精品解析：河南驻马店市平舆县2025—2026学年度下学期期中学情测评九年级数学试题

2025—2026学年度下学期期中学情测评 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各实数中，为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数包含整数与分数的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A：，是整数，属于有理数，不符合题意； 选项B：是有限小数，属于有理数，不符合题意； 选项C：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 选项D：是分数，属于有理数，不符合题意； 2. 下列几何体中，从左面看是长方形的是（ ） A. 三棱锥 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 【答案】B 【解析】 【分析】只需分别判断各选项几何体从左面看得到的图形，选出符合要求的选项即可． 【详解】解：∵ A选项三棱锥从左面看得到的图形是三角形，不符合要求； ∵ B选项圆柱从左面看得到的图形是长方形，符合要求； ∵ C选项圆锥从左面看得到的图形是三角形，不符合要求； ∵ D选项球从左面看得到的图形是圆，不符合要求． 3. 2025年11月14日，由商务部和上海市人民政府主办、主题为“开放共创新机遇合作共享新未来”的第八届中国国际进口博览会（简称“进博会”）圆满闭幕．本届进博会成效显著、成果丰硕，实现了预期目标，充分彰显中国发展与开放的确定性，为世界经济注入稳定性与正能量．第八届进博会按年计意向成交金额亿美元，成交规模、进场人次等多项数据创历史新高！其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：亿． 4. 如图是集热板的示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某市正午太阳光线与水平面的夹角为 ．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图， 由题意得， ∵， ∴． 5. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于一元二次方程 ，当时，方程没有实数根，据此逐项判断即可． 【详解】解：A． 方程中，，则，即方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； B． 方程中， ，则，即方程无实数根，故符合题意； C． 方程中，，则，即方程有两个相等的实数根，不符合题意； D． 方程中，，则，即方程没有实数根，符合题意． 6. 若，则的值为（ ） A. 8 B. C. 6 D. -6 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，即，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 如图，在菱形中，E是对角线上一点，，连接，若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果． 【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差， 可得数据个数 ，这组数据的平均数， ∴这组数据的总和为． 9. 如图，在中，边上的中线，点在上，且，若 ，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作 于，由已知可得 ，进而可得，得到，即得，，得到，即得到，又利用外角性质可得 ，得到 ，由“三线合一”得，最后根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作 于， ∵边上的中线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在中，，，．正方形 的顶点D，F分别在，边上，设，与正方形 重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求得，然后分和两种情况解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 当时，； 当时，设 交于M，交于N， 如图： ∵ ， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴ 为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∴当时，y为开口向下的抛物线， 观察各选项，只有A符合题意． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若代数式有意义，写出一个满足条件的整数_________． 【答案】3（答案不唯一，大于2的整数都可以） 【解析】 【分析】由题意可知，既是分式的分母，又是二次根式的被开方数，根据分式和二次根式有意义的条件列不等式求出的取值范围，再在范围内任取一个整数即可． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得， 满足条件的整数为任意大于的整数，取，符合要求． 12. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故答案为：． 13. 定义一个新运算，若，，则______． 【答案】1或 【解析】 【分析】先根据可得 或，再根据题意进行分类讨论即可求解． 【详解】解：， 或， ， ①当 ，时， ； ②当，时， ； 综上所述：或， 14. 如图，在菱形中， ，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点E，F，G，H，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接与交于点，先根据菱形的性质结合角的直角三角形的性质求出对角线 的长，继而得到菱形的面积，再由扇形面积公式求解，最后由． 【详解】解：连接与交于点， ∵菱形， ，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 15. 如图，在中，已知， ，，D，E分别是 的中点，F为上一点，且满足，则________． 【答案】 或 【解析】 【分析】分两种情况：当点F为的中点时，在上取点F，使点F，B关于对称，连接交于点G，即可求解． 【详解】解：如图，当点F为的中点时， ∵D，E分别是 的中点， ∴均为的中位线， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，符合题意， 此时； 如图，在上取点F，使点F，B关于对称，连接交于点G， ∴， ， ∵ ， ∴， ∴，符合题意， ∵D，E分别是 的中点， ∴， ， ∴ ， 在和 中，， ∴， 解得：； 综上所述，或 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 计算、化简并求值 （1）； （2），，． 【答案】（1）5 （2）； 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 当，时， 原式． 17. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78 整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 86 m 乙 84 76 根据以上信息，回答下列问题： （1） ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）； （2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）； （3）现在甲、乙两校要共同举行第二轮升级赛，想从两校成绩均在 范围内的学生中选取两名参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人恰在同一学校的概率． 【答案】（1）； ；乙 （2）甲 （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、中位数、方差、用样本估计总体等知识点，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）根据频数分布表以及中位数的定义即可得到m的值；根据乙校成绩在这一组的频数所占比例乘以即可；根据方差的意义即可解答． （2）根据这名学生的成绩74分，小于甲校样本数据的中位数76分，大于乙校样本数据的中位数分即可解答． （3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所选两位选手来自同一学校的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（1）把甲校40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是72，73，故中位数． 乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是． 由于甲校的成绩的方差乙校的成绩的方差， 所以本次测试成绩更整齐的是乙校． 故答案为：； ；乙． 【小问2详解】 解：在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是甲校的学生．理由：甲校的中位数是，乙校的中位数是． 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：根由频数分布表可知：甲乙两校各有2名学生在 范围内， 据题意画出如下树状图 由树状图可得共有12种等可能的结果数，其中所选两位选手来自同一学校的结果数为4， 所以所选两位选手来自同一学校的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与x轴，y轴交于点A，点B，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）是反比例函数图象上一点，连接，求 的面积； （3）点P在y轴上，满足 是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数为 ，反比例函数为 （2） 的面积为 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数 求得点A，点B的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点C作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为 ，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，，，利用勾股定理列方程并求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点， 将点C的坐标代入，得，， 解得 ， ， ∴一次函数为 ，反比例函数为； 【小问2详解】 解： 的面积为．理由如下： ∵一次函数 的图象分别与x轴，y轴交于点A，点B， 当时，得，解得； 当时， ， ∴，． ∵是反比例函数图象上一点，代入，得， ∴． 如图，过点C作轴，交直线于点E． 设直线的解析式为 ，将点B，点D的坐标分别代入， 得，解得， ∴直线的解析式为 ， ∵点，轴， ∴点E的横坐标为1， 当时，得， ∴， ∴， ∴ 的面积； 【小问3详解】 解：点P的坐标为或， 理由如下：设， ∵ ，， ∴，，， 当时，由勾股定理得， ∴， 整理得，解得或， 故点P的坐标为或． 19. 脱贫攻坚工作让人民过上了幸福的生活．图1是政府给贫困户新建的房屋，图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为 ，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走 到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到 ）． 【答案】（1）屋顶到横梁 的距离为 （2）房屋的高约 【解析】 【分析】（1）利用已知条件在 中解直角三角形即可解答； （2）如图：过点E作 于点H．设，则．分别在、中解直角三角形可得、，进而得到，最后根据线段的和差即可解答； 【小问1详解】 解：由题意得 ，，． 在 中，，解得：． ∴屋顶到横梁 的距离为 ． 【小问2详解】 解：如图：过点E作 于点H．由题意得，． ` 设，则． 在中，，解得：． 在中，，解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． ∴， ∴， ∴． ∴房屋的高约． 20. 2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计 120万元． （1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． （2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆B型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元 （2）当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式，利用利润1辆车的利润数量求解． （1）设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆，根据题意列出一元一次不等式得到，设销售A型新能源汽车x辆，所获利润为W万元，根据题意得到，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元． 由题意，得 解得 答：A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元． 【小问2详解】 设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆． 由题意，得． 解得． 设销售A型新能源汽车x辆，所获利润为W万元．则 ． ∵， ∴W随x的增大而增大． ∴当时，W有最大值46万元． 答：当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元． 21. 如图，在四边形中，，平分，， （1）求证： ； （2）请用不带刻度的直尺和圆规作 的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断是否为的切线，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， 平分， ， ， ， 即 ． （2） 如图，即为所求． 是， 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】本题综合考查角平分线性质、勾股定理及逆定理、三角形外接圆与切线判定，核心是利用几何性质与定理，通过作辅助线、等量代换实现边与角关系转化，突破垂直证明与切线判定． （1）证 ：借角平分线作垂线，勾股定理算线段，再借助相似三角形的判定与性质，实现从边的计算到角的关系推导． （2）作外接圆与证切线：作垂直平分线定圆心作圆，利用半径相等、角平分线性质证平行，结合直角条件，依切线判定（垂直于半径外端）得结论，完成几何作图与位置关系证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处距离原点的水平距离为 ，最大竖直高度为，喷头所在位置的竖直高度为． （1）请直接写出水流最高处的坐标：____________． （2）求喷出水流的竖直高度（ ）与距离原点的水平距离（ ）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过，求喷头高度的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意正确的列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得点的横坐标为，纵坐标为，即可求解； （2）依据题意，设抛物线的解析式为，由点的坐标为，求出的值，进而求得抛物线的解析式； （3）设设调整后的抛物线的函数解析式为，根据水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，求出调整后的抛物线的函数解析式，进而求出喷头高度的最大值． 【小问1详解】 解：以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，水流的最高处距离原点的水平距离为 ，最大竖直高度为， 水流最高处的坐标． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可得，顶点的坐标为， 设抛物线的函数解析式为． 由题意得，点的坐标为，代入中得： ，解得， 抛物线的函数解析式为． 【小问3详解】 解：调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变， 可设调整后的抛物线的函数解析式为， 由题意得，当最大时，点的坐标为， ，解得， ． 将代入，得， 喷头高度的最大值为． 23. 如图1，在中，，，D为边上一点（不与点A，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到，连接． 【观察猜想】 （1）当点D在线段上时，通过图形旋转的性质可知， _____，_____ ． 【探究证明】 （2）如图2，当点D在的延长线上时，探究线段，，的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在 中，，， ，E为平面内任一点，且 ，将线段绕点C顺时针旋转得到，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】（1），90 （2），见解析 （3）AF的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可证得，从而可求解； （2）根据旋转的性质可得，从而即可得证； （3）过点C作，交AB的延长线于点G，则可得是等腰直角三角形，根据旋转的性质可得，，根据三角形三边关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，由旋转可知，，， ∵， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴ ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点C作，交的延长线于点G， ∵，， ， ∴ ，， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵线段 是线段 绕点C顺时针旋转得到的， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴在 中，， 即的最大值为，最小值为． ∴ 的最大值为，最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期中学情测评 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各实数中，为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，从左面看是长方形的是（ ） A. 三棱锥 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球 3. 2025年11月14日，由商务部和上海市人民政府主办、主题为“开放共创新机遇合作共享新未来”的第八届中国国际进口博览会（简称“进博会”）圆满闭幕．本届进博会成效显著、成果丰硕，实现了预期目标，充分彰显中国发展与开放的确定性，为世界经济注入稳定性与正能量．第八届进博会按年计意向成交金额亿美元，成交规模、进场人次等多项数据创历史新高！其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是集热板的示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某市正午太阳光线与水平面的夹角为 ．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. 8 B. C. 6 D. -6 7. 如图，在菱形中，E是对角线上一点，，连接，若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 8 9. 如图，在中，边上的中线，点在上，且，若 ，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，．正方形 的顶点D，F分别在，边上，设，与正方形 重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若代数式有意义，写出一个满足条件的整数_________． 12. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 13. 定义一个新运算，若，，则______． 14. 如图，在菱形中， ，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点E，F，G，H，则图中阴影部分的面积为_______． 15. 如图，在中，已知， ，，D，E分别是 的中点，F为上一点，且满足，则________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 计算、化简并求值 （1）； （2），，． 17. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78 整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 86 m 乙 84 76 根据以上信息，回答下列问题： （1） ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）； （2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）； （3）现在甲、乙两校要共同举行第二轮升级赛，想从两校成绩均在 范围内的学生中选取两名参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人恰在同一学校的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与x轴，y轴交于点A，点B，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）是反比例函数图象上一点，连接，求 的面积； （3）点P在y轴上，满足 是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 19. 脱贫攻坚工作让人民过上了幸福的生活．图1是政府给贫困户新建的房屋，图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为 ，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走 到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到 ）． 20. 2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计 120万元． （1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． （2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆B型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 21. 如图，在四边形中，，平分，， （1）求证： ； （2）请用不带刻度的直尺和圆规作 的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断是否为的切线，并说明理由． 22. 如图，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处距离原点的水平距离为 ，最大竖直高度为，喷头所在位置的竖直高度为． （1）请直接写出水流最高处的坐标：____________． （2）求喷出水流的竖直高度（ ）与距离原点的水平距离（ ）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过，求喷头高度的最大值． 23. 如图1，在中，，，D为边上一点（不与点A，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到，连接． 【观察猜想】 （1）当点D在线段上时，通过图形旋转的性质可知， _____，_____ ． 【探究证明】 （2）如图2，当点D在的延长线上时，探究线段，，的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在 中，，， ，E为平面内任一点，且 ，将线段绕点C顺时针旋转得到，请直接写出的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $