精品解析： 江苏省南京市建邺区黄山路中学2024-2025学年下学期八年级下学期期中数学试卷

#2024－2025学年江苏省南京市建邺区黄山路中学八年级下学期期中数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题2分，共20分） 1. 代数式、、 、中，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（ ），使得▱ABCD菱形． A. AB＝AC B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AC＝BD 4. 下列说法正确的是（ ） A. 根据分式的基本性质，可化为 B. 分式是最简分式 C. 若分式有意义，则 D. 若，则 5. 火车提速后，从盐城到南京的火车运行速度提高了，运行时间缩短了，已知盐城到南京的铁路全长约．设火车原来的速度为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小琦在复习几种特殊四边形关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7. 如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（　　） A. B. C. 4 D. 2 8. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的方程恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（　　） A. ﹣1＜b≤3 B. 2＜b≤3 C. 8≤b＜9 D. 3≤b＜4 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 的最简公分母是_____________． 12. 使分式有意义x的取值范围是_________． 13. 如图，在平行四边形中，，于点E，M是的中点，，则____________． 14. 如图，在菱形中，，， 则的长为______． 15. 横溪西瓜喜获丰收，畅销多地，甲、乙两个农场，甲比乙每天多采摘2吨，甲农场采摘30吨比乙农场采摘20吨所用的时间少，若设甲每天采摘x吨，则根据题意，可列出方程：____________________． 16. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 17. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为______． 18. 如图，在矩形中，，，点E是边上一动点（不与A，D重合），与关于成轴对称，过点F作于点G，当点F落在矩形的内角平分线上时，的长为______． 三．解答题（共6小题，8＋8＋10＋10＋10＋10，共56分） 19. 先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适数代入求值． 20. 已知实数a满足，求的值． 21. 在矩形中，，，E、F分别上两点，并且垂直平分，垂足为O． （1）连接．说明四边形为菱形； （2）求的长． 22. 在高铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，天可以完成，共需工程费用元，已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的倍，且甲队每天的工程费用比乙队多元． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）若工程管理部门决定从这两个队中选-一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由． 23. 如图，P为菱形的对角线上的一个定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点E，G，，若的长的最小值为，求的长． 24. 如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线,交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题： （1）线段 _______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ #2024－2025学年江苏省南京市建邺区黄山路中学八年级下学期期中数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题2分，共20分） 1. 代数式、、 、中，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式的定义是解答本题的关键，“一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式”，根据分式的定义即可判断答案． 【详解】解：代数式、、 、中，分式有，，共2个， 故选：B． 2. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质并能正确应用． 根据分式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，看其是否符合性质要求． 【详解】解：A，，选项化简错误，不符合题意； B，，选项化简错误，不符合题意； C，，选项化简错误，不符合题意； D，，选项化简正确，符合题意． 故选：D． 3. 如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（ ），使得▱ABCD是菱形． A. AB＝AC B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AC＝BD 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的判定可直接求解． 【详解】解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下： ∵四边形ABCD平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定、，解决本题的关键是掌握菱形的判定． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 根据分式的基本性质，可化为 B. 分式是最简分式 C. 若分式有意义，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：A. 根据分式的基本性质，当时，可化为，故原说法错误； B. 分式是最简分式，说法正确； C. 若分式有意义，则，故原说法错误； D、若，则，故原说法错误； 故选B． 5. 火车提速后，从盐城到南京的火车运行速度提高了，运行时间缩短了，已知盐城到南京的铁路全长约．设火车原来的速度为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设火车原来的速度为，则提高后的速度为，再根据时间等于路程除以速度分别表示出提速前后需要的时间，最后根据提速后运行时间缩短了列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 7. 如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（　　） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 8. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 同理可证，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键． 9. 已知关于x的方程恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-3x+（4-a）=0①．由于原方程只有一个实数根，因此，方程①的根有两种情况：（1）方程①有两个相等的实数根，此二等根使x（x-2）≠0；（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使x（x-2）=0，另外一根使x（x-2）≠0．针对每一种情况，分别求出a的值及对应的原方程的根． 【详解】去分母，将原方程两边同乘x（x﹣2），整理得2x2﹣3x+（4﹣a）=0．① 方程①的根的情况有两种： （1）方程①有两个相等的实数根，即△=9﹣4×2（4﹣a）=0． 解得a=． 当a=时，解方程2x2﹣3x+（﹣+4）=0，得x1=x2=． （2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2． （i）当x=0时，代入①式得4﹣a=0，即a=4． 当a=4时，解方程2x2﹣3x=0，x（2x﹣3）=0，x1=0或x2=1.5． 而x1=0是增根，即这时方程①的另一个根是x=1.5．它不使分母为零，确是原方程的唯一根． （ii）当x=2时，代入①式，得2×4﹣2×3+（4﹣a）=0，即a=6． 当a=6时，解方程2x2﹣3x﹣2=0，x1=2，x2=﹣ ． x1是增根，故x=﹣为方程的唯一实根； 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是，4，6共3个． 故选C． 【点睛】考查了分式方程的解法及增根问题．由于原分式方程去分母后，得到一个含有字母的一元二次方程，所以要分情况进行讨论．理解分式方程产生增根的原因及一元二次方程解的情况从而正确进行分类是解题的关键． 10. 已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（　　） A. ﹣1＜b≤3 B. 2＜b≤3 C. 8≤b＜9 D. 3≤b＜4 【答案】D 【解析】 【详解】去分母得：3﹣a﹣a2+4a=﹣1，即（a﹣4）（a+1）=0， 解得：a=4或a=﹣1， 经检验a=4是增根，分式方程的解为a=﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤b， ∵不等式组只有4个整数解， ∴3≤b＜4． 故选：D． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 的最简公分母是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简公分母，确定最简公分母方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：∵分式的分母分别是，，， ∴最简公分母是． 故答案为：． 12. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 13. 如图，在平行四边形中，，于点E，M是中点，，则____________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】先延长与的延长线交于点F，连接，然后根据题目中的条件，可以求得，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质可以求得的度数． 【详解】解：延长与的延长线交于点F，连接，如图所示， ， ， 是的中点， ， ∵四边形是平行四边形，， ， ， 在和中 ， ， ， ∴点M为的中点， ， ∴， ， ， 又∵M为中点，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 14. 如图，在菱形中，，， 则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，连接，交于O，根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论 【详解】解：连接，交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 15. 横溪西瓜喜获丰收，畅销多地，甲、乙两个农场，甲比乙每天多采摘2吨，甲农场采摘30吨比乙农场采摘20吨所用的时间少，若设甲每天采摘x吨，则根据题意，可列出方程：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 根据“甲农场采摘30吨比乙农场采摘20吨所用的时间少”建立方程，即可得出结论． 【详解】解：设甲每天采摘吨，则乙每天采摘吨， 根据题意得，． 故答案为：． 16. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．根据把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，，易证得是等边三角形，继而可得中，，则可求得的长，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案． 【详解】解：在矩形中， ∵， ∴， ∵把矩形沿翻折，点恰好落在边的处， ∴，，， ，， 在中， ∵ ∴是等边三角形， 在中， ∵， ∴，而， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 故答案为：． 17. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了由分式方程的解求参数的取值范围，解分式方程得，由分式方程的最简公分母不为零得，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ， 解得：， 解为负数， ， 解得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围为且， 故答案为：且． 18. 如图，在矩形中，，，点E是边上一动点（不与A，D重合），与关于成轴对称，过点F作于点G，当点F落在矩形的内角平分线上时，的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理；根据点在不同的矩形内角的平分线上分情况讨论计算即可；准确的画出图形并利用勾股定理列方程求解是关键． 【详解】解：如图，由题意得：点在以点为圆心，长为半径的圆弧上； （1）当点在的平分线上时； （2）当点在的平分线上时； 为等腰直角三角形 ； （3）当点在的平分线上时；延长交于点； 由矩形的性质可知： 为等腰直角三角形 设，则， 由勾股定理得： 解得， 故答案为：或或 三．解答题（共6小题，8＋8＋10＋10＋10＋10，共56分） 19. 先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 【答案】x+1，3 【解析】 【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的x的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论． 【详解】解：原式= =x+1． ∵在﹣1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2， ∴当x=2时，原式=2+1=3． 20. 已知实数a满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及配方法的应用，熟练掌握分式的混合运算法则以及配方法是解本题的关键． 根据分式的运算法则把分式化简为，再把化为，再代入求值即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式． 21. 在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． （1）连接．说明四边形为菱形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出．根据线段垂直平分线的性质，得出，，即易证，得出，从而即可证明； （2）根据菱形的性质可设，则，结合勾股定理即可求出x的值，即得解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵垂直平分，垂足为O． ∴，． 在和中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设，则． 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 22. 在高铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，天可以完成，共需工程费用元，已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的倍，且甲队每天的工程费用比乙队多元． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）若工程管理部门决定从这两个队中选-一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由． 【答案】（1）甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程需天 （2）甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用； （1）设甲工程队单独完成这项工程需要天，则乙工程队单独完成这项工程需要天，根据甲工程队完成的工作量乙工程队完成的工作量整项工程，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设甲工程队每天的费用是元，则乙工程队每天的费用是元，根据甲、乙两工程队合作天共需费用元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出两队每天所需费用，再求出两队单独完成这些工程所需总费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 设甲工程队单独完成这项工程需要天，则乙工程队单独完成这项工程需要天， 依题意，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程需天； 【小问2详解】 设甲工程队每天的费用是元，则乙工程队每天的费用是元， 依题意，得：， 解得：， ． 甲工程队单独完成共需要费用：元， 乙工程队单独完成共需要费用：元． ， 甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成． 23. 如图，P为菱形对角线上的一个定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点E，G，，若的长的最小值为，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角的性质，连接，过P作于H，由线段垂直平分线的性质推出，得到，由三角形的外角性质得到，由菱形的性质推出，得到，于是，当时，，由角平分线的性质得到，因此 【详解】解：连接，过P作于H， 垂直平分， ， ， ， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， 的长的最小值为， 时，， 平分，， 此时， 24. 如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线,交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题： （1）线段 _______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点四边形是平行四边形？ 【答案】（1）t， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，得到线段 ；点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，得到； 解答即可． （2）过点A作于点E，先计算，再利用三角形面积不变，面积公式计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合题意， ，列式计算即可． 【小问1详解】 ∵点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段 ； ∵点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 故答案为：t，． 【小问2详解】 过点A作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵是边上的高， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 故当或时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，解有一元一次方程，分类思想，熟练掌握平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $