精品解析：福建省龙岩市上杭县三校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

初中2024-2025学年第二学期半期教学质量检查 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 城区三校命题组 注意：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 在本试题上答题无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（  ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝150°，则∠C的度数是（ ） A. 30° B. 75° C. 100° D. 150° 4. 下列运算中用到乘法分配律的是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（ ）米路 A. 30 B. 20 C. 50 D. 40 7. 小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两组对角分别相等四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 8. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　） A. x2﹣8＝（x﹣3）2 B. x2+82＝（x﹣3）2 C. x2﹣82＝（x﹣3）2 D. x2+8＝（x﹣3）2 9. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 10. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ） A. 2 B. 2.4 C. 2.6 D. 3 二、填空题（本大题有6小题，每小题4，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 12. 在四边形中，边的对边是________． 13. 如图，矩形中，，E为中点，F为边上任意一点，G，H分别为中点，则的长是 _____． 14. 若是正整数，则整数的最小值为__________________． 15. 我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边分别是2和4，则中间小正方形的面积占大正方形面积的________． 16. 已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为．若点到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，在中，，分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 已知=，求代数式的值. 20. 教材第16页的阅读与思考：海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 21. 如图，已知平行四边形一个内角及其两边长，． （1）用尺规补全平行四边形，请保留作图痕迹并说明你的作图依据_______________________________________； （2）点E是边上任意一点，只用一把无刻度的直尺在边上作点F，使得． 22. 观察下列等式：；；……根据你观察后所发现规律，解答下列问题： （1）若等式及具有上述规律，则 ； ； （2）请你用含n的等式表示上述规律；（n是大等于2的整数） （3）请你证明上述等式的正确性． 23. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 24. 【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得． 道路 长度（米） 40 30 30 18 32 25 任务二 数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： （1）求道路的长； （2）道路__________米； （3）任务三方案设计 ①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路； ②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼距离之和的最小值为_______米．（保留根号） 25. （1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中2024-2025学年第二学期半期教学质量检查 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 城区三校命题组 注意：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 在本试题上答题无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（  ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用最简二次根式的条件进行选择即可． 【详解】解：A．被开方数是分数，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．是最简二次根式，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对最简二次根式的定义的理解与运用，判断最简二次根式可以从以下三个方面入手：（1）根号内不含分母；（2）分母中不含有根号；（3）被开方数不含有开方开得尽的因数或因式． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝150°，则∠C的度数是（ ） A. 30° B. 75° C. 100° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C＝150°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键． 4. 下列运算中用到乘法分配律的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，乘法分配律指的是，其逆用形式为．需判断各选项是否涉及此类运算． 【详解】解：．，将视为公因式，原式可写为，提取公因式后得．此过程为乘法分配律的逆用，故该选项符合题意； ．，根据根式乘法法则，直接计算得出结果，未涉及分配律，故该选项不符合题意； ．，展开为，运用积的乘方性质，未涉及分配律，故该选项不符合题意； ．，根据平方根性质，直接得出结果，未涉及分配律，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可逐一判断结论． 【详解】解：A．，选项的运算结果不正确，不符合题意； B．，选项的运算结果正确，符合题意； C．，选项运算结果不正确，不符合题意； D．，选项的运算结果不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质及化简，合并同类二次根式，解题的关键是掌握相应的运算法则． 6. 如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（ ）米路 A. 30 B. 20 C. 50 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵AB=40米，BC=30米， ∴AC==50（米）， 30+40-50=20（米）， ∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理． 7. 小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】已知AC和BD是对角线，取各自中点，则对角线互相平分（即AO＝CO，BO＝DO）的四边形是平行四边形． 【详解】解：由已知可得AO＝CO，BO＝DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 8. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　） A x2﹣8＝（x﹣3）2 B. x2+82＝（x﹣3）2 C. x2﹣82＝（x﹣3）2 D. x2+8＝（x﹣3）2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设绳索长为x尺，列出方程即可； 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据勾股定理列方程，准确分析列式是解题的关键． 9. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ） A. 2 B. 2.4 C. 2.6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长． 【详解】解：连接AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10， ∴∠BAC=90°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF=AP． ∵M是EF的中点， ∴AM=AP， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短， ∴S△ABC=BC•AP＝AB•AC， ∴×10AP＝×6×8， ∴AP最短时，AP=， ∴当AM最短时，AM=AP==2.4． 故选：B． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ． 故答案为：． 12. 在四边形中，边的对边是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的定义，属于基础题，比较简单． 根据多边形的定义判断即可． 【详解】解：在四边形中，边的对边是， 故答案为：． 13. 如图，矩形中，，E为中点，F为边上任意一点，G，H分别为中点，则的长是 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线的性质等知识点，灵活运用矩形的性质成为解题的关键． 如图，连接，由矩形的性质以及中点的定义可得、，在根据勾股定理可得；再说明是的中位线，最后根据中位线的性质即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E为中点，， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， ∵G，H分别为中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：5． 14. 若是正整数，则整数的最小值为__________________． 【答案】3. 【解析】 【分析】是正整数，则3n一定是一个完全平方数，即可求出n的最小值． 【详解】解：∵是正整数， ∴3n一定是一个完全平方数， ∴整数n的最小值为3． 故答案是：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是正整数的条件是解题的关键． 15. 我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边分别是2和4，则中间小正方形的面积占大正方形面积的________． 【答案】 【解析】 【分析】设直角边分别为，，根据勾股定理得到斜边平方，即可得到大正方形的面积，减去4个三角形的面积即可得到小正方形面积，即可得到答案； 【详解】解：如图，， 由勾股定理知，， 所以大正方形的面积为， 所以中间小正方形的面积为：， 所以， 所以中间小正方形的面积占大正方形面积的， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理得到大正方形的面积． 16. 已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为．若点到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由点A（0，4），B（7，0），C（7，4），可得BC=OA=4，OB=AC=7， 分两种情况： （1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示： ①当A'E：A'F=1：3时， ∵A'E+A'F=BC=4， ∴A'E=1，A'F=3， 由折叠的性质得：OA'=OA=4， 在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF=， ∴A'（，3）； ②当A'E：A'F=3：1时，同理得：A'（，1）； （2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：∵A'F：A'E=1：3，则A'F：EF=1：2， ∴A'F=EF=BC=2， 由折叠的性质得：OA'=OA=4， 在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2， ∴A'（2，﹣2）； 故答案为（，3）或（，1）或（2，﹣2）． 考点：1、翻折变换（折叠问题）；2、坐标与图形性质；3、矩形的性质 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先化为最简二次根式，再合并即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，，分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，根据平行四边形的性质可得，则，根据，即可得证． 【详解】证明：在中，， ， ， 四边形是平行四边形． 19. 已知=，求代数式的值. 【答案】 【解析】 【分析】把x的值代入多项式进行计算即可． 【详解】当=时，=== 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 20. 教材第16页的阅读与思考：海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 【答案】平方米 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，直接根据海伦－秦九韶公式求解，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴（平方米）． 答：的面积是平方米． 21. 如图，已知平行四边形的一个内角及其两边长，． （1）用尺规补全平行四边形，请保留作图痕迹并说明你的作图依据_______________________________________； （2）点E是边上任意一点，只用一把无刻度的直尺在边上作点F，使得． 【答案】（1）图见解析，作图依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别以点A和点C为圆心，为半径画弧，交点即为点D； （2）连接交于点O，作直线交于F，点F即为所求． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求； 作图依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，点F即为所求． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 22. 观察下列等式：；；……根据你观察后所发现的规律，解答下列问题： （1）若等式及具有上述规律，则 ； ； （2）请你用含n的等式表示上述规律；（n是大等于2的整数） （3）请你证明上述等式的正确性． 【答案】（1） （2）（的整数） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． （1）仔细观察从上式中找出规律即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【小问1详解】 解：∵； ； ∴， ． 故答案为：24；63 【小问2详解】 解：∵； ； ， …… ∴（的整数）． 【小问3详解】 解：． 23. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 24. 【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得． 道路 长度（米） 40 30 30 18 32 25 任务二 数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： （1）求道路的长； （2）道路__________米； （3）任务三方案设计 ①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路； ②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号） 【答案】（1）米 （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，即可求解； （2）勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法，即可求解． （3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点； ②先证明，根据①的结论可得，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴． ∴， 故道路的长为25米； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴ 又∵ 在中， ∵ ∴，， ∵ ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 ①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示： ②解：∵， ∴ ∴ ∵在上，即的垂直平分线上， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，两点之间线段最短，平行线的性质；综合运用以上知识是解题的关键． 25. （1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值． 【答案】（1）同意，理由见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可； （2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值； （3）方法同（2）． 【详解】解：（1）同意，理由如下： 如图，连接EF ∵E是AD的中点 ∴AE=ED 由折叠及矩形性质得：AE=EG，∠EGF=∠D=90° 所以，EG=DE 在Rt△EFG和Rt△EFD中， ∵EF=EF EG=DE ∴Rt△EFG≌Rt△EFD （HL） ∴DF=FG （2）根据DC=2DF，设DF=FC=x，AE=ED=y 由折叠性质及（1）知BF=BG+GF=AB+GF=3x 在Rt△BCF中，由勾股定理得： BF2=BC2+CF2 （3x）2=（2y）2+x2 即： ∴ （3）设AE=ED=y，DF=x，根据DC=nDF，得CD=nx，FC=（n－1）x； 由折叠性质及矩形性质知：BF=BG+GF=AB+GF=（n+1）x 在Rt△BCF中，由勾股定理得： BF2=BC2+CF2 [（n+1）x]2=（2y）2+[（n-1）x]2 即： ∴ 【点睛】此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$