能判定是直角三角形，不符合题意； B选项：设，，（）， ∵， ∴能判定是直角三角形，不符合题意； C选项：∵， ∴最大角，不能判定是直角三角形； D选项：∵， ∴， ∴能判定是直角三角形，不符合题意． 8. 直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移﹣最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键．先根据平移的性质，把问题转化为最短路径问题，再轴对称的性质作图． 【详解】解：∵， ∴先把和点P向上平移，使与重合，点P平移到，再连接交于点F， 再反方向平移回原来位置即可， 故选：A． 9. 如图，在中，，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于，于M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长于点D，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，等角对等边，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，由作图可判断A；由直角三角形的两锐角互余可得，即得，得到，即可判断B；进而由等角对等边可得，根据直角三角形的性质可得，即可判断C，根据，即可判断D，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可得，为的角平分线， ∴平分，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，已知中高恰好平分边，，点是延长线上一点，点是线段上一点且．下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，再由直角三角形的性质得出，即可判断①正确，得出垂直平分，连接，则，由等边对等角得出，，即可判断②正确；求出，即可判断③正确；在上截取，证明，得出，即可判断④正确；从而得出结果． 【详解】解：∵是的高， ∴，， ∵， ∴，故①正确， ∵，， ∴垂直平分， 如图，连接， ， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故③正确； 如图，在上截取， ， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 是非负数，用不等式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的定义，非负数为大于或等于0的数，据此即可列出不等式． 【详解】解：非负数是指大于或等于0的数，因此x是非负数，用不等式表示为． 12. 命题“如果，那么”的逆命题是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【解析】 【分析】交换原命题的条件与结论得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的条件为，结论为， 交换条件和结论，得到逆命题为“如果，那么”， 当时，可得或，即不能推出，因此该逆命题是假命题． 13. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形是________边形． 【答案】十二 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， 解得， ∴这个多边形是十二边形． 故答案为：十二． 14. 如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别得出、、的长度，根据等量代换得出，求解即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角三角形与直角三角形面积相同， 即， ∴， 故图中阴影部分的面积为． 15. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 16. 如图，已知中，，，动点满足，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形全等，得出，根据三角形三边关系取得最小值． 证明，可得，再根据三角形三边关系得出当点N落在线段上时，最小，求出最小值即可． 【详解】解：∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为3； 故答案为：3． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 【阅读理解】下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：去分母，得 ① 去括号，得 ② 移项，得 ③ 合并同类项，得 ④ 系数化成1，得 ⑤ （1）以上解题过程中，第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． （2）请直接写出该不等式的正确解集：__________． （3）请把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）⑤；不等式的两边都除以时，没有改变不等号的方向； （2）； （3）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：由解析可知，第⑤步；不等式的两边都除以时，没有改变不等号的方向； 【小问2详解】 在第④步的基础上， 系数化成1，得； 【小问3详解】 表示不等式解集为： 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴原不等式组的解集是. 19. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，利用证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为,．（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）平移得到，若点的坐标为，画出，并写出点的坐标：__________； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】（1）见解析，点的坐标： （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移规则，画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求；点的坐标：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 21. 如图，在中， （1）在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，连接两个交点，得到线段的垂直平分线，找到这条垂直平分线与线段的交点，该交点即为点； （2）连接，依题得，先利用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求： 【小问2详解】 解：连接， 依题得， 中，，，， ， 设，则， 中，， ， 解得， 即． 22. 如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质和平行的性质得到，再利用互余的定义即可计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，所以，再利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：∵平移到的位置， ∴， ∴， ∵与互余， ∴． 【小问2详解】 解：∵分别平移到和的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 23. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】（1）甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 （2）购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【小问1详解】 解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 24. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． （1）在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得， 再根据此时不等式组有4个整数解，求出；解得到，根据“相依方程”的含义求出；进而可得答案． 【小问1详解】 解：①， 解得： ②， 整理得： 解得： ③， 解得： 解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”． 故答案为：②； 【小问2详解】 解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： 【小问3详解】 解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有4个整数解， ∴整数解为2，3，4，5， ∴ 解得； 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 即 解得：， 即 综上： 25. 在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： （1）【初步感知】 如图1，在中，，，点D为斜边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则________． （2）【探究应用】 如图2，在中，，，点D为内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求的度数． （3）【拓展提升】 如图3，若是边长为6的等边三角形，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，点D在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值以及此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）周长最小值为，面积为 【解析】 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得，再根据旋转性质得到，，进而证明，利用全等三角形的对应角相等可得答案； （2）先根据等腰三角形的性质得到，再根据旋转性质得到，，进而证明得到，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （3）同（1）（2）方法证明得到，再证明是等边三角形，则，，可推导出的周长为，当时，最短，此时的周长最小，利用等边三角形的性质和勾股定理求得即可求得周长的最小值； 过E作延长线于H，利用含30度角的直角三角形的性质求得即可求得面积． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的周长存在最小值． ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形，则，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的周长为， 当时，最短，此时的周长最小， 如图， 在中，，， ∴， ∴的周长的最小值为， 过E作延长线于H，则，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质和全等三角形的性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $