精品解析：山东临沂市兰陵县2025—2026学年下学期阶段质量调研 八年级 数学（一）

2025—2026学年度下学期阶段质量调研 八年级数学（一） 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. （ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（       ） A. ，， B. C. D. 4. 若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　）cm． A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是___________． 12. 在平行四边形中，若，则度数是____． 13. 如图，矩形中，，对角线，相交于点O，垂直平分于点E，则的长为______． 14. 如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是_______． 15. 在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是___（填上所有符合要求的条件的序号）． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 已知最简二次根式与能合并，求m的值． 18. 如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 19. 如图，点A，F，C，D在一条直线上，且，． 求证：四边形是平行四边形． 20. 已知：如图，在中，平分，，垂足为D，点G是的中点．若，，则长为多少？ 21. 如图所示，某中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．． （1）求出空地的面积． （2）若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 22. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 23. 数学课本上有一题：如图1，四边形是正方形，点是的中点，，且交正方形外角平分线于点．求证． （1）课本中给出证法提示：取的中点，连接．请你在图1中补全图形．证明结论； （2）若点为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，． ①如图2，连接，请你求出的大小； ②如图3，连接，当时，请你求出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期阶段质量调研 八年级数学（一） 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. （ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的性质即可求解． 【详解】解：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式加减、乘方、乘法的运算规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，符合二次根式的乘方运算规则，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 3. 下列条件中，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（       ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，熟记勾股定理逆定理、三角形内角和定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理进行计算，逐项判断即可解答． 【详解】解：A、∵，，， 则， ∴是直角三角形， 故不符合题意； B、∵， 则， ∴，即是直角三角形，故不符合题意； C、∵， ∴是直角三角形，故不符合题意； D、∵， 设， 则， ∴不是直角三角形，故符合题意； 故选：D． 4. 若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正多边形的一个外角的度数，再根据正多边形外角和的性质，求出正多边形的边数，即可得出答案． 【详解】． ∴该正多边形的内角和的度数为． 5. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得． 6. 如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由菱形对角线相互垂直得到是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出菱形边长即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，，则， 在中，点是的中点，则， 菱形的周长为． 7. 如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，由含30度角的直角三角形得到，由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 9. 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用折叠的特性可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，再利用长方形的性质∠ABC＝90°，则∠ABE＝90°−∠EBC，结论可得． 【详解】解：由折叠可得：∠CBD＝∠EBD＝25°， 则∠EBC＝∠CBD＋∠EBD＝50°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABF＝90°−∠EBC＝40°，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的计算，折叠的性质，利用折叠得出：∠CBD＝∠EBD是解题的关键． 10. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　）cm． A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可． 【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH， 过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则 AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ∵AE＝A′E，A′P＝AP， ∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C， ∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm， 在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆柱的最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图、勾股定理是解题的关键． 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件， 根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得，求出解集即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴分母，且被开方数，但分母不为零，故， 即， 解得． 故答案为：． 12. 在平行四边形中，若，则度数是____． 【答案】125° 【解析】 【分析】由在平行四边形ABCD中，若∠A-∠B=70°，根据平行四边形的邻角互补，即可得∠A+∠B=180°，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠A-∠B=70°， ∴∠A=125°，∠B=55°． 故答案为：125°． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补． 13. 如图，矩形中，，对角线，相交于点O，垂直平分于点E，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，和垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质得到，由垂直平分得到，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：矩形，， ， 垂直平分于点E， ， 在中，， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，可得，，根据勾股定理可求得的长，过点作于点，交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，， 垂直平分， ，， ，， 两点之间线段最短，且垂线段最短， 当、、三点共线，且时，最小， 如图所示，过点作于点，交于点， 当点在点处，点在点处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 15. 在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是___（填上所有符合要求的条件的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握常见的平行四边形的判定定理成为解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：①∵， ∴四边形为平行四边形；故选项①符合题意； ②∵， ∴四边形为平行四边形；故选项②符合题意； ③由，不能判定四边形为平行四边形；故选项③不符合题意； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形；故选项④符合题意； 综上所述：能使四边形是平行四边形的是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知最简二次根式与能合并，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数相同，据此列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴，且， 解得：， 此时且，且为最简二次根式， ∴符合题意． 18. 如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 【答案】木杆断裂处离地面6米． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设木杆断裂处离地面x米，则断裂处离木杆顶部长度为米， 由题意得：， 解得． 答：木杆断裂处离地面6米． 19. 如图，点A，F，C，D在一条直线上，且，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定； 根据平行线的性质可得，证明，可得，，则，然后推出即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20. 已知：如图，在中，平分，，垂足为D，点G是的中点．若，，则长为多少？ 【答案】9 【解析】 【分析】延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 如图所示，某中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．． （1）求出空地的面积． （2）若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 【答案】（1） （2）总共需投入元 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理求出，再用勾股定理的逆定理得出，再根据进行求解即可； （2）利用（1）中所求计算出所需费用即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ 【小问2详解】 解：元， ∴总共需投入元． 22. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）时,四边形EGCF是矩形，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE=OB，DF=OD， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， （2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG=AE，OA=OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 23. 数学课本上有一题：如图1，四边形是正方形，点是的中点，，且交正方形外角平分线于点．求证． （1）课本中给出证法提示：取的中点，连接．请你在图1中补全图形．证明结论； （2）若点为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，． ①如图2，连接，请你求出的大小； ②如图3，连接，当时，请你求出周长的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题： （1）取的中点，连接，由正方形的性质得到，，进而得到，，再证明，即可证明； （2）①在上取，连接，由（1）同理可得，证明，得到，证明，得到，则，即可得到；②连接，作，交的延长线于，交于，连接，由①知，，则，证明是等腰直角三角形，得到点与关于对称，则，故当 三点共线时，有最小值，最小值为的长，由勾股定理得，则周长的最小值为． 【小问1详解】 证明：如图，取的中点，连接， 四边形是正方形，分别为的中点， ，， ， ， 平分的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①在上取，连接， 由（1）同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②连接，作，交的延长线于，交于，连接， 由①知，， ， 是等腰直角三角形， 点与关于对称， ∴， ∴ ∴当 三点共线时，有最小值，最小值为的长， ， ， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $