精品解析：山东省烟台市福山区2025-2026学年第二学期中学业水平考试 八年级数学试题（五四学制）

2025-2026学年第二学期期中学业水平考试 初三数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列二次根式能与合并的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答． 【详解】解：的被开方数是3， A、的被开方数是6，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意． B、＝，它的被开方数是2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意． C、的被开方数是10，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意．， D、＝2，的被开方数是3，与的被开方数相同，是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 2. 用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法求解一元二次方程的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案. 【详解】∵ ∴ ∴，故选项A错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故选项B错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴ ∴，故选项C错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴ ∴，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的性质，从而完成求解． 3. 以为根的一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求根公式逐一判断即可． 【详解】解：A．此方程的根为x=，符合题意； B．此方程的根为x=，不符合题意； C．此方程的根为x=，不符合题意； D．此方程的根为x=，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式． 4. 的整数部分是、小数部分是，则的值为（ ） A. B. C. －2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据无理数的估算求出的值，再代入，利用平方差公式计算二次根式的乘法即可得． 【详解】解：， ，即， 的整数部分是、小数部分是， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的估算、二次根式的乘法，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 5. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的加减法以及二次根式乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：Ａ．，故选项A计算正确，不符合题意； B. ，故选项B计算正确，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，符合题意； D. ，故选项D计算正确，不符合题意； 故选：C． 6. 若，则化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有意义可得，再结合，化简． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由得到是解题的关键． 7. 已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当且时，四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，故A正确， 四边形是平行四边形，， 不能推出四边形是菱形，故错误， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故C正确， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形．故D正确． 故选B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 8. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 9. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 10. 如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③，重合时，； ④点、、三点共线． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设，得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；，重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；结合矩形的性质可知，进而可证明，即可判断④． 【详解】解：矩形中， ， 由翻折可知：，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故②正确； ，， ， 在和中， ， 若，则， ，这个不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， 四边形是菱形，故②正确； ， ， ，故③正确； 由折叠可知：， ， 四边形是菱形， ， ， 、、三点一定在同一直线上，故④正确． 综上所述：正确的结论有②③④，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、折叠性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 二．填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若实数，满足，则的值是______________． 【答案】3 【解析】 【分析】求出()()=3，再分解因式，根据二次根式的性质得出，求出即可求解． 【详解】解：∵实数a，b满足()()=3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，二次根式的性质和解一元二次方程等知识点，能求出是解此题的关键． 12. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的意义和分式的意义即可求出答案． 【详解】解：根据二次根式的意义可知：，即， 根据分式的意义可知：，即， 且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是二次根式的意义和分式的意义，解题的关键在于熟练掌握相关意义．二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于0；分式有意义的条件：分母不为0． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ， 解得，且 ． 14. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．人行道的宽度为_____米． 【答案】1 【解析】 【分析】设人行道的宽度为米，则矩形绿地的长为米，宽为米，再结合题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值，再舍去不合题意的值即可． 【详解】设人行道的宽度为米，则矩形绿地的长为米，宽为米， ∵这两块相同的矩形绿地的面积之和为60平方米， ∴， 解得：，（舍）． ∴人行道的宽度为1米． 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题的关键． 15. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝______°． 【答案】110 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD，由等腰三角形的性质可求∠BAC＝∠BCA＝70°，∠CAE＝40°，即可求解． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD， ∵∠B＝40°， ∴∠BAC＝∠BCA＝70°， ∴∠ACD＝70°， ∵AE＝AC， ∴∠ACE＝∠AEC＝70°， ∴∠CAE＝40°， ∴∠BAE＝110°， 故答案为110． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键． 16. 如图，四边形是边长为3的菱形，对角线的长度分别是关于x的一元二次方程的两实数根，于点H，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，求出，根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，变形后代入求出m的值，利用菱形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵对角线的长度分别是一元二次方程，即的两实数根， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，，不符合题意，舍去， 即 则， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系的应用，能得出，是解此题的关键． 三、解答题（本题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 解方程 （1）；（配方法） （2）； （3）； （4）．（公式法） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1） 移项，配方求解即可； （2）运用因式分解法求解即可； （3）配方求解即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法计算即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 配方得，， ， 开方，得， 所以，； 【小问2详解】 解：， 等式左边提取得， ， 移项得， ， ∴ ， ∴或， 解得，，； 【小问3详解】 解：， 二次项系数化为1得，， 移项配方，，即， ∴， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：， 整理得，， ∴，，，， ∴， ∴，． 19. 已知关于x的二次方程x2-（2k+1）x+k-2＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算，再证明 从而可得结论； （2）由，可得再把整体代入建立方程，再解方程即可. 【小问1详解】 解：∵ 又∵ ∴ ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵ ∴ 解得： 【点睛】本题考查的是利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握“ 则一元二次方程有两个不相等的实数根”是解本题的关键. 20. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）；（2）的值为． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得； （2）的最大整数为2， 方程变形为，解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 21. 已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）22 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ， ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 22. 近年来，农产品直播带货行业发展态势强劲，手机成了新农具，直播卖货成了新农活，乡村电商成为推动乡村振兴的新动能，我市一家电商运营公司直播销售一种有机蓝莓，每箱蓝莓成本为60元．根据销售经验，当每箱售价为150元时，平均每天可销售60箱；若当每箱售价每降低10元时，平均每天可多销售20箱．“五一”假期来临，该公司决定进行降价促销活动，在每箱降价幅度不超过30元的情况下，当每箱有机蓝莓售价定为多少元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额？ 【答案】当每箱有机蓝莓售价定为130元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．根据题意列出关于售价的一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据题意：设每箱有机蓝莓售价定为元， ， 化简整理得：， 解得：，， 每箱降价幅度不超过30元， ， 答：当每箱有机蓝莓售价定为130元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额． 23. 已知：如图，在菱形ABCD中， BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF=AE，连接CF． （1）判断四边形EBCF的形状，并证明； （2）若AF=9，CF=3，求CD的长． 【答案】（1）四边形EBCF是矩形，证明见解析；（2）CD =5 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质证得EF=BC，由此证明四边形EBCF是平行四边形.，再利用BE⊥AD即可证得四边形EBCF是矩形； （2）设CD=x，根据菱形的性质及矩形的性质得到DF=9-x，再利用勾股定理求出答案. 【详解】（1）四边形EBCF是矩形 证明：∵四边形ABCD菱形， ∴AD=BC，AD∥BC. 又∵DF=AE， ∴DF+DE=AE+DE， 即：EF = AD. ∴ EF = BC. ∴四边形EBCF是平行四边形. 又∵BE⊥AD， ∴ ∠BEF=90°. ∴四边形EBCF是矩形. （2） ∵ 四边形ABCD菱形， ∴ AD=CD. ∵ 四边形EBCF是矩形， ∴ ∠F=90°. ∵AF=9，CF=3， ∴设CD=x， 则DF=9-x， ∴ ， 解得： ∴CD =5. 【点睛】此题考查菱形的性质，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，熟记各定理是解题的关键. 24. 阅读下列解题过程 例：若代数式的值是，求的取值范围． 解：原式= 当时，原式，解得 (舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： 当时，化简： 若等式成立，则的取值范围是 若，求的取值． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据，得出；再将原式化为去绝对值即可得出答案； （2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可； （3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a的值． 【详解】（1）解：当时， 原式=== （2）原式= 当时，原式，解得(舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是； （3）原式= 当时，原式，解得符合条件； 当时，原式，次方程无解，不符合条件； 当时，原式，解得 符合条件． 所以，的值是或． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，运用了数形结合的思想，在解答此类问题时要注意进行分类讨论． 25. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形（提示：可过E点向CD、BC作垂线）； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）若F点恰为BC中点，求CG的长度． 【答案】（1）见解析；（2）CE+CG的值是定值，定值为4；（3）CG=． 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF即可； （2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4． （3）连接DF，过点G作GM⊥BH于点M，利用勾股定理求得DF和FG的长，继而求得CM和CG的长度． 【详解】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN=90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM=EN， ∵∠DEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF， ∵∠DNE=∠FME=90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF=DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； （2）CE+CG的值是定值，定值为4，理由如下： ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE=DG，AD=DC， ∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠CDG=∠ADE， 在△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE=CG， ∴CE+CG=CE+AE=AC=AB=4是定值． （2）连接DF，过点G作GM⊥BH于点M， ∵F为BC的中点， ∴CF=BC=2， ∴DF=， ∵,且DG=FG， ∴FG=， ∵△ADE≌△CDG， ∴∠DAE=∠DCG=45°， ∴∠GCM=45°， ∵，CM=GM， 即， 解得：CM=1， ∴CG=． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中学业水平考试 初三数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列二次根式能与合并的是(　　) A. B. C. D. 2. 用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 3. 以为根的一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 4. 的整数部分是、小数部分是，则的值为（ ） A. B. C. －2 D. 2 5. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当且时，四边形是正方形 8. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 9. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③，重合时，； ④点、、三点共线． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若实数，满足，则的值是______________． 12. 函数的自变量的取值范围是______． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 14. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．人行道的宽度为_____米． 15. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝______°． 16. 如图，四边形是边长为3的菱形，对角线的长度分别是关于x的一元二次方程的两实数根，于点H，则的长度是______． 三、解答题（本题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解方程 （1）；（配方法） （2）； （3）； （4）．（公式法） 19. 已知关于x的二次方程x2-（2k+1）x+k-2＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 20. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 21. 已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）． 22. 近年来，农产品直播带货行业发展态势强劲，手机成了新农具，直播卖货成了新农活，乡村电商成为推动乡村振兴的新动能，我市一家电商运营公司直播销售一种有机蓝莓，每箱蓝莓成本为60元．根据销售经验，当每箱售价为150元时，平均每天可销售60箱；若当每箱售价每降低10元时，平均每天可多销售20箱．“五一”假期来临，该公司决定进行降价促销活动，在每箱降价幅度不超过30元的情况下，当每箱有机蓝莓售价定为多少元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额？ 23. 已知：如图，在菱形ABCD中， BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF=AE，连接CF． （1）判断四边形EBCF的形状，并证明； （2）若AF=9，CF=3，求CD的长． 24. 阅读下列解题过程 例：若代数式的值是，求的取值范围． 解：原式= 当时，原式，解得 (舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： 当时，化简： 若等式成立，则的取值范围是 若，求的取值． 25. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形（提示：可过E点向CD、BC作垂线）； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）若F点恰为BC中点，求CG的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $