精品解析：黑龙江绥化市实验中学校2025-2026学年第二学期期中考试试卷 九年级 数学

实验中学2025-2026学年度第二学期期中考试试卷 初四数学 一、单项选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合. 【详解】解：A选项图形是六角星，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；  B选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；  C选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  D选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 3. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体主视图，在俯视图上表上数字，即可得出搭成该几何体的小正方体最多的个数． 【详解】解：根据题意得： 则搭成该几何体的小正方体最多是1＋1＋1＋2＋2＝7（个）． 故选：A． 【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本题的关键． 4. 一组数据，若这组数据的中位数是3，则这组数据的平均数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数据为该组数据的中位数． 【详解】解：将已知数值的数据按照从小到大的顺序排列：,中位数为 ∵的中位数也为 ∴ 故平均数为： 故选：B 【点睛】本题考查中位数和平均数．掌握各统计数据的意义是解题关键． 5. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为0），列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解不等式得， 解得， ∴实数的取值范围是且． 6. 下列说法正确的个数有（ ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④顶角相等的两个等腰三角形相似 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线的性质判断①；根据平行线的判定判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③；根据相似三角形的判定判断④． 【详解】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①说法正确； ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故②说法错误； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③说法错误； ④因为等腰三角形的两个底角相等，故顶角相等的两个等腰三角形的底角也相等，故顶角相等的两个等腰三角形相似，④说法正确； 综上所述，正确的有①④，共个． 7. 甲、乙两地相距约240千米，新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了，时间比原来缩短了30分钟．设原来的平均车速为x千米/小时，则根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原来的平均车速为x千米/小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：∵新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了，且原来的平均车速为x千米/小时， ∴新修的高速公路开通后的平均速度为千米/小时． 根据题意得：，即． 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 8. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题； 【详解】在Rt△ABC中，AB=， 在Rt△ACD中，AD=， ∴AB：AD=：=， 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 9. 已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 10. 在一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去地，途经地休息1分钟，继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行从地匀速前往地．甲、乙两人距地的路程（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示．则以下结论正确的有（ ）个． ①甲的骑行速度为240米/分； ②点的坐标为； ③甲返回时距地的路程与时间之间的函数关系式； ④在甲返回地之前，经过4分钟或6分钟，两人距地的路程相等． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象---从图象中获得信息，熟练掌握一次函数的实际应用是解题的关键，根据题意并结合图象逐一进行分析即可得到答案． 【详解】解：由题意得：甲的骑行速度为：，故①正确； （米）， ∵甲往返总时间为11分，中间休息一分钟， ∴的横坐标为6， ∴的坐标为， 故②正确； 设的解析式为：， ∵的图象过，， 解得：， ∴直线的解析式为：， 甲返回时距地的路程与时间之间的函数关系式； 设甲返回地之前，经过分钟两人距C地的路程相等， 乙的速度：（米/分）， 如图所示：∵， ∴， 分4种情况： （1）当时，， ， 此种情况不符合题意； （2）当，即，甲、乙都在之间， ∴， 解得：， 此种情况符合题意； （3）当时，甲在之间，乙在之间， ∴， 解得：， 此种情况不符合题意； （4）当时，甲到地，距离地米， 乙距地的距离：（米）， 此种情况符合题意； 故在甲返回地之前，经过4分钟或6分钟，两人距地的路程相等． 故④正确； 故选：A． 11. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、、三段范围，根据证明分别表示出的面积，得到函数解析式，再判断其图象即可． 【详解】解：如图，当时，点在边上，点在边上， ， ， ， ， ， ，即， ， , 图象是开口向上的抛物线， 如图，当时，点在边上，点在边上， ， 则中，边上的高为2， ， 图象是一次函数，且随着的增大而增大， 时，图象是线段， 如图，当时，点在边上，点在边上， ， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 当时，图象是开口向下的抛物线， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是根据动点运动的情况表示出的面积． 12. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，且，分别是与的平分线，与交于点G，与交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③⑤ B. ②③④⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，求正切，四点共圆等知识点，根据正方形得到，，结合角平分线得到，即可得到，，故①正确；再证明，得到，故②正确；作的角平分线交于，则，得到，，据此判断③错误；由，根据等底等高确定，故④正确；由，得到、、、四点共圆，则，，判断⑤正确． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故①正确； ∵，，， ∴， ∴， 故②正确； 作的角平分线交于，则， ∴，， ∵，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故③错误； ∵， ∴， 故④正确； ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， 故⑤正确； 综上所述，正确结论的序号是①②④⑤， 故选：C． 二、填空题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 13. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：157亿， 故答案为：． 14. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解因式，即可解答． 【详解】解：原式． 故答案为：． 15. 化简：=___________． 【答案】 【解析】 【分析】 本题为分式化简，先通分合并括号内的整式与分式，再将除法转化为乘法，约分后得到最简形式． 【详解】解：原式 ， ​， ，  ， ， ， ， ． 16. 现定义一种新的运算：如果，那么．如由可知，由可知，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目给出的新运算定义，分别求出两个运算项的值，再相加计算最终结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握方程的根满足原方程是解题的关键，先利用根的定义对所求代数式中的部分式子进行变形，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴由方程根的定义可得， ，即 ， 同理可得，， 将代入方程左边，得 ，因此， 将两边同时除以，得 ，整理得 ， 因此 ， 故答案为． 18. 已知圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面半径为2，则它的侧面展开图的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，扇形弧长与面积的计算，掌握圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键；先由弧长公式计算出展开图扇形的半径，即可求得扇形的面积． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图半径为l，则， 解得：， 圆锥侧面展开图的面积为； 故答案为：． 19. 如图，平分，，如果 ，那么_________________． 【答案】4 【解析】 【分析】由角平分线的定义及平行线的性质可得，得到，由可得，证明可得，求出的长即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 20. 如图，与的边相切，切点为A．将绕点A按顺时针方向旋转得到（点C与点O对应），边交于点E．若，，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、旋转变换的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，，根据旋转可得为等边三角形，进而可求出，再利用，可证明三点共线，得出，即可作答． 【详解】解：如图，连接，， 由题意得：， ∴ ∴为等边三角形， ∴， 与相切于点， ， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴ ∵旋转性质 则 故答案为：． 21. 矩形中，，点E是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，如果点恰在矩形的对称轴上，则的长为____________． 【答案】6或 【解析】 【分析】考查了翻折变换—折叠问题、矩形的性质和勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键． 分两种情况：①过作交于M，交于N，则直线是矩形的对称轴，过作交于P，交于Q，则直线是矩形的对称轴，结合矩形的性质和勾股定理即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， 分两种情况： ①如图1，过作交于M，交于N，则直线是矩形的对称轴， ∴， ∵把沿折叠，点落在处， ∴， ∴，即与N重合， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②如图2，过作交于P，交于Q，则直线是矩形的对称轴， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的长为6或． 故答案为：6或． 22. 已知k为正数，直线与直线及x轴围成的三角形的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出两直线与x轴的交点坐标，进而可得出两点间的距离，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：对直线，当时，有， 解得：， ∴直线与x轴的交点坐标为， 同理可得出：直线与x轴的交点坐标为， ∴两直线与x轴交点间的距离， 联立：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴ ． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 已知：如图，在中，，． （1）在线段上求作一点D，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点，点即为所作； （2）由线段垂直平分线的性质可得，则，求出，由直角三角形的性质可得，最后由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图：点即为所作； 【小问2详解】 解：由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）此次活动中七年级学生报名有______人． （2）______，______，并将条形统计图补充完整． （3）根据七年级的报名情况，试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？ （4）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率． 【答案】（1）100 （2）25；108；见解析 （3）600人 （4） 【解析】 【分析】（1）用参加踢毽活动小组的人数除以其所占的百分比得到调查的总人数； （2）求出参加篮球活动小组的人数占比可得m的值，求出参加跳绳活动小组的人数，用360度乘以参加跳绳活动小组的人数占比可得n的值，最后补全统计图即可； （3）用2000乘以样本中参加足球活动小组的人数占比即可； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一男一女两名同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：人， ∴此次活动中七年级学生报名有100人； 【小问2详解】 解：由（1）得，即； 参加跳绳活动小组的人数为人， ∴，即， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：全校2000人中，大约有600人报名参加足球活动小组； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果数，其中恰好选中一男一女两名同学的结果数为8， ∴恰好选中一男一女两名同学的概率． 25. 