精品解析：河北保定市高碑店市第八中学等校2025～2026学年八年级下学期阶段学情自测数学试卷

八年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若是不等式，则符号“”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 围棋最早起源于中国，古代称为“弈”，是中国文化与文明的体现，深受国人青睐．以下由黑白棋子组成的图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 9. 一个零件的形状如图所示，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．要检验该零件是否合格，有以下两种方案．甲：只需测量出和的度数；乙：量出和的度数也可以检验该零件是否合格．则两人的方案（）． A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 10. 如图，在中，，是边上的高，，若 ，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（ ）． A. B. C. D. 12. 已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. “5与x的和大于x的3倍”用不等式表示为___________ ． 14. 如图，在一块长为米、宽为米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是米，其他部分都是草地，则草地的面积为__________平方米． 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 16. 如图，在四边形中，，，，连接，．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应问题． 解：去分母，得， ……第一步 去括号，得， ……第二步 移项，得， ……第三步 合并同类项，得， ……第四步 两边同除以，得． ……第五步 （1）以上解题过程中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． （2）请你写出正确的解答过程． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）画出先向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的． （2）画出绕点O顺时针方向旋转后得到的． 19. 如图，在中，． （1）如图1，平分，平分，求的度数． （2）如图2，平分，平分外角，求的度数． 20. 已知方程组的解满足为非正数，为负数．求的取值范围． 21. 如图，在四边形中，，，，将，分别平移到和的位置． （1）求证：为直角三角形． （2）若，，，求的长． 22. 如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 23. 某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动“，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．简约版每套的成本比创意版每套的成本低元，且套简约版的成本与套创意版的成本共元． （1）求每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价． （2）若计划制作简约版和创意版的手工钥匙扣共套，投入资金不多于元，且创意版手工钥匙扣的数量不少于简约版手工钥匙扣的数量的一半，问社区志愿者团队有几种制作方案？（不用写出具体方案） （3）在（）的条件下，现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为元和元，且所有钥匙扣均已卖出，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 24. 综合与探究 【模型感知】 （1）如图1，在正方形中，，，点E，F分别在，上，．把绕点A逆时针旋转，得到，使与重合，则能证得，请写出推理过程． 【模型应用】 （2）如图2，在中，，，点D，E均在边上，且．猜想，，之间满足的等量关系，并给出证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，且，，点E在直线上．若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若是不等式，则符号“”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 用符号“、、、”表示大小关系的式子，叫做不等式．如；像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式．根据不等式的定义即可求解． 【详解】是不等号，、、都不是不等号， 根据不等式的定义可知，若是不等式，则符号“”可以是． 故选：B． 2. 围棋最早起源于中国，古代称为“弈”，是中国文化与文明的体现，深受国人青睐．以下由黑白棋子组成的图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心，理解中心对称图形的概念是关键；根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：由四个图案知，只有选项C中的图案能够找到一点，图案绕此点旋转后能够与原图案重合，其他图案则都不是中心对称图形； 故选：C． 3. 已知，则下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，关键是熟练应用性质进行判断；根据不等式的基本性质对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴根据不等式两边加同一个数，不等号方向不变，得， 故A选项错误； ∵， ∴根据不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，得， 故B选项正确； ∵， ∴根据不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，得， 故C选项错误； ∵， ∴移项得， 故D选项错误； 故答案选：B. 4. 如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理得到即可求出答案． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是中线，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵， ∴不等式组的解集为， ∴解集在数轴上表示为： 故选项符合题意． 6. 在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据垂直平分线得到，然后根据等边对等角和外角的知识，即可求解； 【详解】解：∵在中，点D在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 故选：D； 7. 用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设， 故选：A． 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得， ， 故选：B． 9. 一个零件的形状如图所示，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．要检验该零件是否合格，有以下两种方案．甲：只需测量出和的度数；乙：量出和的度数也可以检验该零件是否合格．则两人的方案（）． A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和四边形内角和定理即可判断． 【详解】解：如图，延长，交于点， 甲：测量出和的度数，则，则甲的方案正确； 乙：量出和的度数， ∵， ∴， ∴ ， ∴乙的方案正确； 综上：甲、乙均对． 10. 如图，在中，，是边上的高，，若 ，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再求出，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有A选项正确． 12. 已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式组，得到，根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式；再解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得， ， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. “5与x的和大于x的3倍”用不等式表示为___________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知，不等式为， 故答案为：． 14. 如图，在一块长为米、宽为米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是米，其他部分都是草地，则草地的面积为__________平方米． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是米，高是米的平行四边形，根据平行四边形的面积底高，长方形的面积长宽，用长方形的面积减去小路的面积即可． 【详解】解：由题可得，草地的面积是：（平方米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是化曲为直将小路看作是平行四边形． 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象找到一次函数的图象在正比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴根据图象可得关于的不等式的解集是：． 16. 如图，在四边形中，，，，连接，．若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】如图，以为边作等边，连接．证明，．在中，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵，， ∴为等边三角形． ∴， 又∵为等边三角形， ∴，． ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 在中，， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应问题． 解：去分母，得， ……第一步 去括号，得， ……第二步 移项，得， ……第三步 合并同类项，得， ……第四步 两边同除以，得． ……第五步 （1）以上解题过程中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）一；去分母时，1漏乘以6． （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据不等式的基本性质求解即可； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【小问1详解】 解：一；去分母时，1漏乘以6． 【小问2详解】 解：原不等式去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）画出先向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的． （2）画出绕点O顺时针方向旋转后得到的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给平移方式确定点的坐标，再描点，连线作图即可； （2）根据网格的特点和旋转方式确定点，再描点，连线作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 19. 如图，在中，． （1）如图1，平分，平分，求的度数． （2）如图2，平分，平分外角，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵平分，平分外角， ∴，． ∵，， ∴． 20. 已知方程组的解满足为非正数，为负数．求的取值范围． 【答案】． 【解析】 【分析】先解方程组，再根据满足为非正数，为负数，列出不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：， 由，解得， 把代入，解得， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴． 21. 如图，在四边形中，，，，将，分别平移到和的位置． （1）求证：为直角三角形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由平移的性质，得，，则，，得出，从而求证； （）由平移的性质，得，，，，由（）得是直角三角形，然后通过勾股定理和线段的和与差即可求解． 【小问1详解】 证明：由平移的性质，得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：由平移的性质，得，，，， 由（）得是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 23. 某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动“，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．简约版每套的成本比创意版每套的成本低元，且套简约版的成本与套创意版的成本共元． （1）求每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价． （2）若计划制作简约版和创意版的手工钥匙扣共套，投入资金不多于元，且创意版手工钥匙扣的数量不少于简约版手工钥匙扣的数量的一半，问社区志愿者团队有几种制作方案？（不用写出具体方案） （3）在（）的条件下，现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为元和元，且所有钥匙扣均已卖出，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 【答案】（1）每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元； （2）种制作方案； （3）此次义卖获得的总利润最高为元． 【解析】 【分析】（）设每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元，由题意得，然后解方程组即可； （）设制作创意版手工钥匙扣m套，则简约版手工钥匙扣套．由题意得，然后解不等式组即可； （）解：设总利润为元，由题意得，然后通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元， 由题意，得， 解得， 答：每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元； 【小问2详解】 解：设制作创意版手工钥匙扣m套，则简约版手工钥匙扣套． 由题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴社区志愿者团队有种制作方案； 【小问3详解】 解：设总利润为元， 由题意，得， ∵， ∴总利润随的增大而增大， ∴当时，总利润取得最大值，最大利润为（元）， 答：此次义卖获得的总利润最高为元． 24. 综合与探究 【模型感知】 （1）如图1，在正方形中，，，点E，F分别在，上，．把绕点A逆时针旋转，得到，使与重合，则能证得，请写出推理过程． 【模型应用】 （2）如图2，在中，，，点D，E均在边上，且．猜想，，之间满足的等量关系，并给出证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，且，，点E在直线上．若，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）；见解析 （3）的长为或7 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，进而得到，即可得到答案； （2）如图，把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，则，，证明，可得是直角三角形，可得． （3）如图，过点A作于点H．求解．再分情况讨论：①如图，当点E在线段上时，将绕点A逆时针旋转得到，连接，过点F作，交于点G，②如图，当点E在的延长线上时，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，过点F作，交的延长线于点G，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵把绕点A逆时针旋转至，使与重合， ∴， ， ∴点在同一直线上， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：．理由如下： 如图，把绕点A顺时针旋转到的位置，连接， 则，， ∴，，，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点H． ∵在中，，， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ①如图，当点E在线段上时，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 过点F作，交于点G， 则，，，． 同理（2），得， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设，则，， ∴，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． ②如图，当点E在的延长线上时，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，过点F作，交的延长线于点G， 则，，，． 同理（2），得， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设，则，， ∴，， ∴． ∵， ∴，解得， ∴． 综上所述，的长为或7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $