精品解析：山东省临沂市兰陵县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024—2025学年度下学期阶段质量调研 八年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. 8，15，17 D. 5，7，9 3. 若，则表示实数的点会落在数轴的（ ） A 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是的中点，表示竹竿端沿墙上下滑动过程中的某个位置，则在竹竿滑动过程中，的变化趋势为（ ） A. 下滑时，增大 B. 上升时，减小 C. 无论怎样滑动，不变 D. 只要滑动，就变化 7. 已知：如图，四边形是菱形，是直线上两点，．求证：四边形是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ） 甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、乙、丙 D. 甲、丙 8. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点O，E为的中点，连接，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 9. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上任意一点，过点E作，，点F，G为垂足，若，，则FG的最小值为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为____________． 12. 如图所示，点、、、是数轴上四个点，与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，，．则点表示的数是_____． 13. 用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为10，，则小正方形对角线的长为____． 14. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则的长为____________． 15. 如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是_______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） ． 17. 数学兴趣小组研究菱形的画法时给出了以下做法，请按要求完成任务： 任务一：已知：在中，．求作：菱形 作法： ①延长，以点为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点； ②延长，以点为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点； ③连接，，． 所以四边形即为所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵_____，_____， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∴平行四边形是菱形（_____）（填推理的依据）． 任务二： （3）如图，先画两条等长的线段，，然后分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交点为，连接，．得到的四边形_____菱形（填“是”或“不是”），依据是_____． 18. 已知：如图，的对角线相交于点在直线上，并且． （1）求证：四边形是平行四边形 （2）若，，，求面积． 19. 如图，在菱形中，为的中点，的延长线与的延长线交于点，为延长线上一点，且． （1）求证：； （2）试判断四边形形状，并证明你的结论． 20. 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． （1）求证：菱形； （2）若，，求的长． 21. 武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ （3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 23. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都正方形，，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”； （2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论； （3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，请直接写出边AB长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期阶段质量调研 八年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，分母有理化，先求出的倒数，再分母有理化即可． 【详解】解；的倒数为． 故选C． 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. 8，15，17 D. 5，7，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数的计算是解题的关键． 勾股数是指能够构成直角三角形三边的一组正整数，满足勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此即可求解． 【详解】解：A、，故该选项是勾股数，不符合题意； B、，故该选项是勾股数，不符合题意； C、，故该选项是勾股数，不符合题意； D、，故该选项不是勾股数，符合题意； 故选：D ． 3. 若，则表示实数的点会落在数轴的（ ） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，实数与数轴，无理数的估算，先根据二次根式的减法计算法则求出p的值，进而估算出p的范围，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴表示实数的点会落在数轴的段①上， 故选：A． 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质可得，据此即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意； B．∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意； C．∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D．∵，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键． 6. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是的中点，表示竹竿端沿墙上下滑动过程中的某个位置，则在竹竿滑动过程中，的变化趋势为（ ） A. 下滑时，增大 B. 上升时，减小 C 无论怎样滑动，不变 D. 只要滑动，就变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：，点是的中点， ， 在滑动的过程中的长度不变． 故选：C． 7. 已知：如图，四边形是菱形，是直线上两点，．求证：四边形是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ） 甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、乙、丙 D. 甲、丙 【答案】A 【解析】 【分析】由全等三角形的性质证出，则四边形是菱形，故甲对；再由菱形的性质得，则，得四边形是平行四边形，然后由，得平行四边形是菱形，故乙对，即可得出结论． 【详解】解：甲：四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ， ， 同理：，， ，， ， 四边形是菱形； 乙：连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 综上所述，甲对、乙对， 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点O，E为中点，连接，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作于F，根据勾股定理求出，得到的长度，利用面积法求出即可． 【详解】解：过点A作于F， 在矩形中，，， ∴， ∵对角线相交于点O， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴的面积为 故选：A． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确掌握矩形的性质及利用面积法求出是解题的关键． 9. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上任意一点，过点E作，，点F，G为垂足，若，，则FG的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，，根据勾股定理得出，证出四边形是矩形，继而得到 ，要使最小，即最小 ，当时，最小利用等面积法即可求出。 【详解】解：如图，连接OE， 四边形是菱形， ，，， 在中, , ，，， ， 四边形为矩形， ， 要使最小，即最小，当时，最小， ， ， ， 的最小值为． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等面积法，解题的关键是理解题意灵活运用定理与性质． 10. 如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由勾股定理求出相应线段的长可得五边形的周长． 【详解】解：由折叠可知：，，， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； ， ， 由折叠可得，， ，故正确； 正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，， 五边形的周长是：，故正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决本题的关键是综合运用以上知识． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理列式求出，再利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，，，， ∵， ∴是直角三角形， ∵点D为的中点， ∴． 故答案为：． 12. 如图所示，点、、、是数轴上四个点，与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，，．则点表示的数是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据正方形的边长为3，得出，求出，证明，得出，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F表示的数为． 故答案为：． 13. 用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为10，，则小正方形对角线的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出的长是解题的关键． 由正方形的面积公式可得，在中，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ， ， ， ， ， 则小正方形边长为2， ∴， 故答案为：． 14. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，利用菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，图形的变化规律，根据三角形的中位线性质可得后一个三角形的周长是前一个三角形周长的，据此得到第n个三角形的周长为，把代入计算即可求解． 【详解】解：由题可得的周长为， ∵点、、分别是边、、的中点， ∴、、是的三条中位线， ∴的周长是， 同理，的周长是， ⋯， 以此类推，的周长是， ∴第2025个三角形的周长是， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） ． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算： （1）先把各二次根式化简，然后再进行合并即可； （2）原式根据二次根式的除法以及完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 数学兴趣小组研究菱形的画法时给出了以下做法，请按要求完成任务： 任务一：已知：在中，．求作：菱形 作法： ①延长，以点为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点； ②延长，以点为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点； ③连接，，． 所以四边形即为所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵_____，_____， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∴平行四边形是菱形（_____）（填推理的依据）． 任务二： （3）如图，先画两条等长的线段，，然后分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交点为，连接，．得到的四边形_____菱形（填“是”或“不是”），依据是_____． 【答案】（1）见解析；（2），对角线垂直的平行四边形是菱形；（3）是，四边都相等的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． （3）根据菱形的判定方法解答即可． 【详解】解：（1）如图，菱形即所求； （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：，对角线垂直的平行四边形是菱形． （3）由作图可知，， ∴四边形是菱形（四边都相等的四边形是菱形）． 故答案为；是，四边都相等的四边形是菱形． 18. 已知：如图，的对角线相交于点在直线上，并且． （1）求证：四边形是平行四边形 （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）120 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，对角线相互平分的四边形为平行四边形，垂直定理，勾股定理 （1）根据对角线相互平分的四边形为平行四边形，即可证明． （2）根据可知为直角三角形，由勾股定理可求得，的面积可看成由两个组成，即可求得答案． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵，， 在中， ∵四边形是平行四边形， ∴,即 故的面积为120. 19. 如图，在菱形中，为的中点，的延长线与的延长线交于点，为延长线上一点，且． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形是矩形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质得到，则，再由线段中点的定义可得，由此即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据菱形的性质结合已知条件证明，再根据矩形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分且相等， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定，熟知菱形的四条边相等，对边平行，对角线互相平分且相等的四边形是矩形是解题的关键． 20. 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：，， 四边形平行四边形． ， 平行四边形是矩形， ， ， 是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， ， 即的长为． 21. 武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ （3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 【答案】（1）21.6米 （2）8米 （3）4.2米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可得出结果； （2）设他应该往回收线米，根据勾股定理得出方程求解即可； （3）设收线的长度为米，根据勾股定理得出方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， （米）， （米）； 风筝的垂直高度为21.6米． 【小问2详解】 解：设他应该往回收线米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：他应该往回收线8米． 【小问3详解】 解：设收线的长度为米，如图， 则米，（米，米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：收线的长度为4.2米． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6.5秒 （2）四边形是矩形，理由见解析 （3）线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒 【解析】 【分析】（1）根据点C坐标可得，根据中点定义可得，根据矩形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，即可得出的长，根据点M的速度即可得答案； （2）如图，由（1）可得，可证明四边形是平行四边形，由可得四边形是矩形； （3）当点M在点N右侧时，根据菱形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，进而可得出的长，根据点M的速度可求出t值；当点M在点N左侧时，则，利用勾股定理可求出的长，根据点M的速度即求得出t值，综上即可得答案． 【小问1详解】 解：如图，∵四边形为矩形，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵动点的速度为每秒个单位长度， ∴（秒）． 【小问2详解】 解：如图，四边形是矩形； 理由如下：由（1）可知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问3详解】 解：如图，点M在点N右侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 如图，点M在点N左侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒． 【点睛】本题考查坐标与图形性质、矩形的判定与性质、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 23. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”； （2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论； （3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，请直接写出边AB长的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）△EFG是等腰直角三角形，理由见解析 （3）AB最小值为2． 【解析】 【分析】（1）延长BE，DG交于点H，先证△ABE≌△ADG，得BE=DG，∠ABE=∠ADG．结合∠ABD+∠ADB=90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即可得∠BHD=90°．从而得证； （2）延长BA，CD交于点H，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB=CD，从而得∠HBC+∠HCB=90°，根据三个中点知EG=AB，GF=CD，EG∥AB，GF∥DC，据此得∠BFG=∠C，∠EGD=∠HBD，EG=GF．由∠EGF=∠EGD+∠FGD=∠ABD+∠DBC+∠GFB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°可得答案； （3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，由EF≥HF-HE=BC-AD=5-3=2．再由（2）的结论直一步计算可得答案． 【小问1详解】 证明：如图①，延长BE，DG交于点H， ∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形， ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°． ∴∠BAE=∠DAG． ∴△ABE≌△ADG（SAS）． ∴BE=DG，∠ABE=∠ADG． ∵∠ABD+∠ADB=90°， ∴∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠EBD +∠ADB+∠ADG=90°， 即∠EBD+∠BDG=90°， ∴∠BHD=90°． ∴BE⊥DG． 又∵BE=DG， ∴四边形BEGD是“等垂四边形”； 【小问2详解】 解：△EFG是等腰直角三角形． 理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H， ∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC， ∴AB⊥CD，AB=CD， ∴∠HBC+∠HCB=90°， ∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点， ∴EG=AB，GF=CD，EG∥AB，GF∥DC， ∴∠BFG=∠C，∠EGD=∠HBD，EG=GF． ∴∠EGF=∠EGD+∠FGD=∠ABD+∠DBC+∠BFG=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°． ∴△EFG是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：延长BA，CD交于点H，连接BD，分别取AD、BC、BD的中点E、F、G．连接HE，EF，HF，GE，GF， 则EF≥HF-HE=BC-AD=5-3=2， 由（2）可知△EFG是等腰直角三角形， ∴AB=2EG，2EG2=EF2， ∴EG=EF=， ∴AB=2EG≥2． ∴AB最小值为2． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$