保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】（1）当1≤≤5时；＞5时；（2）经过8个月；（3）5个月 【解析】 【详解】⑴①当1≤≤5时，设，把（1，200）代入，得，即；②当时，，所以当＞5时，； ⑵当y=200时，20x-60=200，x=13， 所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元； ⑶对于，当y=100时，x=2；对于y=20x-60，当y=100时，x=8，所以资金紧张的时间为3、4、5、6、7共5个月 26. 如图1，△ABC中，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求； （3）在（2）的条件下，如图2，点E在上，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（）连接，根据切线的性质可得，则有，又，，故有，所以，再通过三角形的内角和定理可得，从而求证； （）连接，由正弦可得，求出，再通过即可求解； （）在优弧上取一点，连接，由三角形的外角性质求出，通过圆周角定理可得，最后由圆内接四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为半径作圆与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为半径作圆与相切于点， ∴， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在优弧上取一点，连接， 由（）得， ∴， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． 27. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 28. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式为，则； （3）过点P作轴于点D．设点P坐标为则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：连接交对称轴于点Q， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 当C、B、Q三点共线时，的周长最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴； 【小问3详解】 解：过点P作轴于点D．设点P坐标为 则              ∴当时，． 此时 所以求面积S的最大值为，P点的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学2025-2026学年度第二学期期中考试试卷 初四数学 一、单项选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 4. 一组数据，若这组数据的中位数是3，则这组数据的平均数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 下列说法正确的个数有（ ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④顶角相等的两个等腰三角形相似 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 甲、乙两地相距约240千米，新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了，时间比原来缩短了30分钟．设原来的平均车速为x千米/小时，则根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为　　 A. B. C. D. 9. 已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 在一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去地，途经地休息1分钟，继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行从地匀速前往地．甲、乙两人距地的路程（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示．则以下结论正确的有（ ）个． ①甲的骑行速度为240米/分； ②点的坐标为； ③甲返回时距地的路程与时间之间的函数关系式； ④在甲返回地之前，经过4分钟或6分钟，两人距地的路程相等． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 11. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，且，分别是与的平分线，与交于点G，与交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③⑤ B. ②③④⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④ 二、填空题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 13. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为_______ 14. 分解因式：________． 15. 化简：=___________． 16. 现定义一种新的运算：如果，那么．如由可知，由可知，那么______． 17. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 18. 已知圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面半径为2，则它的侧面展开图的面积是________． 19. 如图，平分，，如果 ，那么_________________． 20. 如图，与的边相切，切点为A．将绕点A按顺时针方向旋转得到（点C与点O对应），边交于点E．若，，则的长为 _____． 21. 矩形中，，点E是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，如果点恰在矩形的对称轴上，则的长为____________． 22. 已知k为正数，直线与直线及x轴围成的三角形的面积为，则的值为______． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 已知：如图，在中，，． （1）在线段上求作一点D，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）连接，若，求的长． 24. 为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）此次活动中七年级学生报名有______人． （2）______，______，并将条形统计图补充完整． （3）根据七年级的报名情况，试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？ （4）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率． 25. 保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？ 26. 如图1，△ABC中，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求； （3）在（2）的条件下，如图2，点E在上，若，求的度数． 27. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 28. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $