精品解析：江苏南京市建邺区2025-2026学年下学期八年级数学期中调研测试试卷

初二数学期中调研测试试卷 时间：100分钟 总分：100分 注意： 1．选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上． 2．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 调查某校足球队员的身高 B. 调查旅客随身携带的违禁物品 C. 调查某班学生完成眼保健操执行的情况 D. 调查全国中小学生对我国《梦舟》载人飞船的关注度 2. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 C. 任意买一张电影票，座位号是偶数 D. 13个人中至少有2人的出生月份相同 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（ ） A. 3，4，5，12 B. 4，4，4，8 C. 4，4，5，7 D. 4，5，5，10 5. 如图，在中，，，．点O为上一点，将绕点O旋转，得到．若四边形是矩形，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 6. 如图，在正方形中，E、F、G、H分别为，，，边上的动点，且．设，，，，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 某数学兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，设计了下列三种不同的抽样调查：①在公园调查1000名老年人的健康状况；②调查10名老年邻居的健康状况；③利用派出所的户籍网随机调查该地区10%的老年人的健康状况．其中抽样合理的序号是______________． 8. 要记录近天南京的气温变化趋势，最合适的统计图是______． 9. 商店某天卖出橙汁20瓶、可乐20瓶和矿泉水10瓶．若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“矿泉水”部分的扇形的圆心角度数为______________°． 10. 已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为8、7、7，6．第五组的频率为，则第六组的频率是__________． 11. 如图，小康将两根木条，的中点O重叠，并用钉子固定，使，可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是______． 12. 按图①的方式将一张三角形包装纸折叠，形成如图②的矩形信封．下列关于该操作可以验证的结论：①三角形中位线定理；②三角形内角和定理；③勾股定理．其中所有正确结论的序号是______________． 13. 如图，若一个图案是由6个全等的等腰梯形拼成的，则图中的______________°． 14. 如图，将两个正方形按下列方式摆放，B，C，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则______________． 15. 如图，在菱形中，，．点E从A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动．在此过程中，若，则t的值为______________． 16. 如图，在正方形中，E，F分别是，边上的点，．设，，则的面积为______________．(结果用含a，b的代数式表示) 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 18. 证明两个连续奇数的平方差能被整除． 19. 如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证． 20. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，，．求菱形的高的长． 21. 在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学实践小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下来是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 600 1000 2000 摸到红球的次数 83 123 483 803 1602 摸到红球的频率 （1）上表中的_______，_______； （2）“摸到红球”的概率的估计值是_________（精确到）； （3）如果袋中有40个红球，那么袋中除了红球外，大约还有_______个其他颜色的小球． 22. 来自某商场财务部的报告表明，商场去年1~5月份的销售总额一共是370万元，图1、图2反映的是商场去年1~5月份的月销售总额和服装部各月销售额占比情况． （1）去年1~5月份，服装部各月销售额在商场当月销售总额中的占比最高的是______月份； （2）求商场4月份的销售总额，并求服装部该月的销售额； （3）某员工认为服装部5月份的销售额比4月份减少了，你认为正确吗？请说明理由． 23. 如图，有一张矩形纸片，，．过点B折叠该纸片，折痕为，使点A落在上的H处，求的长． 24. 如图，已知矩形，、交于点O．小淇，小尧两位同学利用所学数学知识，做出了菱形并给出了证明的思路． 小淇：如图①，分别过点A、C作，，过点B、D作，． …… ∴四边形是菱形． 小尧：如图②，分别过点A、C作，，过点B、D作，． …… ∴四边形是菱形． （1）请选择一位同学的方法，完成证明． （2）设四边形，四边形的面积分别为a，b．若，则______________． 25. 如图，已知A、E、F、G为平面上四个点．求作：菱形，使得E、F、G分别在，，上．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 26. 如图①，在正方形中，O是的中点，点E是射线上的一点，连接，作交于点F． （1）求证：． （2）如图②，作正方形，连接，．设的面积为S，周长为C，，则下列结论中正确的是______________． A．S随x的增大不发生变化，C随x的增大不发生变化 B．S随x的增大不发生变化，C随x的增大先减小后增大 C．S随x的增大先增大后减小，C随x的增大不发生变化 D．S随x的增大先增大后减小，C随x的增大先减小后增大 （3）连接，若，正方形的边长为6，则______________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学期中调研测试试卷 时间：100分钟 总分：100分 注意： 1．选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上． 2．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 调查某校足球队员的身高 B. 调查旅客随身携带的违禁物品 C. 调查某班学生完成眼保健操执行的情况 D. 调查全国中小学生对我国《梦舟》载人飞船的关注度 【答案】D 【解析】 【分析】根据调查范围大小、结果准确性要求选择调查方式， 一般来说，范围小、易调查、结果要求准确；事关安全的调查适合普查，调查范围广、工作量大的调查适合抽样调查，逐个分析选项． 【详解】解：∵ 选项A中某校足球队员人数少，适合全面调查， ∴A不符合题意； ∵ 选项B中检查旅客违禁物品事关公共安全，必须逐一检查，适合普查， ∴B不符合题意； ∵ 选项C中某班学生人数少，适合全面调查， ∴C不符合题意； ∵ 选项D中调查对象是全国中小学生，范围广、人数多，工作量大，适合抽样调查， ∴D符合题意． 2. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 C. 任意买一张电影票，座位号是偶数 D. 13个人中至少有2人的出生月份相同 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A中，抛掷一枚硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； 选项B中，掷一枚骰子，向上一面的最大点数为6，点数为7是不可能事件，不符合题意； 选项C中，任意买一张电影票，座位号可能是偶数也可能是奇数，属于随机事件，不符合题意； 一年共有12个月份，13个人中即使前12个人出生月份各不相同，第13个人的出生月份必然和其中1人重复， 因此至少有2人的出生月份相同，是必然事件，符合题意． 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，解题关键是掌握因式分解的概念，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解，据此逐一判断选项即可. 【详解】解：∵因式分解要求左边是多项式，右边变形后是几个整式的乘积的形式， ∴A选项左边是单项式，不是多项式，不符合要求； B选项左边是多项式，右边 是两个整式的乘积，符合因式分解的定义； C选项从左到右是整式乘法，将乘积化为多项式，不是因式分解； D选项右边 是和的形式，不是乘积形式，不符合要求 4. 下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（ ） A. 3，4，5，12 B. 4，4，4，8 C. 4，4，5，7 D. 4，5，5，10 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角梯形的性质，平移斜腰可将直角梯形分为一个矩形和一个直角三角形，利用勾股定理验证三边关系即可判断． 【详解】解：∵直角梯形平移斜腰后，可得到一个直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为梯形的高和两底的差，斜边为梯形的斜腰，满足勾股定理， 对选项C，取梯形两底为和，则两底差为，垂直于两底的腰长为，斜腰长为， ∵，符合勾股定理， ∴能构成直角三角形，即原四条线段能组成直角梯形， 其余选项均不满足该关系． 5. 如图，在中，，，．点O为上一点，将绕点O旋转，得到．若四边形是矩形，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质得出，，设，则，利用勾股定理求解即可 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 6. 如图，在正方形中，E、F、G、H分别为，，，边上的动点，且．设，，，，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交于，过点作交于，根据正方形的性质及平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形， ，同理可得四边形是平行四边形， ，再由全等三角形的判定和性质得出 ，，结合图形求解即可． 【详解】解：过点作交于，过点作交于，交于点O， 四边形是正方形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 同理可得四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， 又 ， ， 在和中 ， ， 由图可知 ， ， ， ， ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 某数学兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，设计了下列三种不同的抽样调查：①在公园调查1000名老年人的健康状况；②调查10名老年邻居的健康状况；③利用派出所的户籍网随机调查该地区10%的老年人的健康状况．其中抽样合理的序号是______________． 【答案】 ③ 【解析】 【分析】本题考查抽样调查的可靠性，判断抽样是否合理，需看样本是否具有广泛性和代表性，能否反映总体的情况 【详解】解：①在公园调查1000名老年人，该样本的调查对象多为坚持锻炼的老年人，无法代表该地区全体老年人，样本不具有代表性，抽样不合理； ②仅调查10名老年邻居，样本容量过小，不具有广泛性，无法准确反映总体情况，抽样不合理； ③利用派出所的户籍网随机调查该地区的老年人，抽样随机，样本覆盖该地区不同情况的老年人，具有广泛性和代表性，抽样合理 8. 要记录近天南京的气温变化趋势，最合适的统计图是______． 【答案】折线统计图 【解析】 【分析】此题考查了折线统计图，根据折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况，据此即可求解，掌握折线统计图的特点是解题的关键． 【详解】解：根据统计图的特点可知，要记录近天南京的气温变化趋势，最合适的统计图是折线统计图， 故答案为：折线统计图． 9. 商店某天卖出橙汁20瓶、可乐20瓶和矿泉水10瓶．若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“矿泉水”部分的扇形的圆心角度数为______________°． 【答案】 72 【解析】 【分析】先计算总销量，再求出矿泉水销量占总销量的比例，再用该比例乘以即可得到对应扇形的圆心角度数 【详解】解：总销量为 ， 矿泉水销量占总销量的比例为 ， 则表示矿泉水部分的扇形圆心角度数为 10. 已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为8、7、7，6．第五组的频率为，则第六组的频率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据频率=频数总数，结合题意，先计算第五组的频数，再解答第六组的频数，最后由频率公式解题即可． 【详解】解: 第五组的频率为， 第五组的频数为， 第六组的频数为， 第六组的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查频数与频率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11. 如图，小康将两根木条，的中点O重叠，并用钉子固定，使，可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是______． 【答案】平行四边形 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得解． 【详解】解：根据题意得出，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形． 12. 按图①的方式将一张三角形包装纸折叠，形成如图②的矩形信封．下列关于该操作可以验证的结论：①三角形中位线定理；②三角形内角和定理；③勾股定理．其中所有正确结论的序号是______________． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，从而得到对应边相等、对应角相等. 结合线段中点的定义判断中位线定理，结合平角的定义判断内角和定理． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ， ， ， ，分别为，的中点 ， 为的中位线 ，  结论①正确；   点，，在同一直线上，    ，  ，  结论②正确； 该操作过程主要涉及线段的等分关系和角度的和差关系，无法验证勾股定理 ，  结论③错误； 综上所述，所有正确结论的序号是①② ． 13. 如图，若一个图案是由6个全等的等腰梯形拼成的，则图中的______________°． 【答案】 120 【解析】 【分析】观察图形可知，图案的外轮廓是正六边形，根据正多边形内角和公式求出正六边形的内角度数，再根据图形拼接特点，可知正六边形的一个内角由两个全等的等腰梯形的底角组成，从而求出梯形的锐角底角度数，利用等腰梯形同一腰上的两个角互补求出钝角底角度数，结合图形判断的度数 【详解】解：正六边形的内角和为   每个内角为   因为图案由  个全等的等腰梯形拼成 所以正六边形的每个内角由两个等腰梯形的底角拼接而成 所以等腰梯形的锐角底角为  因为等腰梯形同一腰上的两个角互补 所以等腰梯形的钝角底角为  观察图形可知， 是等腰梯形的钝角 所以． 14. 如图，将两个正方形按下列方式摆放，B，C，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则______________． 【答案】10 【解析】 【分析】设大正方形边长为，小正方形边长为，根据阴影部分面积和的面积列出关于的等式，利用完全平方公式求出的值，即为的长． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴，， ， 点在边上， ， 阴影部分的面积之和是， ，即 ， 整理得 ①， 的面积为， 即， ②， 将②代入①得 ， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，在菱形中，，．点E从A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动．在此过程中，若，则t的值为______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出的度数和的长，用含的代数式表示，，的长，根据 判定为等腰三角形，利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质建立关于的方程求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 是菱形的对角线， ， 如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ，， 在中，，， ， ∴， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 过点作于点， ，， ， 在中，， ∴ ， ， ， ， 解得， 当时，，，符合题意． 16. 如图，在正方形中，E，F分别是，边上的点，．设，，则的面积为______________．(结果用含a，b的代数式表示) 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质证明，从而得出，设，，利用勾股定理和完全平方公式建立关于的方程组，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 设，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）直接利用平方差公式分解因式，再化简括号内的整式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 证明两个连续奇数的平方差能被整除． 【答案】见解析 【解析】 【分析】设这两个连续奇数为，，然后运用公式法求解即可． 【详解】解：设两个连续奇数为，， 则， 故能被整除． 【点睛】本题考查平方差公式，平方差公式为，熟练掌握平方差公式是解题关键． 19. 如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得，则，结合，得，再证明，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，，．求菱形的高的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，再根据菱形的面积的两种表示方法得，即可求的长． 【详解】解：∵在菱形中，对角线、交于点O，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 21. 在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学实践小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下来是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 600 1000 2000 摸到红球的次数 83 123 483 803 1602 摸到红球的频率 （1）上表中的_______，_______； （2）“摸到红球”的概率的估计值是_________（精确到）； （3）如果袋中有40个红球，那么袋中除了红球外，大约还有_______个其他颜色的小球． 【答案】（1） （2） （3）10 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率． （1）根据表中的数据，计算得出摸到红球的频率； （2）由表中数据即可得； （3）根据摸到红球的频率即可求出摸到红球概率．根据口袋中红球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去红颜色的球数量即可解答． 【小问1详解】 解：，； 故答案为： 【小问2详解】 解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率估计值是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：（个）； 答：除红球外，还有大约10个其它颜色的小球． 22. 来自某商场财务部的报告表明，商场去年1~5月份的销售总额一共是370万元，图1、图2反映的是商场去年1~5月份的月销售总额和服装部各月销售额占比情况． （1）去年1~5月份，服装部各月销售额在商场当月销售总额中的占比最高的是______月份； （2）求商场4月份的销售总额，并求服装部该月的销售额； （3）某员工认为服装部5月份的销售额比4月份减少了，你认为正确吗？请说明理由． 【答案】（1）1 （2）10.4万元 （3）不正确，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）根据统计图写出即可； （2）用1-5月份的销售总额减去其它四个月的销售额求出四月份的销售总额，用四月份的销售总额乘以四月销售额在商场当月销售总额中的占比即可得解； （3）分别求出四月份和五月份的服装部销售额，然后比较即可得解． 【小问1详解】 解：根据统计图可知，服装部各月销售额在商场当月销售总额中的占比最高的是1月份，为， 故答案为：1； 【小问2详解】 商场4月份的销售总额是（万元）， 服装部该月的销售额为（万元）； 【小问3详解】 不正确； 理由：服装部4月份的销售额为10.4万元，5月份的销售额为（万元）． ∵万元万元， ∴该说法不正确． 23. 如图，有一张矩形纸片，，．过点B折叠该纸片，折痕为，使点A落在上的H处，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再由折叠的性质得，，，，即可求，设，则，然后由勾股定理得，即可得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∴， 由折叠得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 24. 如图，已知矩形，、交于点O．小淇，小尧两位同学利用所学数学知识，做出了菱形并给出了证明的思路． 小淇：如图①，分别过点A、C作，，过点B、D作，． …… ∴四边形是菱形． 小尧：如图②，分别过点A、C作，，过点B、D作，． …… ∴四边形是菱形． （1）请选择一位同学的方法，完成证明． （2）设四边形，四边形的面积分别为a，b．若，则______________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）小淇：根据平行四边形的性质得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再由菱形的判定得出四边形是菱形，同理：四边形、均为菱形，结合菱形的性质和判定即可证明； 小尧：根据题意得出四边形是平行四边形，再由等面积法得出，即可证明； （2）根据题意得出，连接分别交于点S、O，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，计算得出菱形的面积为：，矩形的面积为：，得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：小淇：分别过点A、C作，，过点B、D作，． ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形是菱形， 同理：四边形均为菱形， ∴， ∴即， ∴四边形是菱形． 小尧：如图②，分别过点A、C作，，过点B、D作，． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∵四边形的面积， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 由（1）得四边形、均为菱形， ∴四边形的面积矩形的面积，即； 连接分别交于点S、O，如图所示： ∵， ∴为等边三角形，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：， 矩形的面积为：， ∴， ∴． 25. 如图，已知A、E、F、G为平面上四个点．求作：菱形，使得E、F、G分别在，，上．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】见详解 【解析】 【分析】作直线、，再作的角平分线，再过F点作的平行线，交于点D，交于点C，再在上取一点B，使得，连接，问题得解． 【详解】解：作图如下： 菱形即为所作． 作图方法：作直线、，以点A为圆心，以一定的长度为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，以点A为圆心，以的长度为半径画弧，交于点H，再分别以F、H为圆心，以的长度为半径画弧，两弧交于点T，作直线，分别交、于点D、C，再在上取一点B，使得，连接，作出菱形． 证明：如图，连接， 根据作图可知：平分，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】主要考查了角平分线的尺规作图，过一点作一条直线的平行线、菱形的判定与性质等知识．灵活运用菱形的性质来进行逆向构造是解题关键． 26. 如图①，在正方形中，O是的中点，点E是射线上的一点，连接，作交于点F． （1）求证：． （2）如图②，作正方形，连接，．设的面积为S，周长为C，，则下列结论中正确的是______________． A．S随x的增大不发生变化，C随x的增大不发生变化 B．S随x的增大不发生变化，C随x的增大先减小后增大 C．S随x的增大先增大后减小，C随x的增大不发生变化 D．S随x的增大先增大后减小，C随x的增大先减小后增大 （3）连接，若，正方形的边长为6，则______________． 【答案】（1）见解析 （2）B （3）或 【解析】 【分析】（1）过点O作，利用正方形的判定和性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据题意得：当点E与点B重合时，点M位于点的位置，当点E与点C重合时，此时点M位于点的位置，确定点M在射线上移动，再由正方形的性质得出，结合三角形的面积计算公式即可判断面积的变化情况；作点D关于射线的对称点N，连接交于点，得出，即可判断周长的变化情况； （3）分两种情况分析：当点E位于点C左侧时，当点E位于点C右侧时，根据正方形的性质，勾股定理解三角形求解即可． 【小问1详解】 证明：过点O作，如图所示： ∵正方形， ∴平分， ∴四边形 为矩形，， ∴四边形 为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图所示：当点E与点B重合时，点M位于点的位置，当点E与点C重合时，此时点M位于点的位置， ∴点M在射线上移动， ∵正方形， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵，h为平行线间的距离，不发生变化， ∴S随x的增大不发生变化； 作点D关于射线的对称点N，连接交于点， ∴， ∴的周长为C，即，此时取得最小值， ∴C随x的增大先减小后增大； 【小问3详解】 当点E位于点C左侧时，如图所示： ∵，正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴； 当点E位于点C右侧时，如图所示： ∵，正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $