精品解析：湖北襄阳市枣阳市等校2026年初中学业水平模拟考试 数学试卷

2026年初中学业水平模拟考试 数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. 3.141 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数，不符合要求； B．是分数，属于有理数，不符合要求； C．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； D．，是整数，属于有理数，不符合要求． 2. 鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上向下看所得到的图形，看得见的画实线，看不见的画虚线，即可求解． 【详解】解：从上面看到的平面图形是． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，所以选项A错误，不符合题意； B、，所以选项B正确，符合题意； C、，所以选项C错误，不符合题意； D、，所以选项D错误，不符合题意． 故选：B． 4. 某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其图象如图所示．已知某同学的佩戴该种眼镜镜片的焦距为0.2米，经过矫正治疗后眼镜镜片的焦距调整到0.5米，则该同学的佩戴该种近视眼镜的度数减少了（ ） A. 500度 B. 300度 C. 200度 D. 100度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值，进行求解即可． 【详解】解：由题意，设， 把代入，得， ∴， 当时，， （度）； 故选：B． 5. 已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；设方程的两个根为r和，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k. 【详解】解：设方程的两个根为r和， ∴两根之和， ∴， ∴， ∴另一个根为， ∵两根之积， ∴. 故选：C. 6. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角板．先得出，再根据平行线的性质得出，进而根据，得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 7. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 在一个仅装有白球的袋中，摸出一个黑球 B. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为7 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D. 在一个标准大气压下，水加热至沸腾时温度为 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，仅装有白球的袋子中不可能摸出黑球，因此A是不可能事件； B选项，骰子的最大点数为6，不可能出现点数为7的情况，因此B是不可能事件； C选项，掷质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，正面朝上是可能发生也可能不发生的事件，因此C是随机事件； D选项，标准大气压下，水沸腾时的温度一定为，因此D是必然事件． 8. 如图，的直径平分弦．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据垂径定理的推论得，进而得出，然后根据“同弧所对的圆周角相等”得出答案． 【详解】解：如图， ∵直径平分弦， ∴，交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 10. 如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则．在中，由勾股定理得，，进而可得答案． 【详解】解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 12. 对于反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大，任意写一个满足条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当时，在每一象限内，随增大而增大，即可求解． 【详解】解：反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大， ， 满足条件的值为，． 故答案为：（答案不唯一） 13. 方程的解为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 14. 二十四节气起源于我国黄河流域，是前人世代农耕劳作智慧的结晶，是我国传统文化在历法中的体现．小明购买了“立春”“立夏”“立秋”“立冬”四张以二十四节气为主题的书签，从中随机抽取两张，恰好抽到的是“立春”“立秋”的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】将“立春”“立夏”“立秋”“立冬”四张书签分别记为，根据题意，列出表格，先找出所有等可能的抽取结果，再确定恰好抽到“立春”“立秋”的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：将“立春”“立夏”“立秋”“立冬”四张书签分别记为，根据题意，列出表格，如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 一共有12种等可能结果，其中恰好抽到“立春”“立秋”的结果有2种， 所以恰好抽到的是“立春”“立秋”的概率为． 15. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 请回答下列问题： （1）________； （2）当时，则的长度为______． 【答案】 ①. 13 ②. 【解析】 【分析】（1）如图1，作，在上取点H，使，连接，，，当时，动点Q运动到点H的位置，得到，当点Q运动到点G的时候，最小为81，，再由勾股定理求出m的值； （2）求抛物线的解析式，将代入即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点P作于G，在上取点H，使，连接，，， ∵， ∵当时，动点Q运动到点H的位置， 则由题意和图象可知， 当点Q运动到点G的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ； （2）由（1）得：， ∴，， ， 当时，点Q运动到点B，则， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴顶点坐标为， 当，即点Q在A点时， ∴， ∴点C的纵坐标为250， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴（负值舍去）． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算乘方、绝对值、立方根和除法，再按照实数的运算顺序进行加减运算． 【详解】解： ， ． 17. 如图，在中，，平分，过点A作，使，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一得到，证明四边形是平行四边形，根据可知四边形是矩形． 【详解】证明：∵在中，，平分， ， ， ， ∴四边形是平行四边形 又， ， ∴四边形是矩形． 18. 小刚所在的数学兴趣小组选择以“测量某河段的宽度”为活动项目，制定了多种测量方案．其中一个方案是：如图所示，将无人机悬停在点C处，测得河岸边点A处的俯角α为，测得与点A正对岸的岸边点B的俯角β为，此时无人机到河面的高度是，求河宽．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点D，由题意，得，根据三角函数求出，，即可求出河宽． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 由题意，得， 在中，， ， 在中，． ， ． 答：河宽约为． 19. 某校八年级学生在开展综合与实践活动时，为研究不同种植条件对玉米生长的影响，分别从试验田和对照田中各随机选取40株玉米测量其株高． 【数据整理】根据收集到的数据，将玉米株高h（单位：）分为A（），B（），C（），D（），E（）五组，制成如下频数分布表． 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 【数据描述】根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （1）补全试验田频数直方图，扇形图中对照田D组圆心角的度数为________； （2）已知玉米株高h满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（写出一条信息即可） 【数据分析】对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 51 对照田 52 52 （3）根据（2）中“长势良好”的标准及以上信息，评估试验田的玉米生长情况． （4）若有一株玉米的高度为，属于该类型田块的中上游高度，请你判断该株玉米出自试验田还是对照田，并说明理由． 【答案】（1）见解析， （2）试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田（答案不唯一） （3）试验田长势好于对照田 （4）该株玉米出自试验田，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据分布表补全直方图，利用360度乘以D组所占的百分比，求出圆心角的度数即可； （2）求出试验田和对照田中长势良好的玉米株数所占的比例，进行分析即可； （3）根据中位数、众数、平均数，方差分析即可； （4）利用中位数进行说明即可． 【小问1详解】 解：补全直方图，如图∶ 扇形图中对照田D组圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比； 对照田中长势良好的玉米株数占比为； 所以试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田； 【小问3详解】 解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内； 而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中． 综合以上信息，试验田长势好于对照田． 【小问4详解】 解：该株玉米出自试验田．该株玉米高度为大于试验田的株高中位数，说明该株玉米高度在试验田处于的中上游高度． 20. 我国古代数学的许多成就都曾位居世界前列，“杨辉三角”便是其中一例．下面是某学习小组开展《探寻杨辉三角的奥秘》主题学习活动的过程，请阅读并解决问题． 活动一：初识“杨辉三角” 如图，是“杨辉三角”数阵，请观察数阵： （1）第六行中___________， ___________； 活动二：初探“杨辉三角” 此数阵中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的各项的系数，等等．利用上面的数阵，解答下列问题： （2）写出的展开式的第三项为___________； （3）某小组发现图中第行的数字之和是，根据这个结论，小颖同学在计算的展开式各项系数和时，由于少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，则___________； 活动三：再探“杨辉三角” （4）小明所在的小组发现：第三斜行从上至下依次为1，3，6，10，…，斜行上的数（即每一行的第三位数）与所在横行（，为正整数）具有二次函数关系．小明提出以下问题，请解答： ①请验证当时，函数的值与“杨辉三角形”中的值是否一致，并说明理由； ②若展开式第三项的系数为190，则___________． 【答案】（1）10；5 （2） （3）6 （4）①一致，理由见解析； ②20 【解析】 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：“杨辉三角”数阵第五行，得， 的展开式的第三项为； 【小问3详解】 解：，即计算，对应“杨辉三角”数阵第七行，第七行的数字之和是，，，所以； 【小问4详解】 解：①一致， 当时，， “杨辉三角”数阵第六行，第3个数为10，函数的值与“杨辉三角形”中的值一致； ②由题意知，， ∴， 解得，（舍去，为正整数）， ∴． 21. 如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD＝，BE＝1．求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△AOD-S扇形DOF进行计算． 【详解】解：（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB， 而OF⊥AC， ∴OF＝OD， ∴AC是⊙O的切线； （2）在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r， ∴r2+（）2＝（r+1）2，解得r＝1， ∴OD＝1，OB＝2， ∴∠B＝30°，∠BOD＝60°， ∴∠AOD＝30°， 在Rt△AOD中，， ∴阴影部分的面积＝2S△AOD﹣S扇形DOF 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质． 22. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进A，B两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 A类 B类 进货价（元/本） 25 16 销售价（元/本） 35 24 （1）第一次，该书店用1960元购进了A，B两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ （2）第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两类图书180本（图书的进货价不变），但A类的进货数量不超过B类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B类图书每本都拿出元设立读书基金，全部售出后所获总利润不低于1350元，求a的最大值． 【答案】（1）书店购进A种图书40本，B种图书60本 （2）当书店购进A种图书45本，B种图书135本时，获得的利润最大，最大利润为1530元 （3）a的最大值为5 【解析】 【分析】（1）设书店购进A种图书m本，则购进B种图书n本，根据“用1960元购进了A，B两类图书共100本”列方程组求解即可； （2）设书店购进A种图书x本，获得的利润为w元，根据题意求出x的取值范围及w的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可； （3）根据“全部售出后所获总利润不低于1350元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设书店购进A种图书m本，则购进B种图书n本， 根据题意得 解得， ∴书店购进A种图书40本，B种图书60本； 【小问2详解】 解：设书店购进A种图书x本，获得的利润为w元， 根据题意得 解得， ， ； ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时B种图书有：（本）， 答：当书店购进A种图书45本，B种图书135本时，获得的利润最大，最大利润为1530元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得， ∴a的最大值为5． 23. 在中，E为边上一点，F为延长线上一点． （1）如图1，四边形是正方形，当时．求证：． （2）如图2，四边形是矩形，当时，将沿折叠得到，延长和相交于点F．求的长． （3）如图3， ，连接交延长线于点G．当时， ①求的长； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①，② 【解析】 【分析】（1）延长交于点H，证明 ，可得 ，再利用三角形内角和定理即可证明 ，即可得出结论； （2）延长交于点H，勾股定理求出，易得垂直平分，证明 ，得到，即可求解； （3）①由（2）得 ．过点E作交延长线于P，延长交延长线于N．求出 ，在中，求出，进而得到，勾股定理即可求出； ②证明 ，推出，得到，再证明 ，得到，再证明 ，即可求解． 【小问1详解】 证明：延长交于点H， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：延长交于点H， ∵矩形中， ， ， 在中，， 沿折叠得， ∴垂直平分，即 ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：①由（2）得 ． 当，则， 过点E作交延长线于P，延长交延长线于N． ∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ∴在中， ， ， ． ② ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，拋物线的顶点为P，且与x轴交点为O、C． （1）如图，若． ① 当点P在直线上时，求m的值； ② 若抛物线在的范围内，至少存在一个x的值，使，求m的取值范围． （2）过P作于H，令． ①求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； ②分别求出当与时m的值（直接写出结果）． 【答案】（1）①6；②； （2）①；②2或． 【解析】 【分析】（1）①将抛物线变形得到点P的坐标，再将点P坐标代入，解方程即可解答． ②根据二次函数图像和性质，分情况讨论当时；当时，即可解答． （2）①由题意可知，可求得，再根据点D、点P坐标可得，即可解答． ②根据题意画出函数图形即可解答． 【小问1详解】 解： 由 ∴，坐标代入得， ， 解之，． ②在范围内，根据二次函数图像和性质， ， 当时，即， 在顶点最高，而，所以不可能有； 当时，即， 在最大，而，所以至少存在一个， 综上所述，． 【小问2详解】 如图， 由直线与对称轴的图像可分析得出， ， 在中，， 由， ∴， 结合图像分析可得， ． ②当时，, 解得：； 当时，， 解得：. 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的图像和性质，根据题意画出图像是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. 3.141 B. C. D. 2. 鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其图象如图所示．已知某同学的佩戴该种眼镜镜片的焦距为0.2米，经过矫正治疗后眼镜镜片的焦距调整到0.5米，则该同学的佩戴该种近视眼镜的度数减少了（ ） A. 500度 B. 300度 C. 200度 D. 100度 5. 已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 在一个仅装有白球的袋中，摸出一个黑球 B. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为7 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D. 在一个标准大气压下，水加热至沸腾时温度为 8. 如图，的直径平分弦．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 10. 如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 12. 对于反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大，任意写一个满足条件的的值______． 13. 方程的解为___________. 14. 二十四节气起源于我国黄河流域，是前人世代农耕劳作智慧的结晶，是我国传统文化在历法中的体现．小明购买了“立春”“立夏”“立秋”“立冬”四张以二十四节气为主题的书签，从中随机抽取两张，恰好抽到的是“立春”“立秋”的概率为________． 15. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 请回答下列问题： （1）________； （2）当时，则的长度为______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，平分，过点A作，使，连接，．求证：四边形是矩形． 18. 小刚所在的数学兴趣小组选择以“测量某河段的宽度”为活动项目，制定了多种测量方案．其中一个方案是：如图所示，将无人机悬停在点C处，测得河岸边点A处的俯角α为，测得与点A正对岸的岸边点B的俯角β为，此时无人机到河面的高度是，求河宽．（结果保留整数．参考数据：） 19. 某校八年级学生在开展综合与实践活动时，为研究不同种植条件对玉米生长的影响，分别从试验田和对照田中各随机选取40株玉米测量其株高． 【数据整理】根据收集到的数据，将玉米株高h（单位：）分为A（），B（），C（），D（），E（）五组，制成如下频数分布表． 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 【数据描述】根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （1）补全试验田频数直方图，扇形图中对照田D组圆心角的度数为________； （2）已知玉米株高h满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（写出一条信息即可） 【数据分析】对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 51 对照田 52 52 （3）根据（2）中“长势良好”的标准及以上信息，评估试验田的玉米生长情况． （4）若有一株玉米的高度为，属于该类型田块的中上游高度，请你判断该株玉米出自试验田还是对照田，并说明理由． 20. 我国古代数学的许多成就都曾位居世界前列，“杨辉三角”便是其中一例．下面是某学习小组开展《探寻杨辉三角的奥秘》主题学习活动的过程，请阅读并解决问题． 活动一：初识“杨辉三角” 如图，是“杨辉三角”数阵，请观察数阵： （1）第六行中___________， ___________； 活动二：初探“杨辉三角” 此数阵中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的各项的系数，等等．利用上面的数阵，解答下列问题： （2）写出的展开式的第三项为___________； （3）某小组发现图中第行的数字之和是，根据这个结论，小颖同学在计算的展开式各项系数和时，由于少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，则___________； 活动三：再探“杨辉三角” （4）小明所在的小组发现：第三斜行从上至下依次为1，3，6，10，…，斜行上的数（即每一行的第三位数）与所在横行（，为正整数）具有二次函数关系．小明提出以下问题，请解答： ①请验证当时，函数的值与“杨辉三角形”中的值是否一致，并说明理由； ②若展开式第三项的系数为190，则___________． 21. 如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD＝，BE＝1．求阴影部分的面积． 22. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进A，B两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 A类 B类 进货价（元/本） 25 16 销售价（元/本） 35 24 （1）第一次，该书店用1960元购进了A，B两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ （2）第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两类图书180本（图书的进货价不变），但A类的进货数量不超过B类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B类图书每本都拿出元设立读书基金，全部售出后所获总利润不低于1350元，求a的最大值． 23. 在中，E为边上一点，F为延长线上一点． （1）如图1，四边形是正方形，当时．求证：． （2）如图2，四边形是矩形，当时，将沿折叠得到，延长和相交于点F．求的长． （3）如图3， ，连接交延长线于点G．当时， ①求的长； ②求的长． 24. 直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，拋物线的顶点为P，且与x轴交点为O、C． （1）如图，若． ① 当点P在直线上时，求m的值； ② 若抛物线在的范围内，至少存在一个x的值，使，求m的取值范围． （2）过P作于H，令． ①求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； ②分别求出当与时m的值（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $