精品解析：天津市滨海新区田家炳中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

滨海新区田家炳中学2025-2026-2高二年级期中考试数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 65 B. 160 C. 165 D. 210 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数及组合数公式计算可得. 【详解】. 故选：C 2. 从3名男生和4名女生中任选3人组成志愿小组，要求选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A. 30种 B. 31种 C. 34种 D. 84种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理计算即可. 【详解】根据题意可分为“1男2女”和“2男1女”两类： 1男2女：种；2男1女：种， 所以共有种. 3. 3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是（ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】可以用捆绑法解题． 【详解】根据捆绑法，“先捆再松”.可以将女生看作一个整体与男生全排，有种， 女生自身“内排”有种，则女生相邻的排法个数是：. 故选：B. 4. 函数，则（　　） A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数的极大值点 D. 为函数的极小值点 【答案】A 【解析】 【详解】，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点． 5. 已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由导函数的图像可知，当时，，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以B正确，A，C，D错误. 6. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】已知，求导得， 则， ． 7. 函数在上的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导法则求导后判断函数在给定区间单调性即可求得最大值, 【详解】，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得极大值，即函数在上的最大值为3. 8. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值点为0 C. 的极大值为1 D. 有3个零点 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值，再结合函数的零点，依次判断选项即可. 【详解】，， 当，，为减函数， 当，，为增函数， 当，，为减函数. 对选项A，，为减函数，，为增函数，故A错误. 对选项B、C，当时，函数取得极小值为， 当时，函数取得极大值为，故B错误，C正确. 对选项D，令，解得，， 所以函数有两个零点，故D错误. 故选：C 9. 投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X，则方差（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率乘法公式可得分布列，即可求解期望，进而可得方差. 【详解】的分布列为： 0 1 2 故, , 故选：A 二、填空题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 10. 在的展开式中，常数项为______.（请用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通式，令的次数为零即可得到答案. 【详解】由题意可得二项式的展开式的通项为，，，，，， 令，解得， 所以展开式的常数项为， 故答案为：60 11. 二项式展开式的各二项式系数之和为，该展开式中项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先依据二项式系数之和为求出，再写出二项展开式的通项，令的指数等于求出对应参数，代入计算即可得项的系数。 【详解】由二项式系数的性质可知，展开式的各二项式系数之和为， 由题意得，解得， 则的展开式通项为：， 令，解得， 将代入通项的系数部分，可得项的系数为. 12. 已知某随机变量X的分布列如下（）： X 1 2 3 P a 则随机变量X的数学期望________，方差________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可得： ， ； ． 13. 某篮球运动员投篮投中的概率为，设X为投篮3次命中次数，则该运动员“投篮3次恰好投中2次”的概率________（结果用分数表示）；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先判断随机变量服从参数为、的二项分布，再分别代入二项分布的概率计算公式与期望公式求解即可. 【详解】由题意可知，每次投篮结果相互独立，且单次投中概率恒为， 故3次投篮的命中次数服从二项分布，即， 计算：根据次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式： ， 代入得：， 再计算：对于二项分布，期望公式为， 代入参数得：. 14. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即可求得答案. 【详解】解：因为，所以， 因为随机变量服从正态分布， 所以， 所以. 故答案为：0.6. 15. 袋子中有9个大小相同的球，其中7个白球，2个黑球，摸出的球不放回.在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率是________；两次摸到的都是白球的概率是__________. 【答案】 ①. ##0.75 ②. 【解析】 【分析】设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，先求和，然后根据条件概率公式来求；先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率. 【详解】设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，由题意即求， 因为 ， ， 所以， 即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率 . 因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为. 故答案为：；. 16. 天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接由全概率公式即可求解. 【详解】设事件表示“选中的学生选了物理”，事件分别表示“选到甲、乙、丙学校的学生”， ，，，，，， 由全概率公式可知， ， 所求概率为或. 17. 函数在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用导数的几何意义求解即可 【详解】易知，又，所以切线的斜率， 所以函数在点处的切线方程为， 化简得. 故答案为： 18. 已知函数若 使得 则实数a的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数，分别求出函数的最小值，结合不等式恒成立列不等式求解，即得答案. 【详解】由，可得， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故； 由，，可得， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于若 使得故， 即，即实数a的取值范围是， 故答案为： 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 设． （1）求的单调区间； （2）求的极值； （3）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）的极大值为，极小值为. （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析单调性，进而求得单调区间； （2）结合单调性和极值定义求解即可； （3）计算区间端点和区间内所有极值点处的函数值，比较求解最值. 【小问1详解】 ，令，解得，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减。 所以单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 根据（1）可得是极大值点，代入得： 是极小值点，代入得： 所以的极大值为，极小值为. 【小问3详解】 由（2）知函数极值为：，； 因为， ， 故， 所以区间上的最大值为，最小值为. 20. 某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数． （Ⅰ）请列出的分布列并求数学期望； （Ⅱ）根据所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 【答案】（I）详见解析；（II）. 【解析】 【详解】试题分析： (1)随机变量服从超几何分布，利用公式求得分布列和数学期望即可； (2) 由分布列可知至少选3名男生，即． 试题解析：（Ⅰ）依题意得，随机变量服从超几何分布， 随机变量表示其中男生的人数，可能取得值为0,1,2,3,4，， ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 （Ⅱ）由分布列可知至少选3名男生， 即． 点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 21. 甲、乙两人各进行3次投篮，甲每次投中目标的概率为，乙每次投中目标的概率为，假设两人投篮是否投中相互之间没有影响，每次投篮是否投中相互之间也没有影响． （1）求甲至少有一次未投中目标的概率； （2）记甲投中目标的次数为，求的概率分布及数学期望； （3）求甲恰好比乙多投中目标2次的概率. 【答案】（1）（2）见解析（3） 【解析】 【分析】(1)利用对立事件公式可得满足题意的概率值； (2)首先由超几何分布概率公式可得满足题意的概率值，然后求解其分布列和数学期望即可； (3)由题意利用独立事件概率公式可得甲恰好比乙多投中目标2次的概率. 【详解】（1）记“甲连续投篮3次，至少1次未投中目标”为事件， 由题意知两人投篮是否投中目标，相互之间没有影响，投篮3次，相当于3次独立重复试验， 故，故甲至少有1次未投中目标的概率为； （2）由题意知的可能取值是0，1，2，3， ， ， ， ， 的概率分别如下表： 0 1 2 3 ； （3）设甲恰比乙多投中目标2次为事件，甲恰投中目标2次且乙恰投中目标0次为事件，甲恰投中目标3次且乙恰投中目标1次为事件，则为互斥事件. ∴甲恰好比乙多投中目标2次的概率为． 【点睛】本题主要考查独立事件概率公式，对立事件公式，离散型随机变量及其分布列、数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22. 给定函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出的大致图象； （3）求出方程的解的个数． 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2） （3）当时，解的个数为；当或时，解的个数为；当时，解的个数为. 【解析】 【分析】（1）求导分析函数单调性，进而求解极值； （2）结合单调性和极值画出简图； （3）结合函数图象分类讨论解的个数. 【小问1详解】 对求导可得：， 因为恒成立，因此： 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 因此在处取得极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时， ，， 当时，，，所以， 【小问3详解】 方程的解的个数等价于与的交点个数，结合图象可得： 当时，解的个数为； 当或时，解的个数为； 当时，解的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海新区田家炳中学2025-2026-2高二年级期中考试数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 65 B. 160 C. 165 D. 210 2. 从3名男生和4名女生中任选3人组成志愿小组，要求选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A. 30种 B. 31种 C. 34种 D. 84种 3. 3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是（ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 4. 函数，则（　　） A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数的极大值点 D. 为函数的极小值点 5. 已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 函数在上的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值点为0 C. 的极大值为1 D. 有3个零点 9. 投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X，则方差（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 10. 在的展开式中，常数项为______.（请用数字作答） 11. 二项式展开式的各二项式系数之和为，该展开式中项的系数为________． 12. 已知某随机变量X的分布列如下（）： X 1 2 3 P a 则随机变量X的数学期望________，方差________． 13. 某篮球运动员投篮投中的概率为，设X为投篮3次命中次数，则该运动员“投篮3次恰好投中2次”的概率________（结果用分数表示）；________． 14. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 15. 袋子中有9个大小相同的球，其中7个白球，2个黑球，摸出的球不放回.在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率是________；两次摸到的都是白球的概率是__________. 16. 天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为________． 17. 函数在点处的切线方程为___________. 18. 已知函数若 使得 则实数a的取值范围是_______________. 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 设． （1）求的单调区间； （2）求的极值； （3）求在区间上的最大值与最小值． 20. 某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数． （Ⅰ）请列出的分布列并求数学期望； （Ⅱ）根据所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 21. 甲、乙两人各进行3次投篮，甲每次投中目标的概率为，乙每次投中目标的概率为，假设两人投篮是否投中相互之间没有影响，每次投篮是否投中相互之间也没有影响． （1）求甲至少有一次未投中目标的概率； （2）记甲投中目标的次数为，求的概率分布及数学期望； （3）求甲恰好比乙多投中目标2次的概率. 22. 给定函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出的大致图象； （3）求出方程的解的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $