精品解析：河南省驻马店市平舆县2024-2025学年 下学期期中学情测评九年级数学试卷

2024—2025学年度下学期期中学情测评 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么元表示（ ）． A. 收入2025元 B. 收入1925元 C. 支出1925元 D. 支出2025元 2. 南水北调工程是迄今为止世界上规模最大的调水工程，习近平总书记强调，“南水北调工程事关战略全局、长远发展和人民福祉”．截至目前，南水北调东中线一期工程已累计调水超亿立方米，沿线40多座大中城市受益，亿人喝上“南水”．其中数据“亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点B在点A的北偏西方向，则点A在点B的（ ） A 南偏东方向 B. 南偏东方向 C. 南偏西方向 D. 南偏西方向 4. 如图所示，该几何体的左视图为（ ）． A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）． A. B. C. D. 6. 为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则长是（ ）． A. 20m B. 16m C. 10m D. 8m 7. 单项式的系数和次数分别是（ ）． A. ，12 B. 1，12 C. ，9 D. 1，9 8. 假日出游已成为生活新潮，数学活动课上某班同学搜集了河南四个景区的图片，制成四张卡片（除内容外，其余均相同）．若从中随机抽取两张，恰好选中“龙门石窟”和“老君山”两张卡片的概率是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，的平分线交于点，连接．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图1，挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：铁块受到的浮力、弹簧测力计读数，容器底部受到的液体压强、水面高度，其中两个量与时间t之间的关系大致可以用图2、图3中的图象来描述，那么对图2、图3的解读正确的是（    ） A. 图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象 B. 图2表示容器底部受到的液体压强和时间的函数图象 C. 图2表示水面高度和时间的函数图象 D. 图3表示铁块受到的浮力和时间的函数图象 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 如图，守株待兔是一个寓言故事演化而来的成语，最早出自《韩非子·五蠹》，“守株待兔”是_______（填“确定”或“随机”）事件． 12. 如果多项式加上一个单项式后，可以分解因式，那么这个单项式可以是_________（写出一个即可）． 13. 若关于的一元二次方程有一个根是，则_________． 14. 如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边，上，将纸片沿所在直线折叠，使点C的对应点H落在边上，点D的对应点G落在边的上方，则线段的取值范围是___________． 15. 已知在四边形中，，，． （1）的长是______； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 启迪未来之星，推进科技教育．某校举行了一次以“人工智能”为主题知识竞赛（竞赛成绩为十分制），各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 b 乙组 7.5 a 9 【数据应用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.6分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_________（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由． （3）小西认为甲组成绩平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 18. 科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，对角线交于点，轴，且，（在左侧）点的坐标为．已知反比例函数的图象经过点． （1）求点的坐标． （2）请先描出反比例函数图象上不同于点的三个整点（横、纵坐标都是整数的点），再画出其图象． （3）已知点的横坐标为，将向下平移，使点落在反比例函数图象上，则平移的距离为__________． 20. 天王寺善济塔位于河南省新乡市，元朝至元四年(公元1267年)创建，为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位.某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，制订了测量方案，测量数据如下表(不完整)： 课题 测量善济塔的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX， 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案及数据 方案一：将测角仪放置在与塔底端水平的处测得塔顶的仰角为，向前走米到达点处架起测角仪，测得塔顶的仰角为，测角仪，的高度为米 方案二：将测角仪放置在善济塔附近的某一高台顶部测得塔顶的仰角为，测得塔底端处的俯角为，高台的高度为米，测角仪的高度为米 参考数据 ，，，， ，，， 说明 所有的点均在同一平面内 （1）任务一：请判断上述哪种方案的误差较小； （2）任务二：请你帮小组的同学求出善济塔的高度.(结果精确到0.1) 21. 某县是我国绿茶之乡，县内有八万亩茶园．为拓宽销售渠道，进一步向外扩大该县茶叶市场，某乡镇帮助农户将两个品种的茶叶包装成茶叶礼盒后再出售．已知每件品种茶叶礼盒比品种茶叶礼盒的售价多20元，且出售1件品种茶叶礼盒和2件品种茶叶礼盒的总价共520元． （1）求两种茶叶礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知两种茶叶礼盒每件的成本分别为50元和55元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种茶叶礼盒共100盒，且品种茶叶礼盒售出的数量不超过品种茶叶礼盒数量的1.5倍，总成本不超过5250元，一共有多少种满足条件的方案？ （3）在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种茶叶礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 22. 如图1，一块钢板截面的一边为线段，另一边曲线为抛物线的一部分，D为的中点，现沿线段将这块钢板分成①②两部分，以边所在直线为x轴，经过点C且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，规定1个单位长度代表．已知：，，． （1）求曲线所在抛物线的函数表达式； （2）如图2，在区域①中截取一个矩形，其中点P在线段上（不含端点C，D），点E在曲线上，点F，G均在线段上，设点P的纵坐标为，求矩形的面积S与m之间的函数表达式； （3）如图3，在区域②中截取一个四边形，其中点Q在曲线上（不含端点B，C），记四边形的面积为S，求S的最大值． 23. 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．例如，如图1，在四边形中，若，则四边形是对余四边形，是其对余线． （1）理解操作 如图2，在中，，，为的中点．试着在上找到一点，使四边形是对余四边形． （2）理解应用 如图3，在对余四边形中，，． ①求的度数． ②判断，，之间的数量关系，并加以证明． （3）拓展延伸 在图3的条件下，若是等腰三角形，，直接写出的值． （温馨提示：，其中，，为正数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期期中学情测评 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么元表示（ ）． A. 收入2025元 B. 收入1925元 C. 支出1925元 D. 支出2025元 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 根据相反意义的量解答即可． 【详解】解：收入100元记作元，那么元表示支出2025元． 故选:D． 2. 南水北调工程是迄今为止世界上规模最大的调水工程，习近平总书记强调，“南水北调工程事关战略全局、长远发展和人民福祉”．截至目前，南水北调东中线一期工程已累计调水超亿立方米，沿线40多座大中城市受益，亿人喝上“南水”．其中数据“亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故选：C 3. 如图，点B在点A的北偏西方向，则点A在点B的（ ） A. 南偏东方向 B. 南偏东方向 C. 南偏西方向 D. 南偏西方向 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方位角，掌握方位角的表示方法是解题的关键． 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度度．根据定义就可以解决． 【详解】解：点B在点A的北偏西方向，则点A在点B的南偏东方向． 故选B． 4. 如图所示，该几何体的左视图为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力，解题的关键是根据组合体的形状进行判断． 根据几何体的左视图是从物体的左面看到的图形解答即可. 【详解】解：由左视图的概念可知A中的图形正确．（易错点：几何体的三视图中看不见的轮廓线用虚线） 故选A． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握不等式组的求解步骤是解题的关键． 先求得每个不等式的解集，后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式得， ， 解不等式得， ， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为． 故选B． 6. 为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则的长是（ ）． A. 20m B. 16m C. 10m D. 8m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．根据中位线定理解答即可． 【详解】解：，， ，是，的中点， 是的中位线， ， ， ． 故选：C． 7. 单项式的系数和次数分别是（ ）． A. ，12 B. 1，12 C. ，9 D. 1，9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴该单项式的系数为，次数为． 故故选A． 8. 假日出游已成为生活新潮，数学活动课上某班同学搜集了河南四个景区的图片，制成四张卡片（除内容外，其余均相同）．若从中随机抽取两张，恰好选中“龙门石窟”和“老君山”两张卡片的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解∶令“清明上河园”“龙门石窟”“云台山”“老君山”四张卡片为，，，，画树状图如下： 共有12种可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“”和“”的可能性有2种， 抽到的两张卡片恰好是“”和“”的概率为． 抽到的两张卡片恰好是“龙门石窟”和“老君山”的概率为． 故选∶D． 9. 如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，的平分线交于点，连接．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了圆周角定理，勾股定理．根据圆周角定理可得，从而得到，再由是的直径，可得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ∴， 是的直径， ． 由勾股定理得：． 故选：C 10. 如图1，挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：铁块受到的浮力、弹簧测力计读数，容器底部受到的液体压强、水面高度，其中两个量与时间t之间的关系大致可以用图2、图3中的图象来描述，那么对图2、图3的解读正确的是（    ） A. 图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象 B. 图2表示容器底部受到的液体压强和时间的函数图象 C. 图2表示水面高度和时间的函数图象 D. 图3表示铁块受到的浮力和时间的函数图象 【答案】A 【解析】 【分析】铁块露出水面以前，，浮力不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，当铁块完全露出水面后，浮力为0；弹簧测力计读数为：开始一段的铁块在空气中的重量保持不变，当铁块进入水中的过程中，重量逐渐减小，直到全部进入水中，重量保持不变． 【详解】解：铁块露出水面以前，，浮力不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，当铁块完全露出水面后，浮力为0； 弹簧测力计读数为：铁块露出水面以前，，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象． 故选：． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 如图，守株待兔是一个寓言故事演化而来的成语，最早出自《韩非子·五蠹》，“守株待兔”是_______（填“确定”或“随机”）事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】“守株待兔”是随机事件 故答案为：随机． 12. 如果多项式加上一个单项式后，可以分解因式，那么这个单项式可以是_________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：多项式加上一个单项式后，可以分解因式，这个单项式可以是：， 则， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有一个根是，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出n的值即可得到答案． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故答案为：2． 14. 如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边，上，将纸片沿所在直线折叠，使点C的对应点H落在边上，点D的对应点G落在边的上方，则线段的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 当点与点重合时，的长度最短，设，则，根据勾股定理求出；当点与点重合时，的长度最长，得到，，进而求解即可． 【详解】如解图①，当点与点重合时，的长度最短， ∵四边形为矩形， ∴， 由题意得：设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴ ∴； 如解图②，当点与点重合时，的长度最长， 由翻折变换的性质得：，， ∴， ∴，， 综上所述，线段的取值范围为． 故答案为：． 15. 已知在四边形中，，，． （1）的长是______； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）连接，根据条件易知是等腰直角三角形，所以求得，再利用求得，在中即可求出的长； （2）连接，过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小． 【详解】（1）解：连接， 在中，，， ， ， ， 在中，； 故答案为：4 （2）在中，易得， 连接，由题意可知是等腰直角三角形， ， ， 点P是外接圆的上的一个动点， 作的外接圆，连接，得， 是等腰直角三角形， ， 过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小， 当点O、P、G共线时，， ， 是等边三角形，， 过点P作于点H， ∴四边形是矩形， ， ， 则， 故点P到的距离是． 故答案为： 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和面积最小问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算以及分式的化简，解题的关键是掌握实数的混合运算以及分式混合运算的运算法则和运算顺序． （1）先将立方根，算术平方根和零次幂，负整数指数幂化简，再进行计算即可； （2）先将各项分子分母进行因式分解，再按照分式混合运算的运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 启迪未来之星，推进科技教育．某校举行了一次以“人工智能”为主题的知识竞赛（竞赛成绩为十分制），各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 b 乙组 7.5 a 9 【数据应用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.6分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_________（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由． （3）小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 【答案】（1）， （2）乙，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数等知识点，理解中位数、众数的意义成为解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义即可解答； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）从两组成绩的众数角度进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：乙组成绩从低到高排列：5，6，7，7，8，9，9，9， 处于第，位的分别是，， 则甲组的中位数； 甲组学生成绩：5，7，8，8，8，9，9，10， 分学生数最多， 故众数． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：甲组的中位数为8分，乙组的中位数为7.5分，由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生． 故答案为：乙． 【小问3详解】 解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但甲组成绩的众数小于乙组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组， 因此从众数角度看，乙组成绩比甲组好， ∴不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小西的观点比较片面． 18. 科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）15° 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质与判定，作垂线，掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，以的中点为圆心为半径作弧，交于点，作直线，即可求解． （2）根据垂径定理的推论可得，根据切线的性质可得，则得出，根据平行线的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图（1），直线即为所求作的直线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，对角线交于点，轴，且，（在的左侧）点的坐标为．已知反比例函数的图象经过点． （1）求点的坐标． （2）请先描出反比例函数图象上不同于点的三个整点（横、纵坐标都是整数的点），再画出其图象． （3）已知点的横坐标为，将向下平移，使点落在反比例函数图象上，则平移的距离为__________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意可得，代入到，求出的值，即可得到点的坐标； （2）分别令、、，求出图象上不同于点的三个整点，再利用描点法画函数图象即可； （3）利用菱形的性质得到，，设点的坐标为，利用中点坐标公式得到，求出，过作于，利用勾股定理求出的长，得出的值，令求出反比例函数对应的值，再求出与的差即可求解． 【小问1详解】 解：∵轴，点的坐标为，， ∴， 把代入，得，解得． ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：当时，，则整点， 当时，，则整点， 当时，，则整点， 图象如下图： 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， 设点的坐标为， ∵的坐标为，的横坐标为， ∴， ∴， 过作于，则， ∴， ∴， ∴， 对于反比例函数，当时，， ∴将向下平移，使点落在反比例函数图象上，则平移的距离为 ． 故答案为：． 20. 天王寺善济塔位于河南省新乡市，元朝至元四年(公元1267年)创建，为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位.某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，制订了测量方案，测量数据如下表(不完整)： 课题 测量善济塔的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX， 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案及数据 方案一：将测角仪放置在与塔底端水平处测得塔顶的仰角为，向前走米到达点处架起测角仪，测得塔顶的仰角为，测角仪，的高度为米 方案二：将测角仪放置在善济塔附近的某一高台顶部测得塔顶的仰角为，测得塔底端处的俯角为，高台的高度为米，测角仪的高度为米 参考数据 ，，，， ，，， 说明 所有的点均在同一平面内 （1）任务一：请判断上述哪种方案的误差较小； （2）任务二：请你帮小组的同学求出善济塔的高度.(结果精确到0.1) 【答案】（1）方案一误差较小 （2）依第一种方案可得善济塔的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是是解题的关键． （1）根据两次地面观测可知方案一误差较小； （2）根据方案一给出的测量数据，设塔高为，令从塔底到测角仪第一次位置点的水平距离为，根据正切的定义，得出关于的方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由于方案二测得塔底端B处的俯角，而不一定与底面垂直，故会产生误差， 从两次地面观测方案一误差较小； 【小问2详解】 解：设塔高为，令从塔底到测角仪第一次位置点的水平距离为 根据方案一给出的测量：①在处测得仰角，测角仪高，故 ②向前走到处测得仰角，此时与塔的水平距离为，仍有测角仪高，故 将代入上式， ∵，即 ∴ 米 答：善济塔的高度约为23.8 m. 21. 某县是我国绿茶之乡，县内有八万亩茶园．为拓宽销售渠道，进一步向外扩大该县茶叶市场，某乡镇帮助农户将两个品种的茶叶包装成茶叶礼盒后再出售．已知每件品种茶叶礼盒比品种茶叶礼盒的售价多20元，且出售1件品种茶叶礼盒和2件品种茶叶礼盒的总价共520元． （1）求两种茶叶礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知两种茶叶礼盒每件的成本分别为50元和55元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种茶叶礼盒共100盒，且品种茶叶礼盒售出的数量不超过品种茶叶礼盒数量的1.5倍，总成本不超过5250元，一共有多少种满足条件的方案？ （3）在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种茶叶礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】（1），两种茶叶礼盒每件的售价分别为元，元 （2）有种满足条件的方案 （3）要使农户收益最大，销售方案为售出种茶叶礼盒盒，售出种茶叶礼盒盒，最大收益为元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的实际应用： （1）设，两种茶叶礼盒每件的售价分别为元，元，根据每件品种茶叶礼盒比品种茶叶礼盒的售价多20元，且出售1件品种茶叶礼盒和2件品种茶叶礼盒的总价共520元，列出方程组进行求解即可； （2）设售出种茶叶礼盒盒，则售出种茶叶礼盒盒，根据品种茶叶礼盒售出的数量不超过品种茶叶礼盒数量的1.5倍，总成本不超过5250元，列出不等式组，进行求解即可； （3）设收益为元，根据总收益等于两种礼盒的收益之和，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设，两种茶叶礼盒每件的售价分别为元，元， 根据题意得，解得， 答：，两种茶叶礼盒每件的售价分别为元，元． 【小问2详解】 设售出种茶叶礼盒盒，则售出种茶叶礼盒盒， 根据题意得，解得． ∵，为正整数， ∴共有种满足条件的方案． 小问3详解】 设收益为元， 根据题意得，． ∵， ∴W随的增大而减小， ∴当时，W取得最大值，最大值为（元）， ∴售出种茶叶礼盒（盒）． 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种茶叶礼盒盒，售出种茶叶礼盒盒，最大收益为元． 22. 如图1，一块钢板截面的一边为线段，另一边曲线为抛物线的一部分，D为的中点，现沿线段将这块钢板分成①②两部分，以边所在直线为x轴，经过点C且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，规定1个单位长度代表．已知：，，． （1）求曲线所在抛物线的函数表达式； （2）如图2，在区域①中截取一个矩形，其中点P在线段上（不含端点C，D），点E在曲线上，点F，G均在线段上，设点P的纵坐标为，求矩形的面积S与m之间的函数表达式； （3）如图3，在区域②中截取一个四边形，其中点Q在曲线上（不含端点B，C），记四边形的面积为S，求S的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数的最值，矩形的性质，熟练掌握用待定系数法求函数解析式，二次函数图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先求得所在直线的函数表达式为，进而求得点的横坐标为．再求得点的横坐标为，进而求得，然后利用矩形面积公式可求解； （3）连接，过点作轴的垂线，交于点．先求得所在直线的函数表达式为．设，其中，则， 可得，由，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴可设曲线所在抛物线的函数表达式为． ∵，， ∴，． 又∵为的中点， ∴该抛物线的对称轴为直线， ． 解得 故曲线所在抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）易知，， 所在直线的函数表达式为． 对，令，则，解得， 即点的横坐标为． 令，解得，（不合题意，舍去）． 点的横坐标为， ， ． 小问3详解】 解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点． ，为的中点，，． 又， ． 由，，易得所在直线的函数表达式为． 设，其中，则， ， ， 即， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 23. 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．例如，如图1，在四边形中，若，则四边形是对余四边形，是其对余线． （1）理解操作 如图2，在中，，，为的中点．试着在上找到一点，使四边形是对余四边形． （2）理解应用 如图3，在对余四边形中，，． ①求的度数． ②判断，，之间的数量关系，并加以证明． （3）拓展延伸 在图3的条件下，若是等腰三角形，，直接写出的值． （温馨提示：，其中，，为正数） 【答案】（1）见解析 （2）①；②，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）的中点即为所求的点，理由如下：由，，得，因为四边形为对余四边形，且，得，可得，推出，由为中点，即可得出应为的中点； （2）①由四边形是对余四边形，，得，再由是等腰直角三角形，即可求解；②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，则，，先证明，得，在中，利用，即可得出答案； （3）若是等腰三角形，分三种情况进行讨论，第一种情况：当时，推出，得，进而求解；第二种情况：当时，过点作于，由，可设，则，推出，在中，由勾股定理，得，即，求出，利用即可得出答案；第三种情况：当时，能推出点、、三点共线，四边形不存在，不符合题意． 【小问1详解】 解：如图（1）所示，的中点即为所求的点，理由如下： 由题意可知，，， ， 又四边形为对余四边形，且， ， ， ， 利用尺规作图，过点作交于点， ， 又中点， ， 应为的中点； 【小问2详解】 ①四边形是对余四边形，, ， ， ，， ， ； ②，理由如下：如图（2），将绕点逆时针旋转，得到，连接，， 则，， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得，， ， ； 【小问3详解】 若是等腰三角形，分三种情况进行讨论， 第一种情况：当时，如图（3）， ， ， ， ， ； 第二种情况：当时，如图（4）， 过点作于， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ； 第三种情况：当时， ， ， ， , 此时点、、三点共线，四边形不存在，不符合题意； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义问题、平行线分线段成比例、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$