精品解析：江苏南通市通州区区2025-2026学年下学期七年级数学期中试卷

初一数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 16的平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：， 的平方根是． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键；根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负），判断点的坐标符号即可确定所在象限． 【详解】解：点位于第一象限； 故选A． 3. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．，是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是有理数，不符合题意． 4. 若是方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】把代入，可得关于的方程，即可得的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 5. 在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，使“少”的坐标为，“年”的坐标为，则“强”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：“少”的坐标为，“年”的坐标为， 建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为． 6. 下列整数，在与之间的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】通过比较被开方数大小确定和的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴． 7. 在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（ ）． A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移的性质，平移后所有点的横纵坐标变化量相同，根据平移规律得到和的表达式，即可计算的值． 【详解】∵线段平移得到线段，平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同， 由的对应点为，可得横坐标变化量为：， 由的对应点为，可得纵坐标变化量为：， ∴对点横坐标，有，得， 对点纵坐标，有，得， ∴． 8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：斗谷子能出斗米，即出米率为．今有米在容量为斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意可得． 9. 在平面直角坐标系中，点，，直线与坐标轴平行，且．两位同学进行探究，小明发现：若，则三角形的面积为4；小丽发现：若，则点B一定在第四象限．请对两位同学的发现作出评判（ ） A. 小明正确，小丽错误 B. 小明错误，小丽正确 C. 小明、小丽都错误 D. 小明、小丽都正确 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论：平行于x轴或平行于y轴．因为，结合点A的坐标，所以可分别求出两种情况下点B的坐标．对于小明的结论，若，先确定符合条件的点B坐标，再利用三角形面积公式计算的面积，判断结论是否成立．对于小丽的结论，若，先确定符合条件的点B坐标，再判断点B所在象限，判断结论是否成立． 【详解】解：∵，直线与坐标轴平行，， ∴分两种情况列出所有可能的点坐标： 若轴，则，， 解得或， ∴或． 若轴：则，， 解得或， ∴或． 评判小明的结论（时，）： ∵， ∴同号， ∴符合条件的点为和： 当：，在直线上，原点到的距离为，． 当时，，在直线上，原点到的距离为2，． ∴小明的结论不完全正确． 评判小丽的结论（时，一定在第四象限）： ∵， ∴异号，符合条件的点为和， 两个点都满足横坐标正、纵坐标负，都在第四象限． ∴小丽的结论正确． 综上，小明错误，小丽正确． 10. 在平面直角坐标系中，点，线段以每秒旋转的速度，绕点O顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环移动，则第2026秒时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，利用周期性循环规律解题，先确定旋转和点P运动的周期，再计算2026秒在周期中的位置，即可得到对应坐标． 【详解】解：由题可知，长为，点从到再返回共需要秒，每秒顺时针转，每秒旋转回到初始位置，因此点的位置每秒为一个循环周期． 计算得，因此第秒的坐标与第秒的坐标相同． 初始在轴正半轴，点从出发，每秒移动个单位长度， 第秒顺时针转到轴正半轴，，点坐标为； 第秒再顺时针转到轴负半轴，，点坐标为． 因此第秒时点的坐标为． 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 的相反数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义进行分析解答即可． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查相反数及实数，熟记“相反数”的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解答这类题的关键． 12. 若点在轴上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的坐标特征，列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵ 点在轴上， ∴， ∴． 13. 比较大小：____（填“”、“”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，根据，且，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 【答案】（或或，写出一种即可 ） 【解析】 【分析】设截成长的钢管根，长的钢管根，根据钢管总长为列出方程，再结合、为正整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求正整数解是解题的关键． 【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根． ∵ 钢管总长， ∴ ，即 ． 又∵ 、为正整数， 当时，，总根数为； 当时，，总根数为； 当时，，总根数为 ． 故答案为：（或或，写出一种即可 ）． 15. 已知和都是关于x，y的方程（a，c是常数，）的解，其中，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将两组解分别代入方程，得到关于、、的两个等式．消去，得到只含和的方程．因为，所以可在方程两边同时除以含的非零项，进而求出的值． 【详解】解：∵两组解都满足方程， ∴把​代入，得 ①， 把代入，得 ②， ∴， 移项整理提取公因式，得， ∵， ∴， 两边同时除以， 得． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，，为折线段上的动点（不与点，重合），记，其中为实数． （1）当时，的最大值为______； （2）若存在最大值，则的最小值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 2 【解析】 【分析】（1）当时，表示折线段上的点到直线的距离，当点与点重合时，点到直线的距离最大，即可得的最大值； （2）点和点到直线的距离相等，且大于点到直线的距离，由不与点，重合，可得当时，无最大值，当点与点重合时，取最大值，即可得的最小值． 【详解】（1）解：当时，， 根据绝对值的意义可知，表示折线段上的点到直线的距离， ∴当点与点重合时，点到直线的距离最大， ∴当时，的最大值为， （2）解：∵，，， ∴点和点到直线的距离相等，且大于点到直线的距离， ∵为折线段上的动点，且不与点，重合， ∴当时，无最大值， 当时，的最大值为，此时，点与点重合， ∴若存在最大值，则的最小值为． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程 （1）计算：； （2）求x的值：． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： ∴或 或 18. 解下列方程组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 19. 如图，长方形内两个正方形的面积分别为和． （1）求长方形的周长； （2）求图中两块阴影部分的面积和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，实数的运算； （1）首先求正方形的边长，然后求长方形的周长即可； （2）用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积和． 【小问1详解】 解：∵两个正方形的面积分别为和， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴长方形的周长为． 【小问2详解】 解：阴影部分的面积和为． 20. 如图，的格子内填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等． 3 2 （1）求和的值（用含，的代数式表示）； （2）试用等式表示，之间的数量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）用，表示格子左下角的代数式，即可得，之间的数量关系． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得． 【小问2详解】 解：根据题意， 格子左下角的代数式可以表示为： 格子左下角的代数式还可以表示为： ， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．将三角形平移，使点A平移到点处，得到三角形其中点B，C的对应点分别为，． （1）画出三角形； （2）若三角形内一点平移后的对应点为，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）由点平移后的对应点为，可得平移方式，可得点，的坐标，在平面直角坐标系中找到，，，顺次连接，即可得三角形； （2）根据平移方式，结合点平移前后的坐标，列方程组求解即可． 【小问1详解】 解：∵点平移后的对应点为，，， ∴将三角形向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，可得三角形， 又∵，， ∴，， 在平面直角坐标系中找到，，，顺次连接，即可得三角形． 【小问2详解】 解：由（1）知，将三角形向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，可得三角形， ∵三角形内一点平移后的对应点为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 22. 已知二元一次方程组． （1）求的值； 甲，乙两位同学分别给出下列思路，请补全乙的思路； 甲的思路：先解方程组，求出、的值，再代入，计算求值； 乙的思路：将，得______． （2）求的值．请根据丙的思路完成解答． 丙的思路：设(其中m，n是常数)，先求m，n的值，再求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意计算，即可求解； （2）根据题意得出，求得的值，代入代数式即可求解． 【小问1详解】 解：将，得 【小问2详解】 解： 解得 23. 某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低元，套普通版的成本与套手绘版的成本共元． （1）求每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； （2）现决定将每套普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为元和元．如果销售两种套装的收入共为元，那么总利润最高是多少元？ 【答案】（1）每套普通版明信片的成本价分别为元和每套手绘版明信片的成本价为元； （2）总利润最高是元． 【解析】 【分析】（1）设每套普通版和每套手绘版明信片的成本价分别为元和元，根据题意列方程组求解即可； （2）设销售普通版和手绘版明信片分别为套和套，列方程，写出所有整数解，比较总利润即可． 【小问1详解】 解：设每套普通版和每套手绘版明信片的成本价分别为元和元， 根据题意，得， 解得， ∴每套普通版明信片的成本价分别为元和每套手绘版明信片的成本价为元． 【小问2详解】 解：设销售普通版和手绘版明信片分别为套和套，总利润为元， 根据题意，得， ∵，都是正整数， ∴或或， 当时，总利润是， 当时，总利润是， 当时，总利润是， ∵， ∴总利润最高是元． 24. 阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值． 例如：∵，4，6最接近，∴的最初近似值为，∴的二级近似值为，∴的三级近似值为． 任务： （1）的最初近似值是 ； （2）的二级近似值是 ； （3）若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【答案】（1）4； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了由分解因式求非完全平方的整数的平方根的近似值，解题关键是理解题意，进行变形计算． （1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）设，进而求出，根据公式代入即可求值． 【小问1详解】 解：， 与最接近， 的最初近似值为； 【小问2详解】 解：， 和最接近， 最初近似值， 的二级近似值是； 【小问3详解】 解：设， 最初近似值， 得， 二级近似值， 解得，． 25. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．点P为直线上一点（不与点A，B重合），连接． （1）三角形的面积为______； （2）若轴，探究和是否相等，说明理由； （3）若，求点的横坐标． 【答案】（1） （2），理由见解析； （3）点的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，轴，点到的距离为，代入三角形的面积公式计算即可； （2）由，可得，即可求解； （3）由已知可得，点不可能在线段的延长线上，按照点在线段上、点在线段的延长线上，进行分类讨论，分别计算点的横坐标． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，轴， ∵， ∴点到的距离为， ∴三角形的面积为． 【小问2详解】 ． 理由如下： ∵轴 ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴点不可能在线段的延长线上， ∴当在线段上时，如图， ∵， ∴， 解得， ∴， 解得， 当在线段的延长线上时，如图， ∵ ∴； 解得， ∴， 解得， ∴点的横坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 16的平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的一个解，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5 5. 在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，使“少”的坐标为，“年”的坐标为，则“强”的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列整数，在与之间的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，其中点的对应点为点．若，，则的值为（ ）． A. B. C. 2 D. 4 8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：斗谷子能出斗米，即出米率为．今有米在容量为斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点，，直线与坐标轴平行，且．两位同学进行探究，小明发现：若，则三角形的面积为4；小丽发现：若，则点B一定在第四象限．请对两位同学的发现作出评判（ ） A. 小明正确，小丽错误 B. 小明错误，小丽正确 C. 小明、小丽都错误 D. 小明、小丽都正确 10. 在平面直角坐标系中，点，线段以每秒旋转的速度，绕点O顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环移动，则第2026秒时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 的相反数是______． 12. 若点在轴上，则______． 13. 比较大小：____（填“”、“”或“=”）． 14. 把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 15. 已知和都是关于x，y的方程（a，c是常数，）的解，其中，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，，为折线段上的动点（不与点，重合），记，其中为实数． （1）当时，的最大值为______； （2）若存在最大值，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程 （1）计算：； （2）求x的值：． 18. 解下列方程组． （1） （2） 19. 如图，长方形内两个正方形的面积分别为和． （1）求长方形的周长； （2）求图中两块阴影部分的面积和． 20. 如图，的格子内填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等． 3 2 （1）求和的值（用含，的代数式表示）； （2）试用等式表示，之间的数量关系． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．将三角形平移，使点A平移到点处，得到三角形其中点B，C的对应点分别为，． （1）画出三角形； （2）若三角形内一点平移后的对应点为，求点P的坐标． 22. 已知二元一次方程组． （1）求的值； 甲，乙两位同学分别给出下列思路，请补全乙的思路； 甲的思路：先解方程组，求出、的值，再代入，计算求值； 乙的思路：将，得______． （2）求的值．请根据丙的思路完成解答． 丙的思路：设(其中m，n是常数)，先求m，n的值，再求的值． 23. 某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低元，套普通版的成本与套手绘版的成本共元． （1）求每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； （2）现决定将每套普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为元和元．如果销售两种套装的收入共为元，那么总利润最高是多少元？ 24. 阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值． 例如：∵，4，6最接近，∴的最初近似值为，∴的二级近似值为，∴的三级近似值为． 任务： （1）的最初近似值是 ； （2）的二级近似值是 ； （3）若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．点P为直线上一点（不与点A，B重合），连接． （1）三角形的面积为______； （2）若轴，探究和是否相等，说明理由； （3）若，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $